清华大学微积分三机考题库

1、第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页1第五部分多元函数微分学选择题容易题 1 36,中等题 37 87,难题 8899。、4 X + 3y + 2z +1 = 01.设有直线L :及平面兀:4x_2y+z_2=0 ,则直线L()xy10z十3 = 0(A)平行于二。(B) 在上二。(C)垂直于二。(D) 与二斜交。答：C4设f(x, y)是一二元函数，(X0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()(A) 若f (x, y)在点(X0,y0)连续，则f (x, y)在点(X0,y0)可导。(B) 若f (x,y)在点(X0,y。)的两个偏导数都存在，则f (x, y)

2、在点(x。，y。)连续。(C) 若f(x,y)在点(X0,y0)的两个偏导数都存在，则f (x, y)在点(X0,y0)可微。(D)若f(x, y)在点侃皿)可微，则f (x, y)在点(XQ, y0)连续。答：D5函数f(x, y, z) =3 x2y2z2在点(1,-1,2)处的梯度是()1121 1 21 12、xy2.二元函数f(x,y) =x2y2I0,(x，八(，。)在点(0,0)处()(x,y) =(0,0)(A)连续，偏导数存在(B)(C)不连续，偏导数存在(D)连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在答：C3.设函数u =u(x, y), v =v(x, y)由方程组x = u

3、 v:u22确定，则当u式V时，=(- 2 2y = u v:x(A)(B)uV答：BuV(C)-uuV(D)yuV第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页2(A)(,-)(B)2(,-)(C)(,-)(D)33 33 3 39 99答：A6 .函数z=f(x. y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0, y0), fy(x0, y0)是函数存在全微分的()。(A).充分条件 (B).充要条件(C).必要条件(D).既不充分也不必要答 C7 对于二元函数z = f (x, y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是()。(A).偏导数不连续，则全微分必不存在(B). 偏导数

4、连续，则全微分必存在(C).全微分存在，则偏导数必连续(D).全微分存在，而偏导数不一定存在答 B8 .二元函数z = f(x, y)在(x0, y0)处满足关系()。(A) .可微(指全微分存在)二 可导(指偏导数存在)=连续(B) .可微=可导=连续(C) .可微=可导或可微=连续，但可导不一定连续(D) .可导=连续，但可导不一定可微答 C右X立0-X*=0，则f (x, y)在(Xo, yo)是()oxy孰yy ho(A).连续但不可微(B).连续但不一定可微(C).可微但不一 定连续(D).不一定可微也不一定连续答 D10.设函数f (x, y)在点(x0, y0)处不连续，则f (

5、x, y)在该点处( )(A).必无定义(B)极限必不存在(C).答 D偏导数必不存在(D).全微分必不存在。第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页311.二元函数的几何图象一般是：()(A)一条曲线第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页4(B)一个曲面(C)一个平面区域(D)一个空间区域答 B12函数z =arcsin . 1 - x2- y2的定义域为()x y(A) 空集(B) 圆域(C) 圆周(D) 一个点答 C13设u = f (x2y2-z2),则U=()x(A)2xf(B)cu2x (C)2X , 2 +22).(x y -z )(D)-u2X 222、.(x

6、 y -z )第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页5(A) 存在且等于 0。(B) 存在且等于 1。(C) 存在且等于-1(D) 不存在。15.指出偏导数的正确表达()答 C16设f(x,y)=l n(x-、：x2- y2)(其中xAyA0)，则f(x + y,x-y)=()- 1(A)21 n(、.x-. y);(B)|n(x-y)；(C (Inx l ny)； (D)21 n(xy). 答案A17函数f (x, y)二sin(xy)在点(0,0)处( )(A)无定义；(B)无极限；(C)有极限，但不连续；(D)连续.答案D18函数z = f (x, y)在点P(X0, y)间断

7、，则()14.(J)%2xy3x y=(A)fxgbrmo心)、h2k2(B)fx(0，)f(C)fy(0,y)f(0，y*f(0，y)(D)fx(x,o)pmf(x，y) f(X，0)第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页6(A)函数在点P0处一定无定义;第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页7(B)函数在点Po处极限一定不存在；(C)函数在点Po处可能有定义，也可能有极限；(D)函数在点Po处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值 答案CX = U + V19.设函数u =u(x, y),v =v(x, y)由方程组22确定，u学v，则y = U + V.:u.X

