专题3.7选填题导数的综合应用(2021年高考数学一轮复习专题)

1、专题导数的综合应用(选填题)一.题型全归纳利用导数求解函数的零点或方程的根的问题【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法(1) 通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个 数或者通过零点个数求参数范围.(2) 数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结 合确左其中参数的范围.(3) 构造函数法研究函数零点二根据条件构造某个函数，利用导数确左函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区 间的极值以及区间端点的函数值与0的关

2、系，从而求解.二解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突岀导数的工具作用，体现转化与化 归的思想方法.【例1】(2020汉中模拟)若函数/与g(x)满足:存在实数/,使得/(/) = &'(/)，则称函数g为子 的“友导“函数.已知函数g(x) =丄2-x + 3为函数/(x) = x2 1nx + x的“友导“函数，则k的取值范用是 2()A(一8, 1)B. ( 8, 2D. 2, +*)C. 4-oo)【解析】g'(x)=bl由题意g(Q为函数/的“友导"函数，即方程x2 hyx + x = kx-有解，故k =xlnx +护一:壬

3、 >0, In x>0,11 x2_ 1一 +1,记 p(x) = xIn x + +1 则 p(x)=l +ln X予=In y 当 x>l 时, XXX 程k=xnx+l有解，得k>2,故选D.故p'(x)>0,故p(x)递增；当(Xxvl 时,vO, lnx<0> 故”(x)vO,故p(x)递减.故p(x)>p=2,故由方【例2】(2020江西七校第一次联考)已知函数y=Xx)是R上的可导函数，当時0时，有/(力+1-。，则 函数F(x)=xXx)Z的零点个数是()A0B1C 2D. 3【解析】：函数F(x)="(x)丄的

4、零点，就是方程欢x)1=0的根，即方程欢0=丄的根.令函数g(x)=g),XXX则 g'(x)=V(x)+M(x).因为当 x>0 时，gG)=7(x)+M(x)>0,所以 g(x)=M(x)单调递增，g(x)>g(0)=0：当 x<0 时，g'(y) =f) + a/(.y)<0,所以 曲)=欢>)单调递减，g(x)>g(0)=0.所以函数y=g(x)与的图象只有一个 交点，即F(x)=欢x)-&只有一个零点.故选B.题组高效训练突破1. 方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是()A. 3B. 2C. 1D. 0【解析】

5、设心)=卫一6F+9x-10,/(x)=3x2 12x+9=3(x-l)(x-3),由此可知函数的极大值为几1)=一6<0, 极小值为久3)= 10<0,所以方程a-3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.2. (2020-贵阳摸底)函数Xv)=ex，flx3+2x2在(0, +©上只有一个零点，则a的值为()A. 4B. 41112-3D. 511124在(0, +*)上只有一个解.令卫【解析】函数心)=占卫+*在(0, +©上只有一个零点，可得e='f-工-4- Sx4y工- 5x+4能)=匕丄.可得g©)=；、= _x，g(x)在(0,

6、 +oo)上有2个极值点，X=1和x=4：当兀二(0,1)时函数g(x)是减函数，当x：(l,4)时，函数g(x)是增函数，当x二(4, +oo)时函数g(x)是减函数，g(0) 64 3?3?=0.所以函数能)的最大值为現4)=一函数Hx)=e讥一工+3在(°, +oo)上只有一个零点，可得/=，所以d = 51n2-4.故选D.C(一8, 0)3. (2020江西赣州模拟)若函数夬x)=d*x2d有两个零点，则实数。的取值范用是()B.V0丿1 e)D. (0, 4-oo)【解析】：函数Xx)=db-x2a的导函数/(x)=aev-l.当处0时,/(x)<0恒成立，函数沧)

7、在R上单调递减，不可能有两个零点；当4>0时，令*)=0,得尸诘，函数金)在(-00,胡上单调递减，在hJ，T(1 1上单调递增，所以沧)的最小值为/ In- =l-lii2=l+lii a-2a.令g(a)=l+ln 4 2心>0),则g)Z7丿d=2.当 呵0二|时，g(C单调递增；当幺二二炖 时，血)单调递减，所以g(«)max= g - =-ln2<0,所以心)的最小值为/ In丄|<0,函数用)=a*r-2a有两个零点.综上所述，实数a的取值范围是 a丿(0, +00),故选 D.4. 已知沧)=1一卞 过点(化0)与刃X)相切的直线有且仅有3条，则

