七年级下册数学同步练习题库：平行线及其判定(较难)

1、平行线及其判定（较难）BA、CD延长线上的1、如图，AB ± BC,AE 平分Z BAD 交 BC 于点 E, AE ±DE,Z 1+Z2=90 °,M> N 分别是 点，/ EAM和/ EDN的平分线交于点 F. / F的度数为 共26页，第8页A. 120° B. 135° C. 150° D ,不能确定2、如图，在 4ABC中，AC=BC=2 , / C=900, AD是4ABC的角平分线，DEXAB ,垂足为E, AD的垂直平分线交AB于点F,则DF的长为3、如图，在4ABC中,直平分线交AB于点F,AC=BC=2 ,

2、C C=900, AD 是4ABC 的角平分线，DEXAB ,则DF的长为垂足为E, AD的垂4、以线段AC为对角线的凸四边形 ABCD （它的四个顶点 A、B、C、D按顺时针方向排列，每个内角均小 于 180°）,已知 AB=BC=CD, / ABC=120° , / CAD=30° ,则/ BCD 的大小为 .5、（本题 12 分）如图 1, CE 平分/ ACD , AE 平分/ BAC , / EAC+/ ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2,当/ E=900保持不变，移动直角顶点 E,使/ MCE=/ECD,当

3、直角顶点 E点移动时，问 ZBAE与/ MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3, P为线段AC上一定点，点 Q为直线CD上一动点，当点 Q在射线CD上运动时（点 C除 外）/ CPQ+/CQP与/ BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由.当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）/ CPQ+/CQP与/ BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.84B- AB6、（1）如图，直线 AB /CD, E是AB与AD之间的一点，连接 BE, CE,可以发现 / B+ / C= / BEC .证明过程如下:证明：过点E作EF/ AB ,.AB/DC, EF/AB （辅助线

4、的作法），EF / DCC=/CEF. EF / AB , . B=Z BEF. B+ Z C= ZCEF+ Z BEF即/ B+/C=/BEC.（2）如果点E运动到图所示的位置，其他条件不变，/ B, / C, / BEC又有什么关系？并证明你的结 论；（3）如图，AB / DC, /C=120 , / AEC=80 ,则/ A=.（写出结论，不用写计算过 程）。7、如下图，按要求作图:.过点F作直线S平行于;.过点F作/E 川8，垂足为口.8、如图，E是直线AB , CD内部一点，AB/CD,连接EA , ED .(1)探究猜想：若/ A=20° , / D=40 ,则/ AED

5、= °猜想图中/ AED , /EAB, / EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论.(2)拓展应用：如图，射线FE与li, 12交于分别交于点 E、F, AB/CD, a, b, c, d分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界，其中区域 a, b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：/ PEB, / PFC,/EPF的关系(任写出两种，可直接写答案)9、某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、.图中，4=9* NA = 30% 图中，ZD=90。，图是该同学所做的一个实验：他将 DEF的直角边DE与 ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿A

6、C方向移动.在移动过程中，D、E两 点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1)在DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F' C两点间的距离连接FC' -FCE的度数.(填 不变"、渐变大”或 逐渐变小”)(2) DEF在移动过程中，一FCE与一CFE度数之和是否为定值，请加以说明；(3)能否将 DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？如果能，请求出此时 NCFE的度数，如果不能，请说明理由。10、已知点D是4ABC边AB上一动点(不与 A, B重合)分别过点 A, B向直线CD作垂线，垂足分别为E, F,。为边AB的中点.(1)如图1,当点D与点。

7、重合时，AE与BF的位置关系是 , OE与OF的数量关系是(2)如图2,当点D在线段AB上不与点O重合时，试判断 OE与OF的数量关系，并给予证明；(3)如图3,当点D在线段BA的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路.11、如图，AB为。直径，C为。上一点，点 D是&C的中点，DELAC于E, DFLAB于F.(1)判断DE与。的位置关系，并证明你的结论;(2)若OF=4,求AC的长度.12、(本题满分8分)如图，在4ABC中，CA=CB,以BC为直径的圆。交AC于点G,交AB于点D, 过点D作。的切线，交CB的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证：D

