高等网络理论第六章

1、1896192019872006高等网络理论高等网络理论上海交通大学电子信息与电气工程学院上海交通大学电子信息与电气工程学院研究生学位课程1896192019872006第六章第六章 网络的状态方程网络的状态方程3p状态方程相关概念回顾状态方程相关概念回顾p线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法p多端口法和差分形式的状态方程多端口法和差分形式的状态方程p输出方程的建立输出方程的建立p网络状态方程的解网络状态方程的解主要内容主要内容4p第第110110页页 式式6-266-26改为：改为：p第第111111页页 式式6-316-31等式左边等式左边 改为：改为： p

2、第第113113页页 例例6-16-1中中 “故知故知”下面第一行下面第一行 改为：改为： 倒数第二行倒数第二行 改为：改为： 教材勘误教材勘误3331 132233 3ll lllllllVRiRQ iRQ iRQ i 3331 132233 3tt tttlltlVRiRQ iRQ iRQ i 120Q 121Q242424242TTlllttlllldiLQ L QQ LL Qdt242424242tlTTlllltttdiLQ L QQ LL Qdt3333TtlGGQ GG3333TtlGGQ G Q5p状态变量状态变量：电路中独立的动态变量的集合，在任何时：电路中独立的动态变量的集

3、合，在任何时刻的值形成了该时刻电路的状态。刻的值形成了该时刻电路的状态。p电路变量的集合电路变量的集合 满足以下两个条件，可满足以下两个条件，可作为电路作为电路状态状态：（1 1）如果已知）如果已知 在在 时刻的值时刻的值 以及从以及从 开始开始的输入的输入 ，则对任意，则对任意 ， 就能完全确定。就能完全确定。 （2 2）由）由 和和 可确定任何其他电路变量集可确定任何其他电路变量集 。 状态变量法列写出的状态方程是一阶微分方程组，状态变量法列写出的状态方程是一阶微分方程组，据此能分析并求解电路在任意时刻的全部响应。据此能分析并求解电路在任意时刻的全部响应。 线性非时变电路线性非时变电路适用

4、于分析：适用于分析： 线性时变电路线性时变电路 非线性电路非线性电路状态方程相关概念状态方程相关概念( )x t( )x t0t0( )x t0t( )w t0tt( )x t( )x t( )w t( )y t状态向量状态向量6 在线性非时变电路中，求解电路响应所必须的初始条在线性非时变电路中，求解电路响应所必须的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全决定，通件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全决定，通常选取常选取独立的电容电压独立的电容电压 和和独立的电感电流独立的电感电流 作为状态变作为状态变量。量。 在非线性电路中，除选电容电压和电感电流作状态变在非线性电路中，除选电容

5、电压和电感电流作状态变量外，为方便起见，也可选电容的电荷量外，为方便起见，也可选电容的电荷 和电感的磁通和电感的磁通 作状态变量。作状态变量。 状态方程为一阶微分方程组，其一般形式为状态方程为一阶微分方程组，其一般形式为:表示成矩阵形式为表示成矩阵形式为状态方程相关概念状态方程相关概念CuLiCqL1212(, )iinmxfx xxw wwt1,2,in(), xf x w t7 线性非时变动态电路，状态方程为一阶线性微分方程线性非时变动态电路，状态方程为一阶线性微分方程组，其形式为组，其形式为:表示成矩阵形式为表示成矩阵形式为加上初始条件加上初始条件式中式中 状态向量状态向量 状态向量导数

6、状态向量导数 输入向量输入向量系数矩阵系数矩阵 和和 均取决于电路的拓扑均取决于电路的拓扑结构和元件特性。结构和元件特性。状态方程相关概念状态方程相关概念11nmiikkijjkjxa xb w1,2,in xAxBw00 xx12,Tnx xxx =12,Tnx xxx =12,Tmw www =*ikn naA =*ijn mbB =状态方程的标状态方程的标准形式准形式8 电路状态向量的维数电路状态向量的维数n，即电路独立状态变量的个数称，即电路独立状态变量的个数称为电路的为电路的复杂度复杂度或或自由度自由度。 线性非时变线性非时变 元件组成的电路的复杂性阶数元件组成的电路的复杂性阶数等于