8、斤的取值范困是()【解析】设切点为勺-玉A. (一8, 2e2) B. (8, 2e2 C(8, 4e2) D(oc, 4e2/(x) = y 则切线为y 1 = (X x0) I代入点伙；0)得% %«=勺+七一占，令g(x)=x+右一壬，则当*2时，g®>0, g(x)单调递增，注意到時1,故g(x)的递增区间为(-00, 1), (1,2),当x>2时，g(x)单调递减，要使g(x)=k有三个根, 由图象可得，Xg(2)=4已 故斤的取值范围为(一口 4-e2)5已知函数冗丫)的左义域为一 1. 4,部分对应值如下表:X1023412020心)的导函数y=

9、/(x)的图象如图所示.当1勺<2时，函数y=Ax)-a的零点有个.【解析】：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y=J(x)的大致图象如图所示.由于夬0)=只3)=2, lvg2,所以y=Ax)-a的零点个数为4.y5-5 -4-3 -2-1-1-2-3-41 2 3 4 5兀6.若函数心)=+130)没有零点，则实数a的取值范围为 ( nxn ) X >7【解析1： /(x)=-一=: 一(*0)当 x<2 IM，/(x)<0；当 x>2 时，/(x)>0, 所以当x=2时，金)有极小值夬2)=g+l.若使函数沧)没有零点，当且仅当久2)=总+1&

10、gt;0,解得a>以，因此一edavO.7对于立义在R上的函数兀丫)，若存在非零实数xo,使函数夬x)在(一8,血)和(xo, +oo)上均有零点，则称xo 为函数金)的一个“折点”.现给出下列四个函数：")=3厂11+2：二Xx)=lg|x+2019|：二Xx)=r一1：二金)=/+2哒一1(加二11).则存在“折点”的函数是(填序号)【解析】因为Ax)=3x 1+2>2,所以函数&)不存在零点，所以函数沧)不存在讨斤点二对于函数沧)=lgJx+2019|,取xo=-2019,则函数冗丫)在(-ex, -2019)上有零点x=-2020, 在(-2019, +&

11、#171;>)上有零点x=-2018,所以xo=2O19是函数金)=lg+ 2019|的一个“折点对于函数 y(X)=JX1,则 /(.Y)=A 1 =(A+ l)(x 1).令/(x)>0,得x>l 或1：令/(x)<0,得一l<x<l»所以函数金)在(-00, 一 1)和(1, +劝上单调递增，在(-1,1)上单调递减.1又X-l)=<0>所以函数金)只有一个零点，所以函数Xx)=y-x-l不存在'浙点N对于函数 J(x) = at4-2mx 1 = (x4-?w)2m2l9 由 m21< 11结合图象(图略)可知该函

12、数一泄有“折点综上，存在“折点“的函数是匚二型二利用导数研究不等式的有关问【题型要点】1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1) 直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明金)Vg(x), X二(a, b),可以构造函数F(x)=y(x)g(x),如果F(x)<0,则F(x)在(a, b)上是减函数，同 时若F(a)£0,由减函数的世义可知，xZ(a, b)时，有F(x)<0,即证明了夬x)(x).(2) 将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值i正明，如 要证金旦(力在D上成立，只

13、需证明yCxjmhEgWmax即可.2. 不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径(l)/(x)Na恒成立二犬x)mia,:存在x使成立二/(xQa.(2g)Wb恒成立二夬力血芒乩 存在x使夬力切 成立二/朋厶(3畑>廉)恒成立恥“)一恥加血>0.(4) 二任意 XI 二A/,任意 X2二JVV(Xl)>g(X2)ZXxi)mm>g(X2)max：二任意 XI 二M 存在 X2ZNXl)>g(X2)=7(Xl)mm>g(X2)mm：二存在 XI二存在 X2二N,/(.Xj)>g(X2)二二存在 XI二Af,任意 X27(Al)>g(X

14、2)2(X1 )niax>g(X2)max.-3. 两个经典不等式的活用 逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1) 对数形式：x>l + ln.x(A>0)，当且仅当x=l时，等号成立.(2) 指数形式：*7 + 1仗二R),当且仅当x=0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e'Ar+l>x>l + lnx(x>0,且時1).9【例1 (2020渭南模拟)设函数Xx)=(x-a)2+(31iix-3a)2,若存在xo使久恥理币，则实数