8、FAC;(2)如果。O的半径为5, AB = 12,求cosE.13、如图，已知 AB/CD,分别探究下面四个图形中/ 系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性。结论：(1)(2) (3) (4) APC和/ PAB、/ PCD的关系，请从你所得四个关选择结论：,说明理由:D为圆心DC为半径作。D交AD于点G,过点14、如图，在 4ABC 中，/ B=45°, AD，BC 于点 D,以作。D的切线交AB于点F,且F恰好为AB中点.(1)求 tan/ACD 的值.(2)连结CG并延长交AB于点H,若AH=2 ,求AC的长15、如图，AB为。直径，C为。上一点，点 D是&C&#

9、39;的中点，DELAC于E, DFLAB于F.(1)判断DE与。的位置关系，并证明你的结论;(2)若OF=4,求AC的长度.16、如图，四边形 ABCD内接于。O, AB是。的直径，AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA.(1)求证：BC=CD ;(2)分别延长 AB , DC交于点P,过点A作AF LCD交CD的延长线于点F,若 PB=OB ,cd=?0 ,求DF的长.17、如图，AB是。的直径，AC是。的弦，E是AB延长线上的点,BFLEC 于 F交。于 D,/ EBF=2 / EAC .(1)求证：CE是。的切线;(2)18、(请在括号里注明重要的推理依据)如图，已知 AM /BN

10、, / A=60° .点P是射线AM上一动点(与点 A不重合)，BC、BD分别平分/ ABP 和/ PBN,分别交射线 AM于点C, D.(1)求/ CBD的度数；(2)当点P运动时，/ APB与/ ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的A C P关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.(3)当点P运动到使/ ACB= / ABD时，/ ABC的度数是19、如图，已知 AB /CD,分别探究下面四个图形中/ APC和/ PAB、/ PCD的关系，请从你所得四个关 系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性。结论：(2)；(3)；(4)选择结论：,说明理由:

11、20、(1)、如图，AC平分/ DAB , / 1 = /2,试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图，在(1)的条件下，AB的下方两点 E, F满足：BF平分/ ABE , CF平分/ DCE,若Z CFB=20 , / DCE=70 ,求/ ABE 的度数(3)在前面的条件下，若 P是BE上一点；G是CD上任一点，PQ平分/ BPG, PQ/GN, GM平分 ZDGP,下列结论：/ DGP - Z MGN的值不变；/ MGN的度数不变.可以证明，只有一个是正确 的，请你作出正确的选择并求值.21、已知：如图， ADBC于点D, EGBC于点G, / E=/AFE。求证：AD平分/

12、BAC参考答案1、B.2、-3、4-2 "4、60 °或 120°5、（1） AB/CD ,理由见解析；1ZBAE+工/MCD=9°0 ;理由见解析；/ BAC= / PQC+/QPC;/ PQC+ / QPC+ / BAC=180 .6、（ 2） / B+/C=360° - / BEC;证明见解析；（3）20°.7、作图见解析8、 （1） 60; / AED= /A+/D; （ 2）当 P 在 a 区域时，/ PEB= / PFC+/EPF;当 P 点在 b 区域 时，/ PFC=/PEB+/EPF;当 P 点在区域 c 时，/ E

13、PF+/PEB+/PFC=360 ;当 P 点在区域 d 时， ZEPF=Z PEB+/PFC.9、（1）变小，变大；（2）和为定值，理由见解析；（3） 15°.10、 AE/ BF, OE=OF . OE=OF .11、( 1) DE与。相切，证明见解析；(2) AC=8.12、(1)证明见解析；(2)cosE=2513、( 1) Z APC+ Z PAB+ Z PCD=180(2) Z APC= Z PAB+ Z PCD(3) Z APC= Z PCD- Z PAB(4) Z APC= Z PAB- Z PCD14、( 1) 2; ( 2) 2"15、( 1) DE与。

