-K元线性回归模型

1、第三章K元线性回归模型一、填空题1 .对于模型 Yi =久 +BiXi1 +2Xi2+PkXik +Ui , 1,2,，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为 2 .对于总体线性回归模型 Yi=Po+PiXii+?2Xi2+P3Xi3+Ui,运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量n应满足 或至少。3 .多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ,对 应的样本线性回归模型的矩阵形式 ,模型的最小 二乘参数估计量 及其方差估计量 O4 . 总平方和可以分解为 回归平方和 和残差平方 和,可决系数为 。5 .多元回归方程中每个解释变量的系数 B （偏回归系数）， 指解释变量变化一个单

2、位引起的被解释变量平均变化 b 一个 单位。6 .线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量 的;就参数而言，指的是回归模型中参数的 。 通常线性回归模型指的是 。二、问答题1 .什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？2 .极大似然法（）的原理是什么？3 .什么是拟合优度（R2）检验？有什么作用？指对样本回归直线与样本观测值之间的拟合程度的检验。1 / 144 .可决系数R2低的可能的原因是什么？5 .多元回归的判断系数R2具有什么性质？运用R2时应注意什么问题？6 .多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？

3、7 .说明区间估计的含义。三、实践题1.下表给出三变量模型的回归结果：方差来源平方和()自由度()土F 差()1 /。 1 1 /11 111" /回归平方和()65965321988.33残差平方和()77117总平方和()66042144717.48要求：(1)样本容量是多少？(2)求？(3)和的自由度各是多少？(4)求 R2和 R2?(5)检验假设：Xi和X2对y无影响。你用什么假设检验？为什么？(6)根据以上信息，你能否确定 Xi和X2各自对丫的贡献吗？2 / 142.下面给出依据15个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。2Y =367.693 ,

4、 Xi =402.760 , X2 =8.0 , 工 y =66042.269 22、xii =84855.096 , 、 x2 =280.0 ,'、 y xii =74778.346“ yx2i =4250.9 ,'、 乂仆功=4796.0要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差； 弁求出R2与R2? （3）估计良、隹95%勺置信区间；（4）在口=5%下, 检验估计的每个回归系数的统计显著性（双尾检验）；（5）给出方差分析表。（1）3 .考虑以下方程（括号内为估计标准差）：n = 19, R2 = 0.873W =8.562 0.364F 0.004： _1

5、- 2.560Ut（0.080）（0.072）（0.658）其中：W t年的每位雇员的工资和薪水；P 一 t年的物价水平；ut年的失业率。要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；（2）讨论p1在理论上的正确性，对本模型的正确性进行 讨论；*是否应从方程中删除？为什么？4 .克莱因和戈德伯格曾用1921-1941年与1945-1950年（1942-1944年战争期间略去）美国国内消费C和工资收入 W3 / 14非工资一非农业收入P、农业收入A的共27年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：Ct =8.1 3 1.3) Wt 9 0.4 Pt 20.1 At 1 R2

6、= 0 95 F =107 37(8. (902. )1( 70 ). 4( 51 2, 0" . , 一式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问题。(显著性水平 a =5%,已知F0.05(3,23) =3.03, t0.025(23)= 2.069)5 .某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为2edu =10.360.094sibs 十 0.131medu 十 0.210 fedu , R=0.214式中，为劳动力受教育年数，为该劳动力家庭中兄弟姐妹的 个数，与分别为母亲与父亲受到教育的年数。问(1)是否具有

7、预期的影响？为什么？若与保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要增加多少？(2)请对的系数给予适当的解释。(3)如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？6.以企业研发支出()占销售额的比重为被解释变量(Y),以企业销售额(X1)与利润占销售额的比重(X2)为解释变量， 一个有32个企业的样本估计结果如下：Y =0.472 0.3210g(X1) 0.05X2 _2 (1.37) (0.22)(0.046) ,R2 =0.0994 / 14其中括号中为系数估计值的标准差。(1)解释(X1)的系数。

