点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

1、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、基础知识1、若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2,那么点(xo,yo)在圆上X。2 ayob22 r圆内X。2 ayob22 r圆外Xo2 ayob22 r2、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：0 相交（1）代数法（判别式法）0 相切0 相离dr相交（2）几何法，圆心到直线的距离dr相切dr相离一般宜用几何法。3、弦长与切线方程，切线长的求法2（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d,圆半径r,弦长I，则d2- r22（3） 改写圆方程写出圆的切线方程：（xo,yo）为切点的圆的切线方程，分别以xo x,Xoxyo

2、y, 丁匹一y改写圆方程中的2X2, y2,x,y（4）切线长过圆外一点 P(xo,yo)引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=o(D 2+E2-4F>o)或(x-a)2+(y-b) 2=r2(r>o)的切线则切线长：dxo y； Dxo Eyo F2 ayo b $ r24、圆与圆的位置关系O1O212相离0。1D外切r1D01 02r1 r2相交01 02r1r2内切01 02r1r2内含5、圆系方程(1 )以(a,b)为圆心的圆系方程：x a2y b 2 r2 r 0。(2)过两圆 C1 : x2 y2D1xEiyFi0 和 C2 : x2 y2D2xE2y F20的交点的圆系方

3、程：x2 y2 D1xEiyFi2 2x y D2XE?yF20但不含C21时，I： DiD2 xEiE2 yFiF20为两圆公共弦所在直线方程其中当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。二、题型剖析例1、已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，0为原点，且 OP 0Q，求该圆的圆心坐标及半径。解法一设 P(Xi,yi), Q(x2,y2)，由 OP 0Q,得：k0Pk0Q= -1 即也 y = -1 即 xiX2+yiy2=0 x1 x2另一方面(Xi,yi),(X2,y2)是方程组；+：23爲+详0的实数解，即 Xi,x2是 5x2+10x+4m-

4、27=0的两个实数根，xi+X2=-2,x ix2=4m 27 5、 1 1又 P,Q在直线 x+2y-3=0 上， yiy2=4 (3-xi)(3-X2)= 4 9-3(x i+X2)+x 1x2m+12将代入得yiy2= -5 将代入知：m=3.1 5代入方程检验 >0成立.- m=3圆心坐标为(，3)，半径为r 2 2解法二将3=x+2y代入圆的 方程知：x2+y2+1 (x+2y)(x-6y)+善(x+2y) 2=0,整理得：(12+m)x2+4(m-3)x y+(4m-27)y 2=0 由于 xm 0 可得(4m-27)( ' )2+4(m-3) ' +12+m

5、=0 , koP, XXm+12koQ是上方程的两根，由koPkoQ= -1知：4m 27 =-1,解得:m=3.检验知m=3满足.>015-圆心坐标为(,3)，半径为r 【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意>0的检验练习1:若直线ax+by=1与圆x2+y2=i相交，则点P(a,b)的位置是(B )A、在圆上B、在圆外C、在圆内D、都有可能变式2、过点(2, 1)的直线中，被x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是(A )A、3x-y-5=0B、3x+y-7=0C、x+3y-5=0D、x-3y+1=0例2、已知圆C： (X 1

6、)2 (y 2)225,直线l : (2m 1)x (m 1) y 7m 40(m R).(1) 证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦最小时的方程解 (1) | 的方程为(x+y-4 ) +m(2x+y-7)=0/ m R / x+y-4=0,且 2x+y-7=0,得 x=3, y=1即|恒过定点A(3,1)圆心C(1,2) , |AC|=5 <5点A在圆C内，从而直线|恒与圆C相交于两点.1(2) 弦长最小值时，| AC 由kA(= -,所以|的方程为2x-y-5=0.【思维点拨】用直线系方程求点。m的取值无关，故从而解出y)+mg(x,y)=0的形式

7、，此式的成立与若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常采用有分离系数法: 即将原方程改变成：f(x,定点。练习2：把直线x 2y0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,A、3 或 13贝U实数的值为(A)B、-3 或 13C、3 或-13D、-3 或-13解：平移后直线x 2y1 2 2.5,5，所以 3或13例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A、B ,证明直线 AB的方程是 X0x+y°y=r2证法一 设A、B的坐标分别为(X1,y1),(x2,y2).A、B在已知

8、圆x2+y2=r2上，过A、B的切线方程分另U是 X1x+y1y=r2 , X2x+y2y=r2又P是两切线公共点，即有X1X0+y1y0=r2 , x2X0+y2y0=r2上面两式表明点 A(X1 ,y1), B(x 2,y2)都在二元一次方程X0x+y 0y=r2表示的直线上，所以直线AB的方程是2X0x+y0y=r .证法二以0P为直径的圆的方程为1 1 1(x- 2 x0)2+(y- 2 y0)2= 4 (x02+y02)即 x2+y2 -x0x-y0y=0 又圆的方程是X2+y2=r2 两式相减得X0x+y0y=r2.这便是过切点AB直线方程。【思维点拨】(1)体现了曲线与方程的关系

9、；(2)两圆相减得公共弦直线方程 例4、已知两个圆 G: x2+y2=4, O： x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C和C2的交 点且和L相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0即(1+)x2 + (1+) y2-2x-4y+4-4=01 2半径为直线与圆相切，耳?寥 =1,化简：(a-2)(b-2)=2Ja +b ；设 AB 的中点坐标为(x,y),贝U a=2x,b=2y,代入得(2x-2)(2y-2)=2,即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)1 由(a-2)(b-2)=2,得 ab=2a+2b-

10、2 S a aob= ?|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3>2 (a-2)(b-2) +3=22 +3 ,当且仅当 a=b=2+ 2 时，面积有最小值：2 2 +3.三、小结1. 有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。2. 弦长计算问题要用直角三角形。3 直线系，圆系的应用2 24116所以圆心为1 '12 11114(4 161612依题意有-1 1” 1 2解之得1 ,舍去1,故所求圆的52方程为 X2+y2-x-2y=0。练习4: 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是(C )(A)x 2+y2+x-5y+2=0(B)x 2+y2-x-5y-2=0(C)x 2+y2-x+7y-32=0(D)x 2+y 2+x+7y+32=0备用题：例5已知与曲线 C： x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、y轴于A、B两点，0为原点，且