14、O相切,证明见解析；(2) AC=8.16、( 1)证明见解析；这(2) DF的长为 2 .17、( 1)证明见解析;(3) RD的值为418、( 1) Z CBD=60 ; ( 2)不变化，Z APB=2 Z ADB ,证明见解析；(3) Z ABC=3019、( 1) Z APC+ Z PAB+ Z PCD=180(4) Z APC= Z PAB+ Z PCD(5) Z APC= Z PCD- Z PAB(6) Z APC= Z PAB- Z PCD20、（1）、AB /CD;理由见解析；（2）、30° （3）、/ DGP - / MGN的值随/ DGP的变化而变化； / MGN

15、的度数为15。不变；证明过程见解析.21、证明见解析.【解析】1、试题分析：1 + 7 2=90°,MAE +Z NDE=180o >2-90o=270o,又AF 平分/ EAM , DF 平分 /EDN, ./ FAE + / FDE=270o 及=135o, .四边形 AEDF 的内角和是 3600, AE ± DE, / AED=90o, .Z F=360o-90o-135o=135o,故选 B.考点：1.平角意义；2.四边形内角和度数；3.角平分线的应用.2、 AD是4ABC的角平分线， ./ CAD = /BAD, DC=DE. GF是AD的垂直平分线，.A

16、F=DF, ./ BAD=/ADF, ./ ADF = Z CAD, .DF / AC, ./ BDF=90°,.BDF是等腰直角三角形，.BD = DF. . AC=BC=2, / C=900,.设 BD=x，则 DE=CD=2-x,BE = 2收一工.-BE2+DE2=BD2,.（2V2-2）：+（2-x）3-?解之得，=4- 2加 .3、 AD是ABC的角平分线， ./ CAD = /BAD, DC=DE. GF是AD的垂直平分线，.AF=DF, ./ BAD=/ADF, ./ ADF = Z CAD, .DF / AC, ./ BDF=90°,. BDF是等腰直角三

17、角形，.BD = DF. . AC=BC=2, / C=900,：.AB = JS = 22 .设 BD=x，则 DE=CD=2-x,日总=2陋一 2 .-BE2+DE2=BD2,.(2点-2,十(2-解之得x = 4 2点 .BD = DF = 4-22 . AB=BC, ZABC=120° , / 1 = Z 2=Z CAD=30°, .AD / BC,如图1,过点C分别作CEXABT E, CF ±AD T F, . / 1 = /CAD,.CE=CF,在 RtACE 与 RtAACF 中，.AC=ACCE = CF RtAACERtAACF, ./ ACE

18、=Z ACF,在 RtA BCE 与 RtA DCF 中, .CB=CD,CE=CF, RtABCERtADCF , ./ BCE=Z DCF , ./ 2=Z ACD=30° , ./ BCD=60°四边形ABCD是等腰梯形, ./ BCD' 2ABC=120°.所以/ BCD=60° 或 120°.5、试题分析：（1）由 CE 平分/ ACD , AE 平分/ BAC ,可得/ BAC=2 / EAC , / ACD=2 / ACE,由已 知可得/ BAC+ Z ACD=180 ,从而可得 AB / CD;过点E作EF/AB ,利用

19、两直线平行，内错角相等可得到关系；利用两直线平行、同旁内角互补或内错角相等以及三角形内角和定理即可得到试题解析：（1） ; CE平分/ ACD , AE平分/ BAC ,/ BAC=2 / EAC , / ACD=2 / ACE , . / EAC+ /ACE=90 , ./ BAC+ / ACD=180 .AB / CD;(2) / BAE+ 2 / MCD=90 ;过 E 作 EF / AB , . AB / CD,.EF / AB / CD, ./ BAE= /AEF, / FEC=/DCE,/ E=90° , . . / BAE+ / ECD=90 ,. / MCE= / E