7、任何时间的独立电感电流和电容电压的数目。等于任何时间的独立电感电流和电容电压的数目。 当电路中不存在纯由电感或电感和独立电流源构成的当电路中不存在纯由电感或电感和独立电流源构成的割集，纯由电容或电容和独立电压源构成的回路，则复杂割集，纯由电容或电容和独立电压源构成的回路，则复杂性阶数将等于储能元件的总数。性阶数将等于储能元件的总数。 当电路中存在上述电感割集和电容回路时，则有当电路中存在上述电感割集和电容回路时，则有其中其中 独立状态变量数或复杂性阶数；独立状态变量数或复杂性阶数； 电容和电感元件的总数；电容和电感元件的总数； 独立电容回路独立电容回路数；数； 独立电感回路独立电感回路数数状态

8、方程相关概念状态方程相关概念dCLCLnnnndn,(),R L MCCLnCnLn9 由状态方程和由状态方程和 时刻的初始状态可解出各状态变量在时刻的初始状态可解出各状态变量在任意时刻任意时刻 的值。然后根据的值。然后根据KCL，KVL和支路电压和支路电压-电流关系总可求出电路的任意输出变量集电流关系总可求出电路的任意输出变量集 ，并用状态，并用状态向量向量 和输入向量和输入向量 表示出来。这就是表示出来。这就是输出方程输出方程。 输出方程的一般形式为输出方程的一般形式为或表示成矩阵形式或表示成矩阵形式 状态方程相关概念状态方程相关概念0t0()tt( )y t( )x t( )w t121

9、2(, )iinmygx xxw wwt1,2,ir(),yg x w t10 对线性非时变动态电路，对线性非时变动态电路，输出方程输出方程是线性代数方程组，是线性代数方程组，其形式为其形式为或表示成矩阵形式或表示成矩阵形式式中式中 称为输出向量；称为输出向量； 为输出变量为输出变量 的的个数；系数矩阵个数；系数矩阵 和和 均取决于电路均取决于电路的拓扑结构和元件特性。的拓扑结构和元件特性。 输出方程之所以是代数方程，是因为此时的状态变量输出方程之所以是代数方程，是因为此时的状态变量（电容电压和电感电流）均为已知量。若根据置换定理，（电容电压和电感电流）均为已知量。若根据置换定理，分别用电压源

10、和电流源置换电容和电感元件，则动态电路分别用电压源和电流源置换电容和电感元件，则动态电路便成为线性电阻性电路。便成为线性电阻性电路。状态方程相关概念状态方程相关概念11nmiikkijjkjyc xd w1,2,iryCxDw12,Tryyyy =riy*ikr ncC =*ijr mdD =11 当网络含有纯电容（和电压源）的回路和纯电感（和当网络含有纯电容（和电压源）的回路和纯电感（和电流源）的割集时称其为电流源）的割集时称其为病态网络病态网络，或称其为，或称其为非常态网络非常态网络。 设网络不含受控源，二端元件设网络不含受控源，二端元件R、L、C和独立电压、和独立电压、电流源均选作为一条

11、支路，首先选择一个标准树，标准树电流源均选作为一条支路，首先选择一个标准树，标准树选择的准则是：选择的准则是： （1）包含全部电压源；）包含全部电压源； （2）不含电流源；）不含电流源； （3）含尽可能多的电容；）含尽可能多的电容； （4）含尽可能少的电感。）含尽可能少的电感。 p有一个病态回路就必有一条电容支路只能作为连支；有一个病态回路就必有一条电容支路只能作为连支；p有一个病态割集就必有一条电感支路只能作为树枝。有一个病态割集就必有一条电感支路只能作为树枝。线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法12标准树选择的准则是：标准树选择的准则是： （1）包含全部电压