8、(B)u -V答案B20.3 x2y2z2在点Mo(1,-1,2)处的梯度gradu二()22 4(999答案C21设函数z = f(x, y)在点(X0,y)处可微, 且fx(x,y0)=0,函数f (x, y)在(x, y)处( )(A)必有极值，可能是极大，也可能是极小;(B)可能有极值，也可能无极值；(C)必有极大值；(D) 必有极小值答案B、r1- CZ22设z=xy,则一 =()(0,0)(A)0(B)不存在(C)-u；;u -V(D) du vu -v(C)(D)(|fy(x, y) =0，则(A)第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页8(C)-1第五部分 多元函数微分

9、学第 6 页共 27 页2129(D) 1答 A。(D) 022rzrz24.设x z = yf (x -z ),则z y=()dxcy(A)x(B)y(C)z(D)yf(x2-z2)答 Ay zCzcz25设f (,)=0,确定z- z(x, y)则xy=()x x:x:y(A) -Z(B)z(C) -y(D)y答 B-J 26.已知x + y -z = ex, xex= tant, y= cost,则d=()dtt=o(A)(B)23.设_2yz = ys in (xy) (l-y)arcta nx e,则兰=（泳（i,o）(A)(B)(c)3212兀4第五部分 多元函数微分学第 6 页共

10、 27 页21210(B) 1第五部分 多元函数微分学第 7 页共 27 页211击z二0确定，则.o =()dxcfGf- 十-cu2cv J(D) 0(A)_ y2eyez-2(B)2 -xy zxy z-ye (e - 2) ye e(ez-2)2(C)2 _xyz2 _2xy：z-y e (e 2) y e(ez-2)2(D)2 -xyz22 -2xy亠z-ye (e -2) -ye(ez-2)328.设Z = f (x,u),u = xy,则：2z=(x(A)：2f.2.x雪y2.u(B)-2；-f-2.x-2 ,；一fy.x；y-2c 2:u(C);:2f.:x22空yxyillm

11、2(D)2X丄yX：y29.设zf (u,v),u二x22-y-2c z,则 =()cxcy(B)2x27.设z= z(x, y)由方程-2z - e(A)2x第五部分 多元函数微分学第 7 页共 27 页212-=ur 2cv丿第五部分 多元函数微分学第 9 页共 27 页213切平面方程为2(x -1) 2(y-1) - (z T) = 0.求xyz =8平行于平面x y 1的切平面，因为曲面法向量二(yz,xz,xy)(1,1,1),.丰吟哼八卄“1切平面方程为(x-1) (y-1) (z-1) =0M (x, y,z)为平面x y z = 1上的点,且该点到两定点(1,0,1), (2

12、,0,1)的距离平方之为最小，则此点的坐标为()(D)l2fFf02cv2J(C)2x4xy30.下列做法正确的是()(A)F.设方程z2= x2y2a2,Fx= 2zzx- 2x, Fz= 2z,代入zxx,得zxFz(B)设方程z2= x2y2 a2,Fx- -2x,F 2z,代入Zx -Fx,得J 二zFz(C) 求z = X2 y2平行于平面2x 2y -z = 0的切平面，因为曲面法向量z(2x,2yT(2,2T,2 2 -12x 2yx，“1,z12z(D)31.设(A)(B)(C)(D)1 1(1,2,2)(1,-丄丄)2 2(1 -1 -1)(1,2, 2)1 1%,2)第五部

13、分 多元函数微分学第 20 页共 27 页1432.若函数z = f(x, y)在点(x,y)可微，则在该点(第五部分 多元函数微分学第 9 页共 27 页215(A)与一-.x:定存在。(B)彳与;f一定连续。.xy(C)函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。(D)函数不-定连续。答A章纪33.在矩形域D : xXo| c 6,yy| 6内，fx(x, y)三0, fy(x, y)三0是f(x, y)=C(常数)的( )(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件答 C:u34.若函数u二f(t,x, y),x =(s,t), y(s,t)均具有一阶连续偏导数，贝

14、 U()ct(A)f；2-f2( B)f；-f2：2-fr；2(C)f2 r；2(D)f f：2r；2答 B35设函数:(t) (t)具有二阶连续导数，则函数Zh护(x y)(x-y)满足关系( )(B) (0,1)(C) (1,0)(D) (0,0)(A)；：2Z=0(C).x .y；：:x2-2:Z c0y(B)(D)36.二元函数-2 - 2斗0:x:y: x-2 - 2:Z : Z c-T二0 x :yz =1 - x2 y2的极大值点是(A) (1,1)第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页16(A)重合(B) 平行(C) 相交(D)异面x+2y+之间的关系是()iy +