20、CD, / BAE+ 2 / MCD=90 ;D C邺(3): AB / CD, ./ BAC+/ ACD=180 ,QPC+ / PQC+ / PCQ=180 , ./ BAC= / PQC+/QPC;: AB / CD,/ BAC= / ACQ/ PQC+ / PCQ+ / ACQ=180 , / PQC+ / QPC+ / BAC=1802、三角形内角和定理6、 ( 1) (2) (3)分别过E作EF/ AB ,根据平行线的判定得出AB / CD / EF,根据平行线的性质得出即可.(2)证明：如图，过点 E作EF/ AB , AB /DC （已知），EF/AB （辅助线的作法）， .E

21、F/DC （平行于同一直线的两直线平行），C+/CEF=180 , /B+/BEF=180 ,. B+/C+/AEC=360 ,. B+/C=360 - Z BEC;（3）解：如图，过点 E作EF/AB,.AB /DC （已知），EF/AB （辅助线的作法） .EF/DC （平行于同一直线的两直线平行），.C+/CEF=180 , /A=/BEF, . / C=120 , / AEC=80 , ，/CEF=180 - 120 =60° ,，/BEF=80 - 60 =20°,/ A= / BEF=20 .故答案为：20°.点睛”本题考查了平行线的性质和判定的应用，

22、能正确作出辅助线是解题的关键，注意：（1）两直线平行，内错角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补，以及平行于同一直 线的两直线平行的运用.7、试题分析：（1）根据平行线的作法作图即可;（2）根据作垂线的步骤，并且标注直角的符号 试题解析：.过点?作直线CB平行于用君；.过点F作/E ，垂足为0.8、试题分析：(1)根据平行线的性质求出角的度数即可；本题的方法一，利用平行线的性质和外角的性质即可得出结论；方法二利用平行线的性质得出即可；(2)本题分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质和三角形外角性质得出结论即可试题解析：(1) Z AED=60_/ AED= /

23、A+/D,证明：方法一、延长 DE交AB于F,如图1,1. AB / CD,/ DFA= / D,/ AED= / A+ / DFA ;方法二、过E作EF/AB,如图2,1. AB / CD,.AB / EF / CD,/ A= / AEF , / D= / DEF ,/ AED= / AEF+ / DEF= / A+ / D;(2)任意写一个。当P在a区域时，如图 3, / PEB=/PFC+/EPF;J当P点在b区域时，如图 4, / PFC=/PEB+/ EPF;当P点在区域 c时，如图5, / EPF+/ PEB+/ PFC=360 ;当P点在区域 d时，如图6, / EPF=/PEB

24、+/PFC.点睛：本题的关键是辅助线的画法，这类题型辅助线一般选择延长中间点的线段，构造三角形，利用平行 线的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和来解决；或是过中间的点作平行线，利用平行线 的性质解决问题即可.9、试题分析：(1)利用图形的变化得出 F、C两点间的距离变化和，/ FCE的度数变化规律； (2)利用外角的性质得出/ FEC+/ CFE= / FED=45 ,即可得出答案；(3)要使FC/AB,则需/ FCE=ZA=30° ,进而得出/ CFE的度数.试题解析：(1) F、C两点间的距离逐渐变小；连接 FC, / FCE的度数逐渐变大；(2) / FCE与/ C

25、FE度数之和为定值；理由：/ D=90 , / DFE=45 ,又, / D+/DFE+/FED=180 ,/ FED=45 ,/ FED是4FEC的外角， / FEC+ / CFE=Z FED=45 ,即/ FCE与/ CFE度数之和为定值；(3)要使 FC/AB,则需/ FCE=ZA=30° ,又 / CFE+/FCE=45 , ./ CFE=45 -30 =15° .考点：1.三角形的外角性质；2.平行线的判定；3.三角形内角和定理10、( 1)根据 ASA 推出AEOA BGO,推出 OE=OF 即可；OE=OG ,根据直角三角形OE=OG ,根据直角三角形(2)延