12、源；）包含全部电压源； （2）不含电流源；）不含电流源； （3）含尽可能多的电容；）含尽可能多的电容； （4）含尽可能少的电感。）含尽可能少的电感。线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法电压源电压源树支电容树支电容树支电阻树支电阻树支电感树支电感电流源电流源连支电感连支电感连支电阻连支电阻连支电容连支电容树支树支 连支连支支路支路1、2、12构成电容和电压源回路构成电容和电压源回路支路支路6、7、9构成电感和电流源割集构成电感和电流源割集13 将将 （式（式1-15）和）和 （式（式1-13）连支）连支和树支次序对调后分别为：和树支次序对调后分别为： 和和 按八类

13、支路类别将基本割集矩阵和基本回路矩阵分块按八类支路类别将基本割集矩阵和基本回路矩阵分块为：为： 线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法|flt1QQ|flt 1BB|ftl 1QQ|ftl1BB111213142122232431323334414243441000010000100001VtCtfRtLtQQQQQQQQQQQQQQQQQ112131411222324213233343142434441000010000100001TTTTIlTTTTLlfTTTTRlTTTTClQQQQQQQQBQQQQQQQQ电压电压源源树支树支电容电容电流电流源源树支树支

14、电感电感树支树支电阻电阻连支连支电感电感连支连支电阻电阻连支连支电容电容14 当在树支中出现一个电感时，则此电感一定与某些电当在树支中出现一个电感时，则此电感一定与某些电流源和电感构成割集，这个割集中不会有电阻和电容。所流源和电感构成割集，这个割集中不会有电阻和电容。所以以 和和 为零矩阵。为零矩阵。 当连支中出现一个电容时，只有此电容与某些电压源当连支中出现一个电容时，只有此电容与某些电压源和其他电容构成回路的情况下才会如此，而这些电容已经和其他电容构成回路的情况下才会如此，而这些电容已经在树在树T中了。因此以电容作为连支的一个基本回路中不会中了。因此以电容作为连支的一个基本回路中不会有电阻

15、和电感。所以有电阻和电感。所以 。 由由 可知可知, 。 故基本割集分块矩阵中故基本割集分块矩阵中 。线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法43Q44Q4344 0BBTlt QB34430T QB3444430QQQ111213142122232431323341421000010000100000100VtCtfRtLtQQQQQQQQQQQQQQ112131411222324213233314241000010000010000001TTTTIlTTTTLlfTTTRlTTClQQQQQQQQBQQQQQ15支路电流和电压向量分别表示为支路电流和电压向量分别

16、表示为其中，其中， 和和 是已知的激励源向量，是已知的激励源向量， 和和 是状态变量，是状态变量，其余的十二个向量均应消去。根据其余的十二个向量均应消去。根据 和和 得得线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法12341234Tbttttlllliiiiiiiii12341234TbttttllllVVVVVVVVV1tV1li2tV2lifb 0Q ifb 0B V111 112213 3144tlllliQ iQ iQ iQ i 221 122223 3244tlllliQ iQ iQ iQ i 331 132233 3tllliQ iQ iQ i 441 14

17、22tlliQ iQ i 1111212313414TTTTlttttVQ VQ VQ VQ V2121222323424TTTTlttttVQ VQ VQ VQ V3131232333TTTltttVQ VQ VQ V4141242TTlttVQ VQ V(6-10)(6-11)(6-12)(6-13)(6-14)(6-15)(6-16)(6-17)16八类支路给出八组元件方程。八类支路给出八组元件方程。对于树支电阻和连支电阻有对于树支电阻和连支电阻有树支电容和连支电容的电流可表示为树支电容和连支电容的电流可表示为考虑到互感，树支和连支电感的电压可表示为考虑到互感，树支和连支电感的电压可表示

18、为线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法4422tttttllltlllddtddtiVLLVLLi33tt tVRi(6-18)(6-19)(6-20)(6-21)(6-22)33llliGV22tttddtViC44lllddtViC17将式（将式（6-11）代入式（）代入式（6-20）左边得）左边得为得到状态方程，需要消去上式中的为得到状态方程，需要消去上式中的 。由式（由式（6-21）、式（）、式（6-17）知其中）知其中由式（由式（6-19）、式（）、式（6-16）得）得由式（由式（6-18）、式（）、式（6-12）得）得线性非常态网络的状态方程系统编写