15、z +2 = 037.直线= 2 y = z与丿第五部分 多元函数微分学第 9 页共 27 页217答：B答：D确的是()答：Dx2y2,(x,y)一(0,0),则在原点处(A)x 4y 6z二2(B)x 4y 6z = 21(C)x 4y 6z - -21(D)x 4y 6z = 21答：D38.曲面39.下列结论中错误的是()x22y23z2=21的与平面(A)df(0,0)=0。(B)dzt=0=0。(C)dz_ 1t2。1(D)dz ： dt。x 4y 6z = 0平行的切平面方程是()(A)lim打x y(B)lim旦二lixySx y :(C)lim旦一1T x + yy =x .

16、x(D)limxy不存在。PS x y答:40已知f (x, y)二阶连续可导,f(x,xy)，记v=xy，则下列结论中正确的是()-2(A).:x2r 厶 :fy-:x2_:x;v(B)；：2z；：2f- =- r；：x222y- :X:xv(C)z:x;:2f-：x2yf.:V2。(D)；：；：x2-：x22yxvxy41 .设函数z= f (x, y) = Jx2十2y0,(x,y(0,0)(x,y) =(0,0)，又X = t, y = t，则下列结论中正3xy42.设f (x, y)=第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页18.0,(x,y)珂0,0)(A).偏导数不存在，

17、也不连续(B). 偏导数存在但不连续第五部分多元函数微分学第 11 页共 27 页3719（C）. 偏导数存在且可微(D).偏导数不存在也不可微答：（B）43设f (x, y)lxxy则(0,1)=(,xy =0(A). 0(B). 1(C). 2(D).不存在答：（B）44设f (x, y) =1 n(x),则fy(1,0)=(A). 1(B).(C). 2(D). 0答：（B）45 设1f(3)则兰(A).（护每(B).(-)(34)ln3x(C).1(丄)xln33(D).y 1亠一知答:(B)46 设(A). 3/2ysi nxy +(1 _y)arcta nx +ey，则 乞|(10

18、)=(ex二/ 4(B). 1/2(C).(D).0答：（B）47设方程y二F（x2y2） F（x y）确定隐含数y = f (x)(其中F可微），且1f(0) =2,F (2)(4) =1,则f (0H(1(A). 1/7 (B).(C).11(D).答:(B)48曲面xyz = 1上平行于平面x y z 0的切平面方程是（(A).(B).第五部分多元函数微分学第 11 页共 27 页3720第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页21(C).x y z -1 = 0(D).x y z = 0答：(A)49. 二元实值函数z = 2x- y在区域D =(x, y) w R20兰y兰1

19、一x上的最小值为( )(A). 0(B).-1(C).-2(D).-3答：(C)2 250. 平面2x 3y - z二彊是曲面z=2x - 3y在点(1/2，1/2，1/2 )处的切平面，则的值是()。(A).4/5(B). 5/4(C)2 (D).1/2答：(C)51 .已知曲面 x . y z二 a,(a 0)，在其上任意点(x0, y0, z0)处的切平面方程截距之和为()(A),a(B).3、a(C).a(D).3a答：(C)52 .指出f (x, yH22xy2与不相同的函数()x + y2 2x - y(A)f1(x y,x y)二一x+y(B)f2(x + y,x y) = *(

20、C)f3(u v,u v)x20,x,x2y2=0y2= 02 2u -v1 1 12皿()-J 2肿0，则切平面在三坐轴走上的第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页22第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页232u2-2uv2 22u - 2uv v53.指出错误的结论：()(A)按等价无穷小的替换原则，有lim血y2)x,0 x2y22 2= limX_x，y)0 x2- y2(B)按无穷大量与无穷小量的关系，有limx,y)0 xyx ylimx,y j01 i因当x, y- 0时，一x y(C)按变量代换的方法，有1lim -1 lim (1 t)?=1，X,y J