8、如果X1增加10%估计Y会变化多 少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？(2)针对强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验 它不虽X1而变化的假设。分别在 5%口 10%勺显著性水平上进行 这个检验。(3)利润占销售额的比重 X2对强度Y是否在统计上有显著 的影响？(3)对X2,参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1,087 , 它比在10%勺显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。7.下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值(括号内为值)(如果某项为空，则意味着模型中没有此变量)。数据为美国40个城市的数据。模型 如下：

9、housing = 0 density 2value 3income : 4 popchang5unemp 6localtax7statetax 式中一一实际颁发的建筑许可证数量，一一每平方英里的人口密度，一一自由房屋的均值(单位：百美元),一一平均家庭的收 入(单位：千美元)，式一19801992年的人口增长百分比， 一一 失业率，一一人均交纳的地方税，一一人均缴纳的州税5 / 14变量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392-1279-973(0.81)(0.34)(0.44)0.0750.0620.042(0.43)(0.32)(0.47)-0.855-0.873-0.99

10、4-0.778(0.13)(0.11)(0.06)(0.07)110.41133.03125.71116.60(0.14)(0.04)(0.05)(0.06)26.7729.1929.4124.86(0.11)(0.06)(0.001)(0.08)-76.55(0.48)-0.061(0.95)-1.006-1.004(0.40)(0.37)4.76374.84374.96275.0387R20.3490.3380.3220.312Se1.48861.42461.41861.39961.77661.63461.59361.53866 / 14(1)检验模型A中的每一个回归系数在 10琳平下是否

11、为 零(括号中的值为双边备择值)。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？(2)在模型A中，在10琳平下检验联合假设 H): i =0(1,5,6,7) o说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假 设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。(3)哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。(4)说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说 明你的预期符号弁解释原因。确认其是否为正确符号。参考答案 一、填空题1 )30 或至少 n>3 (1) ; 2. n)30 或至少 n>24; 3. y=xF+u, Y=Xb+e, b=(xX)"xY, Var

12、(b) no"X X)ii " ; 4.回归平方和；残差平 方和；回归平方和与残差平方和之比。5. B ； 6.非线性；非线性；变量非线性而参数为线性。二、问答题1 .答：回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多 元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的7 / 14 表达更复杂。2 .答：极大似然法（）是不同于法的另一种模型参数估计 方法。方法需要利用有关模型随机扰动项分布的知识构建似然函 数，然后利用使似然函数最大的方法得出参数估计。其基本

13、思路是确定观察到的样本数据最可能来自某个分布，该分布的参数值即为总体参数的估计量。3 .答：所谓拟合优度检验，指对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。如果所有的观测值都落在回归线上，称为“完全拟合”。这种情况很少发生。一般情况下，总会出现围 绕在回归直线周围的正或负的残差。通过对残差的分析，有助于衡量回归直线与样本观察值的拟合程度。 反映回归模型拟合优劣 的一个数量指标是样本可决系数 R,也称判定系数。另一个是对 回归模型的F统计检验。估计方程的目的常常不是为了获得高 R,而是要得到可靠的参数估计，以便利用估计结果进行统计推 断。注意不要将判断系数作为评价模型优劣的唯一标准。4 .答

14、：可能由于：X不是Y的良好解释变量；模型形式设定 有误。一般地，利用时间序列数据估计的模型 R值较高，而利用 截面数据估计的模型 R值较低。5 .答：R的取值取决在01之间。若Y的全部变异都得到 了解释，则R=1,若解释变量没有如何解释能力，有 R2=0o在模 型中不包含常数项的情况下，R的值可能超出01范围；是解8 / 14 释变量的非减函数，即增加解释变量不会降低 R2,在大多数情况 下，R会增大。在实际工作中，我们可以借助于R2的增减，判断回归模型不同表达形式的优劣。需要注意的是，对于不同因变量的回归模 型，比较R2的大小没有任何意义。用同一变量的不同数学表达式 作为因变量，R2也是不可