19、法线性非常态网络的状态方程系统编写法3331 1322333tt ttltltl VRiRQ iRQ iRQ i(6-23)(6-24)(6-25)(6-26)33131232333TTTlllltltltiGVG Q VG Q VG Q V2221 1222233244tttllllddt VCiQ iQ iQ iQ i41241424TTlttllllddddtdtdtVVViCC Q+C Q34,llii18将式（将式（6-26）代入式（）代入式（6-25）得）得令令 左乘上式，并移项得左乘上式，并移项得令令 ，以，以 左乘上式得，左乘上式得，将式将式(6-24)、(6-28)代入式（代

20、入式（6-23），即得所需的状态方程），即得所需的状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法(6-28)(6-29)31312323331TTlltltltlTTltlltliG Q VG Q VG Q RQ iG Q RQ iG Q RQ i1llR = G112242423232233332222112313123333121112414TTTttlttlTTttlTtlddtddt VCQ C QQ R Q V + Q R Q RQQiQ R Q VQ R Q RQQiVQ C Q333331312323331 133322TT

21、TTTltltttltlR +Q RQiQ VQ VQ RQ iQ RQ i3333TltR = R +Q RQ1R111131312323331 133322TTTTltttltliR Q VR Q VR Q RQ iR Q RQ i19由式（由式（6-22）和式（）和式（6-13）可得）可得即即式（式（6-30）中的）中的 可表示为树支电压，而树支电压中的可表示为树支电压，而树支电压中的 由式（由式（6-22）可表示为）可表示为将上式和式将上式和式(6-15)、(6-26)、(6-28)各代入式各代入式(6-30)经整理经整理得得线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系

22、统编写法(6-30)(6-31)4212244142tllllttttltttttlddddddtdtdtdtdtiiiiiVL+ L= -L Q- L Q+ L2421224241ltlllllltlltltdddddtdtdtdtiiiiLVLVL QL Q2142241llllltlltdddtdtiiL - L QVL Q2lV4tV2424242421122323323232333332323221112323313132333331323111414241TTllltttlltTTTTTTtttttlTTTTTTtttttlTlltttddtddtiL +Q L Q-Q L - L

23、 QQQ RQ R QVQ RQ R Q RQQ RQiQQ RQ R QV + Q RQ R Q RQQ RQii+ L QQ L Q20式（式（6-29）和式（）和式（6-31）构成了状态方程，可合并写成）构成了状态方程，可合并写成其中其中线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法(6-32)(6-33)(6-34)(6-35)(6-36)21212121ttttlllldddtdtdddtdtVVVVMABBiiiiMM00CML11122122AAAAA11122122BBBBB1122 00BBB21线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程

24、系统编写法(6-37)(6-38)(6-39)(6-40)(6-41)(6-42)(6-43)(6-44)(6-45)(6-46)(6-47)(6-48)112414Tl BQ C Q2424TMtlC= CQ C Q122323333323232TTTtttAQ RQ R Q RQQ RQ42424242TTMlltttlltL= L +Q L Q-Q L - L Q1112323T AQ R Q11223333222TtAQ R Q RQQ12122323323TTTtAQQ RQ R Q1112313T BQ R Q11223333121TtBQ R Q RQQ22414241Tlttt

25、 BL QQ L Q12112323313TTTtBQQ RQ R Q122323333313231TTTtttBQ RQ R Q RQQ RQ22线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法(6-49)(6-50)(6-51)122323333323232TTTtttAQ RQ R Q RQQ RQ122323333313231TTTtttBQ RQ R Q RQQ RQ为简化为简化 的表达式，的表达式，可令可令以以 左乘上式得左乘上式得以以 左乘左乘 中的公共因子，并将式中的公共因子，并将式(6-27)、(6-49)、(6-50)代入得，代入得，即即3333TtlG

26、 = G +Q G Q11333333331133333333133333333TttltTltTlltlGRQ R= G +Q GQRQ RQ RQ GQ RQ RQ GRQ RQRQ G1G113333tlRQ RG Q GG2222A ,B1133333333133333333TTttttttTTltlt 11G RRQ R Q RGRG RQ RQ RQ G Q RG G Q G Q R113333TtttGRRQ R Q R23线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法(6-52)(6-53)(6-54)(6-55)1223232T AQ G Q122323