21、0e e 1x,y 2此处t二exey-1o(D)按根式有理化方法，有lim 1 HlimJX,y Qxyx,y)01 .1 _xy 254以下各点都是想说明lim f(x, y)不存在的，试问其理由是否正确?x,y)0(A)对f(x, y)=必，理由是讨二-X时函数无定义。x + yxy圭 _(B)对f (x, y)=x + y yx,理由是令y = x2或x2x将得到不同的极限值I 0, y = -x0, - 1o(D)f4(U,U -V)第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页24第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页25(C)对f(x,y) = ,x0,理由是令y=1

22、X，即知极限不存在。I 0, x = 0. 1i1亠(D)对心畀)=严肓+ysin7xy=0理由是当o或0时极限已经不存J0, xy = 0在，故二重极限更不可能存在了。55.在具备可微性的条件下，等式d(u vdu dv, d(，u) =x)yyo(x,y) Xxo, yo)(B)函数在点(Xo, yo)连续,则极限lim f (x, y)必定存在(x,ylxo,yo)jfOf(C) 与一 都存在,则f (x, y)在点(xo, yo)必连续欣Po poT(D)f(x,y)在po点沿任何方向u的方向导数存在，则f(x, y)在点(xo,y。)必连续答 B70如f (x, y)在点(xo, y

23、o)不可微，则一定不成立的是()(A)f (x, y)在po点不连续第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页32(B)f (x, y)在po点沿任何方向u的方向导数不存在第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页33(C)f (x, y)在po点两个偏导数都存在且连续(D)f(x, y)在po点两个偏导数存在且至少有一个不连续答 C成立时，f (x, y)在(xo, yo)点必有全微分df = 0在点(x,y。)两个偏导数fJ = 0, f；=072.下列结论中正确的是(A)设z = f(u,v),u= (x, y),(x, y),如:；-：在点(x,y。)存在偏导，f在点(Uo

24、，Vo)存在偏导,则fuUxfvVx,fuUyfvVy一定成立excy(B)fxy, fyx只要存在，必有fxy = fyx(C)偏导数只要存在必定连续(D)初等函数在有定义的点必定连续答 D73设f(x,y)xy,则在(0,0)点()(A) 连续,但偏导数不存在(B) 偏导数存在,但不可微(C) 可微(D) 偏导数连续,但不可微答 B71 下列条件中(A)(B)f (x, y)在点(Xo, yo)的全增量(C)f(x, y)在点(xo, yo)的全增量f2 2sin (LXcy )LX2.Ly2(D)f (x, y)在点(xo, yo)的全增量f2 21十x y )s-x第五部分 多元函数微

25、分学第 20 页共 27 页342xy74.f(x,y)二x2y4I0(A) 不连续，偏导数存在且可微(B) 连续,偏导数存在，但不可微(C) 沿任何方向v =(cosr,sin：)的方向导数存在，且可微(D) 不连续，但沿任何方向v =(COSRSin：)的方向导数存在，并且不可微75.设z二f (x, y)在(1,1)点可微，f(1,1)=1,1卫=b,又有ex dyd2碎(x) = f(x, f (x, f(x,x),则一(x)=()dx(A)2(a ab ab2b3).(B)a ab ab2b33(C)a ab 2a23(D)a ab aba答 A76.下列极限中存在的是()T77设(

26、x, y, z) = xyzln y - e -1,x0二(0,1,1),有(0,1,1) = 0,下列结论中正确的是(x, y) =(0,0),则在(0,0)点(x, y)二0(A)(1 -x)y一2X2XmTTmTTHxHx y y冋02y02第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页35()(A) 方程(x,y,z) =0在点xo邻域内不能确定隐函数x= f(y, z)(B) 方程(x,y,z) =0在点xo邻域内不能确定隐函数y=g(x, z)(C) 方程(x,y,z) =0在点X。邻域内不能确定隐函数z = h(x,y)(D) 以上均不正确答 C78若函数u =u(x, y)为

27、可微函数，且满足=x,则当x = 0时，Ux(x,y) y/=(u(x,y) y, =1,ux(x,y)y2(A) 1(B)12(C)(D)-179设函数f (x)在-1 ,1上连续，则.x(A)f (sin x) - f (cos y)(B)f (sin x) cosx f (cos y) sin y(C)f (sin x)cosx(D)f (cos y)sin y80设x2y2+z2=2，则邑创U 2,0,0)-(A)-1,0(B)-1 ,不存在(C)1(D)不存在，081当=(时，由方程y - x - sin y = 0总能确定yy(x)，且y(x)就具有连续导函数第五部分 多元函数微分