15、a的值为()1 -4B1-2【解析】分别令g(x)=31nx, /心)=3x，设过点P(xo31nxo)的函数或v)的切线/平行于直线y=3x.g'(x)=2,由2=3,解得xo=l.匚切点P(1,O).点P到直线y=3x的距离匸存在x°=l,使犬x°)S备, p=3x,过点P且与直线y=3x垂直的直线方程为尸一扣一1).联立=丄(x_i)解得尸咅，y=Q则实数.故选A.【例2】已知函数允丫)=_ ,则y=J(x)的图象大致为()卜+1>0,【解析】因为久X)的泄义域为L “、 口即Mx>-b且時0,所以排除选项D. lln (x+1) x#),当x&g

16、t;0时，由经典不等式x>l+lnx(x>0),以x+1代替x,得x>lii(x+l)(x>-b且時0),所以ln(x+l)-x<0(x>-l,且時0),即x>0或一 lvx<0时均有夬x)v0,排除A, C,易知B正确【例3若不等式2x111 X>A-2H-67A 3对X匚(0, +oo)恒成立，贝IJ实数a的取值范羽是()A(8, 0)B( oo, 4C(0, 4-co)D. 4, +cc)【解析】2xlnxNx?+ax3,则 aS21nx+x+h 设 /;(%)=2111%+>0).则力'(x)= 冬.当兀二(0,1)

17、时，力'(x)vo,函数(x)单调递减：当X二(1, +00)时，/f(A-)>0,函数力(x)单调递增，所以力仗)迥=力=4,所 以 (A')mrn = 4.题组高效训练突破1. (2020汕头一模)函数Hx) = lnx+a的导数为/(x),若方程/(x)=7U)的根xo小于1,则实数a的取值范用 为()A(1, +x)B(0, 1)C. (h 2)D(1, y3)【解析】：.由函数7(x) = lnx+a可得/(x)=g因为xo使/(x)=/(x)成立，所以£=lnxo+a,又 O<xo<l» 所以丄>1, lnxo<O,

18、所以 a=liixo>l.xoxo2. (2020-河南豫南九校联考)设定义在(0, +上的函数夬x)的导函数/(x)满足g)>,贝lj()A. A2)Al)>ln2B. X2)-l)<ln2C. A2)y(l)>lD.夬2)Tl)vl【解析】：根据题意，函数夬x)的左义域为(0, +oo),则A/(x)>ir/(A)>i=(lnx)即f(x)-(lnxy>0.令 F(x)=y(x)-hix,则 F(x)在(0, +oo)上单调递增，故久2)In 2刁一In 1,即夬2)->(l)>ln 2.x?2ax+2a, x<L3. 已知

19、dlR,设函数用)=1.若关于x的不等式沧上0在R上恒成立，则a的取值范围xaliiXf x>l.为()A0,1B0,2C0, eDh e【解析】当时，由Xx)=x22欢+2处0恒成立，而二次函数兀r)图象的对称轴为直线x=a,所以当处1 时，/(x)mm=y(l) = l>0 恒成立，当 avl 时，夬x)min=y(a)=2a-BN),所以 OvL综上，dN).当时，由Yy11】X 1y(x)=xalnxN)恒成立，即必訂恒成立.设 曲)=订7，则0(x)=不齐"令得x=e，且当lvx<e 时，g'(x)<0,当x>e时，g©)&g

20、t;0,所以g(x)mm=g(e)=e,所以处e.综上，a的取值范围是 也玄，即0, e,故 选C.4. 已知函数夬力=*一111(丫+3),则下而对函数犬力的描述正确的是()A.二xD(3, 4-oo)t 金)£ B Or二(3, +oo), y(x)>C nX0Z(-3, 4-oo), xo)=l D Xv)mmZ(0,l)【解析】因为函数夬力=出一111 (x+3),泄义域为(一3, +oo),所以于(x)=H占，易知心)的导函数/(x) 在泄义域(一3, +oo)上单调递增，又/(1)<0, /->0,所以/(x)=0在(一3, +8)上有唯一的实根，<

21、; 2丿1A1不妨将其设为且必二-1,一一,贝'J x=x0为金)的最小值点，且/(xo)=0,即exO=，两边取以e2)xo+3为底的对数，得 X0=In (xo + 3),故/(x)汛ro) = exO ln (xo + 3)=需士一In (xo + 3)=需士+xo，因为 xo二 一1,一丄,所以 2vxo+3v*,故y(x)岁(xo)=Fz+(xo+3)3>2+£3 = *,即Ux二(一3, +oo),都有金)><2 丿X。_1_2*75. (2020安徽名校联考)关于函数金)=+lnx,有下列几个命题：二x=2是金)的极大值点；二函数y=Ax)x有