27、1T BQ G Q将式（将式（6-51）代入式（）代入式（6-42）、式（）、式（6-46）得）得将式（将式（6-50）代入式（）代入式（6-41）、式（）、式（6-45）得）得改动之后使表达式简明，且具有对应相似的形式。改动之后使表达式简明，且具有对应相似的形式。3333TtlG = G +Q G Q12122323323TTTlAQQ G Q G Q12112323313TTTlBQQ G Q G Q1112323T AQ R Q11223333222TtAQ R Q RQQ1112313T BQ R Q11223333121TtBQ R Q RQQ1223232T AQ G Q12232

28、31T BQ G Q12122323323TTTlAQQ G Q G Q12112323313TTTlBQQ G Q G Q3333TltR = R +Q RQ24p用系统法建立状态方程可分以下几步骤：用系统法建立状态方程可分以下几步骤： （1 1）将支路按规定排列、编号定方向；）将支路按规定排列、编号定方向； （2 2）作相应线图）作相应线图G G，并画出标准树；，并画出标准树； （3 3）列写基本割集矩阵及其各分块矩阵；）列写基本割集矩阵及其各分块矩阵； （4 4）求矩阵）求矩阵 ； （5 5）求）求 中各分中各分块矩阵，即得所需状态方程。块矩阵，即得所需状态方程。线性非常态网络的状态方程

29、系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法,tllllttlttC CLLLLR G21212121ttttlllldddtdtdddtdtVVVVMABBiiii25p例例6-1 6-1 建立下图所示的网络状态方程建立下图所示的网络状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法基本割集矩阵：基本割集矩阵：100000001001010000001101001000110010000100001000000010100000000001101000fQ26p例例6-1 6-1 建立下图所示的网络状态方程建立下图所示的网络状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法

30、线性非常态网络的状态方程系统编写法1300tCCC2lCC120000ttllLLLLL23333300TtltGGG = G +Q GQG1400lRRR = R27p例例6-1 6-1 建立下图所示的网络状态方程建立下图所示的网络状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法122424300TMtlCCCC= CQ C Q424212TMllttLLL= L +Q L Q111112323400TGG AQ R QR112233332222210Tt AQ R Q RQQQ1212232332310TTTl AQQ G Q GQ212232322301100

31、0TRRR AQ G Q28p例例6-1 6-1 建立下图所示的网络状态方程建立下图所示的网络状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法21124140TlC BQ C Q1112313T 0BQ R Q112233331210011TtBQ R Q RQQ2241424110TltttL BL QQ L Q 121123233131TTTlBQQ G Q G Q2122323130001000010TRR BQ G Q29p例例6-1 6-1 建立下图所示的网络状态方程建立下图所示的网络状态方程线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编

32、写法112112313431122221220001000000000011000001010000CSCSCSCSLSLSdVdVdtdtCCGVVCdVdiCGVidtdtLLRiiLdididtdt30p 含有受控源的线性电路的状态方程有时难含有受控源的线性电路的状态方程有时难以列出，因为它的复杂性阶数在一般情况下不以列出，因为它的复杂性阶数在一般情况下不能依据电路的拓扑来确定。非线性电路的状态能依据电路的拓扑来确定。非线性电路的状态方程通常用电容的电荷和电感的磁通链作为状方程通常用电容的电荷和电感的磁通链作为状态变量，它的编列过程比线性电路更为复杂。态变量，它的编列过程比线性电路更为复

33、杂。线性非常态网络的状态方程系统编写法线性非常态网络的状态方程系统编写法31多端口法多端口法 将电容、电感以及独立源抽出，余下的将是一个多将电容、电感以及独立源抽出，余下的将是一个多端口电阻网络。根据多端口网络端口电压、电流的关系端口电阻网络。根据多端口网络端口电压、电流的关系是，即可获状态方程。是，即可获状态方程。设网络有：设网络有： u个电感个电感 （q-u）个独立电流源个独立电流源 w个独立电压源个独立电压源 （m-q-w）个电容）个电容注：电感和电容上电压和电注：电感和电容上电压和电流的参考方向均相反，故有流的参考方向均相反，故有LLddt iVLCCddt ViC(6-63)(6-6