28、学第 20 页共 27 页36(A)(z2)连续(B):(z2)可微(C)(z2)可微且：:(z2)=0(D):(z2)可微且2yz=(z2) = 1答 D83.已知曲面z = 4 - X2-y2上点P的切平面2x 2y 0,则点P的坐标是()(A ) (1,-1,2)(B) (-1,1,-2)(C)(1,1,2)(D) (-1,-1,2)答C84.曲面z = f(x, y)在(xo，-y)的切平面方程是()(A)z = f(x, y) fx(Xo, y)(x -Xo) f(x。，y)(y - y)(B)z二f(Xo，-y。)-fx(xo，y)(x X。)一fy(x。，y)(yy。)(C)z=

29、 f(Xo，-yo)fx(Xo，-yo)(x -x) fy(xo，-yo)(yy)(D)z= f(Xo，-yo)fx(Xo，-yo)(x-x)fy(xo，-yo)(y- y)答C85若函数f(x, y)在点(x, y)的某个邻域内具有连续的偏导数，则函数在该点沿e = c o电+s i巧(其中申为x轴到e的转角)的方向导数为()(A)gradf (x,y)e(B)gradf (x, y) e(C)gradf (x,y) cos(D)gradf (x,y) sin 答 B86若函数u(x, y),v(x, y)点(x, y)的某个邻域内具有连续的偏导数，则在该点梯(A)啊1(B)-1(C)(D)

30、82 在 ()条件下，由方程x y (z2)所确定的函数z = z(x, y)满足方程:z:yJz2)豆ex第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页37度grad (uv)二()(A)ugradv(B)vgradu(C)gradu gradv(D)vgradu ugradv答 C87若函数f(x, y)在区域D内连续，关于极值的陈述()是正确的第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页38(A)f (x, y)在偏导数不存在的点也可能取到极值(B)若f (x, y)在 D 内有唯一驻点，贝Uf (x, y)至多有一极值点(C)若函数f (x, y)有两个极值点，则其中之一必为极大

31、值点，另一个必为极小值点(D)在驻点(xo,y)处，若fxy(x, y)-fxx(x, y) fyy(xo,y) _0，则(xo,y。)不为极值点答 A88.下列命题中错误的是()(A) 若f (x)在a,b上可导，且存在唯一的极小值点M0，贝y f (M0)必是f (x)在a,b上的最小值。(B) 若f (x, y)在有界闭域D内存在唯一的极小值点M0，则f (M0)必是f (x, y)在D上的最小值。(C) 若f (x, y)在有界闭域D内取到最小值，且M。是f(x, y)在D内的唯一极小值点， 则f (M0)必是f(x,y)在D上的最小值。(D) 连续函数f(x,y)在有界闭域D上的最大

32、、最小值可以都在；:D上取到。答：B89 .下列命题中正确的是()MMi是 a 在Mi处的法向量。则M0M1是在Mi处的法向量。向量，则M0M i =卽职MM0。(A) 设M。为曲面 a 外一点，Mi为曲面 a 上的点，若MMmin(B) 设M。为光滑曲面 外一点，Mj为曲面 上的点,M0Mi=minMM0,(C)设M。为光滑曲面 a 外一点，Mi为曲面 a 上的点,M0Mi是一在Mi处的法第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页39(D)设M0为光滑曲面 外一点，Mj为曲面 上的点,M0Mi是一在Mi处的法第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页40向量，则MoMjyo(D)

33、 若lim lim f (x, y)不存在，则lim f (x,y)不存在。XToyTyoxjxoyjyo答：C92.设f (x, y)是一二元函数，(X。，y。)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是()(A)若f (x, y)在点(xo,yo)的两个偏导数都存在，则f (x, y)在点(x, y)的梯度是gradf(xo,yoef/)。excy(B)若f (x, y)在点(xo,y)的两个偏导数都存在，则f (x,y)在点(x, y)沿方向八(cos,sn)方向导数是兰血加二兰凶如如出血注。cvCXcy(C )若f (x,y)在点(xo,yo)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x, y)的微分是第五部分 多元函数微分学第 20 页共 27 页41df(x y)戲(xo,yo)d一cf(xo,yo)dydf (Xo, yo)dxdy。x: y(D)若f(x, y)在点(Xo，yo)可微，则f (x, y)在 点(Xo,y)的微分是dfgyordx dy。excy答：D93记P= J(x_a)2+(y _b)2，