22、且只有1个零点：二存在正实数乩使得金)>也恒成立；I!对任意两个正实数X” X2，且X1>X2，若y(Xi)=y(X2)，则Xl+X2>4.其中正确的命题有()C口D. 口V9【解析】当0<x<2 Iht，/(x)<0：当x>2时，/(x)>0所以金)在(0,2)上单调递减，在(2, +©上单 调递增，x=2是金)的极小值点，故匚错误.根据函数沧)的单调性及极值点，作岀函数介)的大致图象，如 图所示作岀直线v=x,易知直线y=x与y(x)的图象有且只有1个交点，即函数y=Xv)-x有且只有1个零点，故二 0 In y0 丫 4 l X

23、xlll Y正确.若加，则+干，令曲)=負+干，则*)=，令F(x) = -4+x-xlnx,贝IJF(x)=-lnx,所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +oo)上单调递减，F(x)<F(l)<0,所以曲)在(0, +oo)± 单调递减,g(x)无最小值，不存在正实数斤，使得y(x)>后恒成立，故二错误.由Xf>X2，y(Xi)=y(X2)可知X1>2,O<X2V2, 要ilEx】+x2>4,即证 Xl>4X2,且 Xl>4X2>2, J(x)在(2, +oo)上单调递增，即证金1)刁(4X2)，又701)=“心

24、2),2 2所以证用2)刁(4 一 X2),即证 y(x)刁(4x), X 匚(0,2).令 /(x) =X-Y)-y(4 -X)=In X - In (4 -X)* x 二(0,2)，则VO,所以加x)在(0,2)上单调递减，所以比)>0,所以小+/>4,故口正确.故选C.6. (2020吉林白山联考)设函数Xx)=fx + -3-,若不等式冗怕0有正实数解，则实数a的最小值I x 丿x为【解析】：原问题等价于存在X二(0, 4-00),使得处*匕23x+3),令g(x)=eV3x+3),辺(0, +oo),则 a注(Hmm，而 g(x) = g'(x2X).由 g

25、9;(X)>0 可得 XJ(1, +co),由 g'(x)<0 可得 X j(O, 1).据此可知，函数 g(x) 在区间(0, +8)上的最小值为g(l)=e.综上可得，实数a的最小值为e.7. 若对任意a, b满足 gvbvf,都有bln Zin b,则r的最大值为【解析】：因为0<zj<b<t, bln avaln b,所以旦亠芈',1 lux令y= x=(0,少 则函数在(0, 0上单调递增，故y=-r>0>解得(Xxse,故的最大值是e.8. 已知函数Xx)=xF4,若存在x二1,2,使得用)<2,则实数a的取值范用是.

26、2 2 【解析】当丸匚1,2时，Xx)=Fax|,由Xx)v2可得一2v0-m*<2,即为一W京:一尺一乂州：22设或0=2则导数为g©)=-2x+m 入A当xlil,2时，g'(x疋0,即g(x)在1,2上单调递减，所以*)皿=一4一1 = 一5,即有一a>-5,即a<5：77设力(x)=-F+：则导数为力©)=-2x-0 儿A当如1,2时,F(x)<0,即加x)在1,2上单调递减,可得(X)max= 1+2 = 1.即有一QV1,即a>l.综上可得，Q的取值范用是一1勺<5.9. 已知函数x)=xlnx+jt2, xo是函数用

27、)的极值点，给岀以下几个命题：ZO<xo<：二xo>：二y(xo)+xovO：二y(o)+xo>O.其中正确的命题是(填出所有正确命题的序号).【解析】二函数金)=血x+#(x>0),h(x)=lnx+l+x,易得/(x)=lnx+l+x 在(0, +s)递增，J=±>0,二7(xo)+xo=x()ln xo+yvo+Ao=xo二x>0, /(.V)so, Eo<a-o<|,即二正确，匚不正确：10. 已知函数金)的定义域是-L5,部分对应值如表，心)的导函数>=/(%)的图象如图所示,.Y10245X-v)121.521下