34、4)32多端口法多端口法 前前q个端口和后（个端口和后（m-q）个端口的电压、电流，分别）个端口的电压、电流，分别用向量用向量 表示，则表示，则式中式中 为多端口网络的混合参数矩阵，其为多端口网络的混合参数矩阵，其各分块矩阵可以用直观法计算或通过关联矩阵和支路导各分块矩阵可以用直观法计算或通过关联矩阵和支路导纳矩阵计算。纳矩阵计算。 为使与抽出的元件对应，为使与抽出的元件对应， 都可以再都可以再分成四个分块矩阵。分成四个分块矩阵。1122,V i Vi111121221222VHHiiHHV11122122HHHHH11122122,，HHHH33多端口法多端口法 为使与抽出的元件对应，为使与

35、抽出的元件对应， 都可以再都可以再分成四个分块矩阵。分成四个分块矩阵。同样同样 也可表示为也可表示为1122,V i Vi11111212111112122121222221212222ababcdcdababcdcdHHHHHHHHH =HHHHHHHH11122122,，HHHH1LisVVV1Lsiii2SCVVV2vsCiii电感电压向量电流源端电压向量电感电流向量独立电流源向量独立电压源向量电容电压向量电压源端电流向量电容电流向量34多端口法多端口法取上式第一、四行等式并用式取上式第一、四行等式并用式(6-63)、(6-64)代入得代入得 令令则有则有1111121211111212

36、2121222221212222LababLiscdcdsvsababsCcdcdCVHHHHiVHHHHi=iHHHHViHHHHV(6-65)1111121221212222La Lb sasbCCc Ld scsdCddtddtiLHi + HiHVHVVCHiHiHVHV00LMC111211121121222122LabLbascdCdcsCdidtdVdtHHiHHi= MMHHVHHV(6-69)35多端口法多端口法电感数电感数u=2，电流源数为零，电流源数为零，电压源数电压源数w=1，电容数为，电容数为1，m=4p例例6-2 6-2 所示电路所示电路 现以现以 为状态变量建立状

37、态方程。为状态变量建立状态方程。13624856 ,5 ,12 ,20RRRRRRR 791216 ,14 ,1,2,1 ,RRLH LH CF12,LLiiCV11134412.314H120.16670.16670.36190.0952H210.16670.36190.16670.0952H220.0706350.0039680.0039680.059523H36多端口法多端口法p例例6-26-2（续（续1 1）1111134412.314aH= H120.16670.0952bH210.16670.0952cH220.059523dH因为因为u=q=2，故知，故知111112121111

38、12122121222221212222LababLiscdcdsvsababsCcdcdCVHHHHiVHHHHi=iHHHHViHHHHV120.16670.3619aH210.16670.3619aH220.070635aH220.003968bH220.003968cH11000.5L 11C110000.50001M37多端口法多端口法p例例6-26-2（续（续2 2）经整理计算经整理计算111211121121222122LabLbascdCdcsCdidtdVdtHHiHHi= MMHHVHHV11221340.16670.166726.15720.04760.18100.166

39、70.09520.05950.0039LLLLsCCdidtdidtdVdti=iVV38差分形式的状态方程差分形式的状态方程 如果将时间分成相等的小间隔，经过一个小间隔后如果将时间分成相等的小间隔，经过一个小间隔后的状态可以表示为现有时刻状态和激励的线性组合，这的状态可以表示为现有时刻状态和激励的线性组合，这种形式的方程称为差分形式的状态方程。根据差分形式种形式的方程称为差分形式的状态方程。根据差分形式的状态方程和状态初值，可以依次递推出各种时刻的状的状态方程和状态初值，可以依次递推出各种时刻的状态量。将电感和电容用线性化的模块代替后即可推出差态量。将电感和电容用线性化的模块代替后即可推出差