15、比的。时间序列数据建模中如果考虑了 滞后的行为反应，导致样本区间发生变动，R2也不可比。6 .答：回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立 同方差假定、解释变量的非随机性假定、 解释变量之间不存在线 性相关关系假定、随机误差项Ui服从均值为0方差为。2的正态分 布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关的假定； 在有效性的证明中，利用了随机项独 立同方差假定。7 .答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组 样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。三、实践题2.解:9 / 142(1)'、：yiXii< X2i 4yiX2i<

16、;Xi i X2ib1 : 72-2_X1iX2i - 'nX1iX2iX1i X2i74778.346 280 -4250.9 4796.084855.096 280 -4796.02550620757810=0.7266，.，.2，.，.yi X2i v X1i yiX1X1iX2ib2 =二. 2-2- LL'X1X2i -、X1iX2X1iX2i42509 84855096-74778346 47960Z_Z _ 284855096 280-479602073580 =2.7363757810b0 =Y 41X1 -b2X2=367.693 -0.7266 402.76

17、0 -2.7363 8.0=53.15722ei2" yi2 -b1x yiX-b2“ yiX2i(2): u =n -315-366042.269-0.7266 74778.346-2.7363 4250.9一12=6.3821s(b0)=“Var(b0)= 看父八父仃2 =12.768其中:X2 % x2 X2 % x2 -2XXX1 X2i' X1i " X2i 一"X1iX2i' X1i X2i同理，可得：se(b1)=0.0486 , se(b2) = 0.84542 bJ yiX1i b2X yiX2i 拟合优度为：R2=0.99881

18、0 / 14R2 =1-(1 _R2)nl =0.9986n - k d.f.=12, 口=5%,查表得 P(t <2.179) = 0.95-2.179 < 0.7266"b1 < 2.179 ,得至U 0.6207 M b1M 0.83250.04861-2.179 < 2.7363b2 <2.179 ,得至U 0.8942 M b2 M 4.5784 0.8454b1 的 95%勺置信区间：0.6207 <b1 < 0.8325b2 的 95%勺置信区间：0.8942 <b2 <4.5784 Ho： Pi =0 (i=1,

19、2, 3),H 1 :00(=5% , d.f.=15-3=12 , 查表得临界值为：-2.179 <t <2.179则：W=53.:薰0=4.0963 - 2.179,则拒绝原假设：瓦=0 12.97680.7266 -0% = c- =14.9509 >2.179,拒绝原假设:民=00.0486电二餐3/=3.2367 >2.179,拒绝原假设：为=。0.8454(5)方差分析表平方和yj " ja iz<j> 回归平方和1 /J，TH65963.01811 )文232981.509残差平方和79.2507126.6042总,平方和66042.

20、269“3:4994.0203, -22, F 临界值为3.8911 / 14丁 F值是显著的，所以拒绝零假设。5.解：(1)预期对劳动者受教育的年数有影响。因此在收入 及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。根据多元回归模型偏回归系数的含义，前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加 1个兄弟姐妹， 受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间， 兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6 个。(2)的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不 变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预 期增加0.131年的教育

21、机会。(3)首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.13112+0.210 12=14.45210.36+0.13116+0.210 16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.3646.解：(1) (x1)的系数表明在其他条件不变时，(x1)变化1 个单位，Y 变化的单位数，即 0.32(X1)0.32(X11)=0.32100% 换言之，当企业销售X1增长100%寸，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.32个百分点。由此，如果X1增加10% Y会增加0.032个百分点。这 在经济上不是一个较大的影响。(2)针对备择假设 T: Pi>0,检验原假设H): 3=0。易知计算的t统计量的值为 12 / 140.32/0.22=1.468 。在5%勺显著性水平下，自由度为 32-3=29的 t分布的临界值为1.699 (单侧)，计算的t值小于该临界值， 所以不拒绝原假设。意味着强度不随销售额的增加而变化。在 10%勺显著性水平下，t分布的临界值为1.311 ,计算的t值小 于该值，拒绝原假设，意味着强度随销售额的增加而增加。7.解：(1)直接给出了值，所以没有必要计算统计值以及 查t分布表。根据题意，如果值0.10，则我们拒绝参数为零的原 假设。由于表中所有参数的值都