28、列关于函数金)的命题：二函数兀丫)的值域为1,2；二函数金)在0,2上是减函数：二如果当a-=-1, r时，Hx)的最大值是2,那么r的最大值为4：二当1<<2时，函数y=Ax)-a最多有4个零点.其中所有正确命题的序号是【解析】由沧)的导函数/CO的图象可知，当一lvxvO及2<x<4时，/(x)>0,函数久力单调递增，当0<x<2及 4vx<5时，/(x)v0,函数夬x)单调递减，当x=0及x=4时，函数沧)取得极大值只0)=2,夬4)=2,当x=2 时，函数夬x)取得极小值夬2) = 15又夬一 1)=夬5) = 1,所以函数夬x)的最大值

29、为2,最小值为1.值域为1,2, :二正确：因为当x=0及x=4时，函数刃刃取得极大值夬0)=2,犬4)=2,要使当x二一 1, f时，函数夬x) 的最大值是2,则0</<5,所以f的最大值为5,所以二不正确；因为极小值夬2)=1.5,极大值只0)=夬4)=2, 所以当1勺<2时，尸=心)一a最多有4个零点，所以正确，所以正确命题的序号为二二.题型三构造法求金)与於(X)共存问题类型一f(x)g(x)±f(x)gt(x)型【题型要点】对于不等式几0+0(力>0(或<0),构造函数F(x)=Xx)+g(x).对于不等式/(x) g'(x)>0

30、(或V0),构造函数F(x)=/(x) 能).特别地，对于不等式/(.x)>或<Q(脖0),构造函数F(x)=&)k对于不等式/(x)g(x)+冗r)g©)>0(或<0),构造函数F(x)=V(x)g(x).f ( V )(4)对于不等式/(x)g(x)/(x)g©)>0(或VO),构造函数尸仗)=红亍曲耳0).【例1】泄义在R上的函数金)，满足人1)=1，且对任意的x二R都有/(.x)<|,则不等式夬lgx)>坦尹的 解集为【解析】由题意构造函数g(x)=&)务，则(a-)=/(x)-|<0,所以或0在泄义域

31、内是减函数.因为人1)=1 所以 g(i)=/(i)由y(igx)>lg1,得y(iga)；igx>|.即娈lgx)=y(lgx)gx>¥=g(l),所以lgxVl,解得OVxVIO.所以原不等式的解集为(0, 10).【例2】设Xx), g(x)分別是左义在R上的奇函数和偶函数，当xVO时，/(x)g(x)+&)g©)>0,且巩一3)= 0,贝怀等式Xx)g(x)<0的解集为.【解析】借助导数的运算法则，/Q)g(x)+&)gG)>0二金)gx)O,所以函数y=Xx)g(x)在(一a 0)上单调 递增.又由题意知函数y=

32、Ax)g(x)为奇函数，所以英图象关于原点对称，且过点(一3, 0), (3, 0).数形结 合可求得不等式7(x)g(x)<0的解集为(-co, -3)2(0, 3).类型二xf(x)±nfx)(n为常数)型【题型要点】对于灯+呎丫)>0型，构造F(x)= a7(a),则F(x)=0 1 灯(x)+"(x)(注意对0】的符号 进行讨论)，特別地，当"=1时，灯(力+心)>0,构造F(x)=aXx)，则F(x)=xf(x)+Av)>0.f (x)xf(X)71 f(X)对于灯一砍x)>0(時0)型,构造F(x)=,则尸(力=功尹卩(注

33、意对占】的符号进行讨论),f (x)xf (X ) f (x)特别地，当 ” =1 时，a/(x)-Xv)>0,构适 F(x)亠则 F(x)h >0.【例3】设/(x)是奇函数Xx)(x匚R)的导函数，夬一 1)=0,当x>0时，a/(.x)-/(x)<0,则使得金)>0成立的 x的取值范围是()A. (8. 1)二(0, 1)B. (1, 0)3(L +oo)C. (-00, -1)二(一 1, 0)D(0, 1)0(1, +oo)f ( Y )xf (x) f (x)【解析】令或0亠L，贝Ijg(x)='& ' 由题意知，当x>0时，g©)<0, 口或0在(0, +oo)上是减函数.二夬X)是奇函数，久一1)=0,二犬1)=_人_1)=0,二g(i)=y(i)=o,二当X二(0, 1)时，或0>0,从而心)>0：当 xJ(l, +©时，g(x)<0,从而Xv)<0.又二夬X)是奇函数，二当 xZ(-oo, 一 1)时，金)>0：当 xO(-l,