40、分形式的状态方程。分形式的状态方程。 设电感（或电容）的电压、电流参考方向取一致，设电感（或电容）的电压、电流参考方向取一致，则则由上式可得由上式可得或或 式中式中( )( )()( )kLkLkLkLkt tdi ti ti ttV tLLdtt(6-71)(6-72)(6-73)(6-74)1( )( )()LkLLkLki tG V ti t(1)LkLLks kiG ViLtGL(1)1()s kLkii t39差分形式的状态方程差分形式的状态方程同理，对电容有同理，对电容有或或 并简化为并简化为式中式中1( )()( )CkCkCkVtVtitCt(6-75)(6-76)(6-77)

41、(6-78)(6-79)CCGt(1)(1)s kCC kiG V 1( )( )()CkCCkskitG Vti t1()CkCCkskiG Vi t由式（由式（6-716-71）和式（）和式（6-766-76）可作电感、电容等效电路。）可作电感、电容等效电路。时间间隔是确定的，所以时间间隔是确定的，所以 相当于确定的线性电导。相当于确定的线性电导。,LCGG电感等效电路电感等效电路 电容等效电路电容等效电路40差分形式的状态方程差分形式的状态方程不同瞬间计算时不同瞬间计算时 值不变，只有等效电流源值不变，只有等效电流源 变变动。所有电感和电容用等效电路替代后，所面对的仅是动。所有电感和电容

42、用等效电路替代后，所面对的仅是一个纯电阻网络，通过一个纯电阻网络，通过2.12.1节方法建立节点电压方程，节方法建立节点电压方程，每一瞬间节点导纳矩阵都相同。每一瞬间节点导纳矩阵都相同。其中其中 是是 和和 的线性组合。的线性组合。,LCGG电感等效电路电感等效电路 电容等效电路电容等效电路(1)s ki1(1)nkns kbskskVYAiAYVAi(1)s ki(1)C kV(1)L ki(6-80)41差分形式的状态方程差分形式的状态方程整理式（整理式（6-806-80）可简化为）可简化为电容电压和电感电流可以表示为节点电压的线性组合，可得电容电压和电感电流可以表示为节点电压的线性组合，

43、可得(6-81)(6-82)(1)12(1)C ksknkL kskVVVKKii(1)12(1)C kCkskL kLkskVVVKKiii42输出方程输出方程 待求的电压、电流等输出向量可用列向量待求的电压、电流等输出向量可用列向量 表示，则有表示，则有其中其中C、D为参数矩阵，可由电阻部分网络推出。为参数矩阵，可由电阻部分网络推出。 由式（由式（6-83）可知：当第一个电容用）可知：当第一个电容用1伏电压源替代，其伏电压源替代，其余电容和电压源短路，电感和电流源断开，所解得输出向量余电容和电压源短路，电感和电流源断开，所解得输出向量即即C的第一列；第二个电容用的第一列；第二个电容用1伏电

44、压源替换时获伏电压源替换时获C的第二列，的第二列，依次类推。轮到电感时应用依次类推。轮到电感时应用1安的电流源替换，同样可得安的电流源替换，同样可得C的的后面各列。后面各列。 同理，求矩阵同理，求矩阵D各列时，可依次将各电压源和电流源用各列时，可依次将各电压源和电流源用单位元替换，其余皆短接或断开。单位元替换，其余皆短接或断开。(6-83)sCsLVVY = CDiiY43输出方程输出方程p例例6-3 6-3 所示电路网络中节点所示电路网络中节点44为参考并以节点为参考并以节点11、 2 2、 3 3的电压为输出。试求输出方程。的电压为输出。试求输出方程。 解：将电感用电流源替代、电容用解：将

45、电感用电流源替代、电容用电压源替代后，得到电阻网络的对电压源替代后，得到电阻网络的对应拓扑图，并由图得关联矩阵。应拓扑图，并由图得关联矩阵。支路导纳矩阵：支路导纳矩阵：支路电压源和电流源向量分别为：支路电压源和电流源向量分别为：101010011010111100011000110A111111100612206161214bdiagY0000000TssCVVV120000000TsLLiii44输出方程输出方程p例例6-36-3（续）（续） 各代入式（各代入式（2-242-24）、式（）、式（2-252-25）分别得）分别得故得输出向量故得输出向量 或或0.371430.050000.25