26、长EO交BF于G,求出AEOA BGO,根据全等三角形的性质得出 斜边上中点性质得出即可；(3)延长EQ交FB于D,求出AEQA BDQ ,根据全等三角形的性质得出 斜边上中点性质得出即可.解：(1) AE / BF, OE=OF .如图，当点D与点O重合时，AE与BF的位置关系是 AE / BF, OE=OF .理由是：: O为AB的中点，.AO=BO,-. AE ±CQ, BFXCO, .AE/BF, Z AEO=Z BFO=90°,在AEO和ABFO中ZAOE=ZBOF, /AEO = /BFO, AO=B O ,AEOA BFO,.OE=OF ,故答案为：AE/BF

27、, OE=OF;(2)结论：OE=OF .证明：如图，延长 EO交BF于G.AC1. AE / BF,/ AEO= / BGO在 AEO和BGO中,ZAEO = Z£GOiZjIOE = lBOG . AEOA BGO (ASA).OE=OG . BF ±CD .FO是RtAGEF斜边上的中线 .OE=OF=OG即 OE=OF .（3） （2）中的结论仍然成立.（图形正确）如图证明思路：延长 EO、FB交于G.由（2）的证明思路可以得到 AOE0BOG,由全等得到边GE上的中线；可得到 OE=OF .OE=OG ;由 BFCD,得到 FO 是 RtAGEF 斜点睛”本题考查

28、了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解题关键 是求出AOEA BOG.11、（1）解：（1） DE 与。O 相切. 证明：连接OD、AD ,点D是菽的中点,.80=庙i,/ DAO= / DAC ,. OA=OD ,/ DAO= / ODA ,/ DAC= / ODA , .OD / AE , . DEXAC , DEXOD, DE与。O相切.(2)连接BC,根据ODF与ABC相似，求得 AC的长.AC=812、解：(1)连接 OD, CA = CB, OB = OD, A = / ABC , / ABC = / ODB , A = / ODB , .OD/A

29、C, DF 是。的切线，ODXDF, . DFAC (2)连接 BG, CD.BC 是直径， . / BDC =90°, CA = CB=10,AD =BD =AB =2x12=6, . CD =加 5=8.AB CD = 2Saabc = AC BG,一 * CD 4 月HG 24.BG= AC = T. / BGXAC , DFXAC, . BG/EF. . / E = / CBG , . cosE= cos/CBG =丽=怎13、试题分析：(1)过点P作PE/AB,则AB/ PE/CD,再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；(2)过点P作PF / AB,则AB/ CD / l,

30、再根据两直线内错角相等即可解答；(3)设AB与CP的交点为E,根据AB/CD,可得出/ PEB=/PCD,再根据三角形外角的性质进行解答；(4)设AB与CP的交点为E,根据AB/CD,可得出/ PED=ZPAB,再根据三角形外角的性质进行解答.选择即可.试题解析：(1) / APC+/PAB+/PCD=180(2) / APC=Z PAB+Z PCD(3) / APC=Z PCD-/ PAB(4) Z APC=Z PAB-Z PCD选择(1)如图，过点 P作 PE/ CD 则/ CPE+/ PCD=180 . CD / ABPE / ABAPE+ Z PAB=180 / APC+ / PAB+

31、 / PCD=180点睛：本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理能力，正确作出辅助线是 解题的关键.14、解：(1) . FG 与。D 相切DGF=90° ADLBCGD BF .FG/CB . F为AB中点，工力用“ .AD=2GD=2CD，tan/ACD=2(2) ADXBC-.Z ADB=90° ; 2 B=45°， ADB 是等腰直角三角形，/ DAB =45°. GD=CD , /GDC=90°， CGD 是等腰直角三角形GCD=45°TC=j4+36 =2而/ AHC="90 "