46、0000.050000.362500.062500.250000.062500.31250Tnb YAY A112222660121266sLsLCCnbssLLssLLViViVViiVViiJAYV - Ai1111223260126sLnCnnLnnsLViVVViVViYYY 120.166677.00004.00000.166670.28572.00001.14290.047620.190486.00006.17150.40953CLsLViVi Y45网络状态方程的解网络状态方程的解 状态方程适宜于采用数值求解。数值计算的欧拉法和状态方程适宜于采用数值求解。数值计算的欧拉法和龙格库

47、塔法均可直接适用于解状态方程。本节将推导方程龙格库塔法均可直接适用于解状态方程。本节将推导方程的解析解。的解析解。 将式（将式（6-326-32）两边乘以）两边乘以 , ,并将激励源向量和激励并将激励源向量和激励源的一阶导数向量合并可简写为源的一阶导数向量合并可简写为其中其中 即状态向量，即状态向量， 实际上是（实际上是（6-326-32）中）中 ， 是激是激励源向量，励源向量， 实际上是实际上是 。对上式两边取拉氏。对上式两边取拉氏变换，得变换，得或或 1MddtXAXBFXA1MA FB1MBB( )(0)( )( )ssss1XXAXBF( )(0)( )sss1A XXBF(6-85)

48、(6-86)46网络状态方程的解网络状态方程的解令令并以并以 左乘式（左乘式（6-866-86）两边得）两边得式（式（6-886-88）就是状态向量的频域解，其中第一项是）就是状态向量的频域解，其中第一项是零输入零输入相应相应；第二项是；第二项是零状态响应零状态响应。 称为称为预解矩阵预解矩阵，或称为，或称为分解矩阵。分解矩阵。由式（由式（6-886-88）得）得预解矩阵预解矩阵 包含了网络的固有特性。可以求出包含了网络的固有特性。可以求出 的的原函数，并用原函数，并用 表示，即表示，即称称 为为网络的状态转移矩阵网络的状态转移矩阵。1( ) ss1A ( )( )(0)( )( )ssssX

49、XBF(6-87)(6-88)(6-89)(6-90)( ) s ( ) s 1( )( )(0)( )( )tLsssXXBF( ) s ( ) s ( ) t 1( )( )tLs( ) t 47网络状态方程的解网络状态方程的解 由式（由式（6-896-89）、式（）、式（6-906-90）以及拉氏变换的卷积定理）以及拉氏变换的卷积定理得得或或 式（式（6-926-92）表明：由状态转移矩阵中）表明：由状态转移矩阵中 可以将可以将t0t0时时的状态的状态 转移至任意瞬间转移至任意瞬间t t时的状态时的状态 ，只需知道大，只需知道大于于t0t0的激励向量就可以了。的激励向量就可以了。 状态转

50、移矩阵中状态转移矩阵中 是网络所固有的。对给定网络建是网络所固有的。对给定网络建立网络的状态方程获得系数矩阵立网络的状态方程获得系数矩阵 后，可以直接通过时域后，可以直接通过时域法表示法表示 。 (6-91)(6-92)0( )( )(0)()( )ttttdXXBf A22( )2!ktktttetk 1AAAA ( ) t 000( )()( )()( )tttttttdXXBf0( )tX( ) tX( ) t ( ) t 48网络状态方程的解网络状态方程的解p例例 ，求，求解：解： 0213AteA23232323231002266140113377152!3!71233371 33.

51、52.526tttetttttttttttt A22( )2!ktktttetk 1AAAA 结果以无穷级数表示，可以用数值方法计算状态转移矩阵。49网络状态方程的解网络状态方程的解p例例 ，求，求 0213AteA通过频域变换的方法，可以获闭合形式的解。112321( )131(1)(2)ssssssss1A 其中分母多项式的根就是网络的固有频率。将上式每其中分母多项式的根就是网络的固有频率。将上式每一元素按部分分式开展，得到一元素按部分分式开展，得到得状态转移矩阵：得状态转移矩阵：221211( )1112(1)(2)sss 2212222212222( )( )11122tttttttttteeeetLseeeeee50网络状态方程的解网络状态方程的解设设即设即设 有有 重根。则将预解矩阵每个元件有理分式分解重根。则