32、;AGH 是等腰直角三角形; AH=2,HG=2/J = 22.GD=2谑. . CG=4 . . HC=615、(1)解:(1) DE 与。相切. 证明：连接OD、AD ,点D是定的中点,. .尾廊，/ DAO= / DAC ,-. OA=OD ,/ DAO= / ODA/ DAC= / ODA .OD / AE , . DEXAC , DEXOD, DE与。O相切.(2)连接BC,根据ODF与4ABC相似，求得 AC的长.AC=816、(1)证明： dc2=ce?ca,CEDC ,又/ DCE= ZACD ,.CD=BC，.= BC=CD ；CDEACAD , Z CDB= Z DAC ,

33、BC=CD ,/ DAC= / CAB ,又 AO=CO , = / CAB= / ACO ,PC PQ ./ DAC= / ACO, . AD/OC, .产D 且,PC,. PB=OB , CD=二忘，. .血-.PC=41-又. / P=/P, /PAD=/PCB, PCBA PAD ,PC _PB无二方, ?4r/2 _ OR3OB 4苏 +2叵,ob=4 .在 RtAACB 中,=2,， AB 是直径，./ ADB=/ACB=90 , / FDA+ / BDC=90 ,/ CBA+ / CAB=90 ,FDA= / CBA.又. / AFD= / ACB=90.FD CB在 RtAAF

34、P 中，设 FD=x ,则 AF= f x,在RtAAPF中有,17、（ 1）连结 OC,. OA=OC , . EAC= Z OCA/ COE= / EAC+ / OCA=2 / EAC,/ EBF=2 / EAC/ COE= / FBE OC / BH.BFXCE .-.OCXCE .PC是。O的切线OC _BD _2(2)易知 RtAOCERtABDA, 0E 四 3 , 设。O 的半径为 2r, OE=3r, BE="r,"BF BERtA EBFRtAABD,皿 他 18、试题分析：（1）由平行线的性质可求得/ ABN,再根据角平分线的定义和整体思想可求得/CBD

35、;（2）由平行线的性质可得/ APB=/PBN, /ADB=/DBN,再由角平分线的定义可求得结论；（3）由平行线的性质可得到/ ACB=/CBN=60° + /DBN,结合条件可得到/ DBN = /ABC,且ZABC + Z DBN=60° ,可求得/ ABC 的度数.试题解析：（1） .AM/BN,A+/ABN=180° ,（两直线平行，同旁内角互补） / A=60° ./ ABN=120° .BC、BD 分别平分/ ABP 和/PBN,J.J. ./ CBP=2 / ABP, / DBP = 2 / NBP,£ ./ CBD=

36、- Z ABN=60°(2)不变化，/ APB=2Z ADB证明， AM / BN,，/APB=/PBN (两直线平行，内错角相等)ZADB=Z DBN(两直线平行，内错角相等)又 BD平分/ PBN, ./ PBN =2/DBN ./ APB=2/ADB(3) Z ABC=30°【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，同位角相等？两直线平行，内错角相等 ？两直线平行，同旁内角相等？两直线平行，a/ b, b/c?a/c.19、试题分析：(1)过点P作PE/AB,则AB/PE/CD,再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；(2)过点P作PF / AB,则AB/ CD / 1,再根据两直线内错角相等即可解答；(3)设AB与CP的交点为E,根据AB/CD,可得出/ PEB=/PCD,再根据三角形外角的性质进行解答；(4)设AB与CP的交点为E,根据AB/CD,可得出/ PED=/PAB,再根据三角形外角的性质进行解答.选择即可.试题解析：(1) / APC+/PAB+/PCD=180(2) / APC=/ PAB+Z PCD(3) / APC=Z PCD-/ PAB(4) Z APC=Z PAB-Z PCD选择(1)如图，过点 P作 PE/ CD 则/ CPE+Z PCD=180. CD / ABP