点和圆、直线和圆的位置关系

1、24. 2 点和圆、直线和圆的位置关系24.点和圆的位置关系1.如图，O0 的半径为 r.点 A 在OO夕卜，则 OA_r ;点 B 在OO上，贝U0B 二 r ;点 C 在OO内，则0C_r.（2）若 0A r,则点 A 在OO 外 ;若 OB= r，则点 B 在OO 上 ;若 OGc r，则点 C 在OO 内.2.在同一平面内，经过一个点能作无数 个圆；经过两个点可作无数 个圆；经过_不在同一直线上的三个点只能作一个圆.3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是三边垂直平分线的交点 .4.反证法首先假设命题的 结论不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设错误，从而得到原命题成立.知识点 1

2、:点与圆的位置关系1. 已知点 A 在直径为 8cm的OO内，贝UOA 的长可能是（D）A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm2.已知圆的半径为 6cm点 P 在圆外，则线段 OP 的长度的取值范围是 _OP6_cm_3. 已知OO的半径为 7cm点 A 为线段 OP 的中点，当 OP 满足下列条件时，分别指出 点 A 与OO的位置关系：（1）OP = 8cm（2）OP = 14cm（3）OP = 16cm解：在圆内（2）在圆上（3）在圆外知识点 2 :三角形的外接圆4.如图，点 0 是厶 ABC 的外心，/ BAC= 55，则/ BOC= _110 _.5.直角三角形外接圆的圆心在 _斜边

3、的中点上.若直角三角形两直角边长为6 和 8,则该直角三角形外接圆的面积为 _25n.6.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（C）A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形7.如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口 A,B, C,这三个洞口不在同一条直线上， 请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置.解：图略.连接 AB, BC 分别作线段 AB, BC 的垂直平分线，且相交于点0,点 0 即为所求知识点 3:反证法&用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设（D）A.相交B.两条直线不垂直C.两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于

4、同一条直线的两条直线相交9.用反证法证明：“ ABC 中至少有两个锐角”，第一步假设为 ABC 中至多有一个锐角_ .10.用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么这两条直线 平行.已知：如图，直线 l1, 12被 13所截，/ 1 + / 2= 180,求证：I1_12.证明：假设 I1_不平行I2,即卩 I1与 I2相交于一点 P,则/ 1 +Z2+ZP_匕_180 （三角形内角和定理 _）,所以/ 1 +Z2_乞_180,这与已知矛盾，故假设不成立，所以 _I1/ I2.11.在数轴上，点 A 所表示的实数为 3,点 B 所表示的实数为 a,OA 的半径为 2.

5、下列 说法中，不正确的是(A)A. 当 av5 时，点 B 在OA内B. 当 1vav5 时，点 B 在OA内C. 当 av1 时，点 B 在OA夕卜D. 当 a5 时，点 B 在OA夕卜12.如图， ABC 的外接圆圆心的坐标是 _( 2, 1).13.在平面直角坐标系中，OA 的半径是 4,圆心 A 的坐标是(2 , 0)，则点 P( 2, 1) 与OA的位置关系是_点 P 在OA外_.14.若 0ABC 的外心，且/ B0& 60,则/ BAC-_30 或 150 _.15.如图， ABC 中, AO 3, BO 4,ZC= 90,以点 C 为圆心作OC,半径为 r.(1) 当 r 在什

6、么范围时，点 A, B 在OC夕卜？(2) 当 r 在什么范围时，点 A 在OC内，点 B 在OC夕卜？解：(1)0vrv3 (2)3vrv416.如图，O O过坐标原点，点O的坐标为(1 , 1)，试判断点 P( 1, 1) , Q(1, 0), R(2,2)与OO的位置关系.解：点 P 在OO夕卜，点 Q 在OO内，点 R 在OO上17.小明家的房前有一块矩形的空地， 空地上有三棵树A, B, C,小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1) 请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2) 若在 ABC 中，AB= 8 米，AO 6 米，/ BAG- 90

7、，试求小明家圆形花坛的面积.解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于0 点，以 0 为圆心，0A 长为半径作出O0O0 即为所求作的花坛的位置(图略)(2)25n平方米18.如图，在 ABC 中，BA= BC D 是平面内不与点A,B,C重合的任意一点，/ ABC=ZDBEBD= BE.(1) 求证： ABDACBE(2) 如图，当点 D 是厶 ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 勺形状，并证明你的结论.解：由SAS可证 (2)四边形 BECD 是菱形.证明： ABDACBE 二 CE= AD.v点 D是厶 ABC 的外接圆圆心， DA= DB= DC又TBD=BE,ABD= BE

8、= EC=CD二四边形 BECD 是菱形24. 直线和圆的位置关系第 1 课时 直线和圆的位置关系1.直线和圆有相交、_相切、相离三种位置关系.2.直线 a 与O0_有唯一公共点，则直线石与OO相切；直线b 与O0_有两个 公共点，则直线 b 与OO相交;直线 c 与O0_没有公共点，则直线 c 与OO相离.3.设OO的半径为 r，直线到圆心的距离为 d,则：直线 li与O0_相离，贝Hd 乞 r ;(2) 直线 12与 O 0_相切，贝 y d 三 r ;(3) 直线 13与OO_J 目交 _，贝Ud_ 5 B. r = 5C.0r5D0r56. 如图，O0 的半径 0C= 5cm直线 I

9、丄 OC 垂足为 H 且 I 交OO于 A, B 两点，AB =8cm则 I沿 OC 所在的直线向下平移，当 I 与OO相切时，平移的距离为(B)A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm7. 已知OO的圆心 0 到直线 I 的距离为 d,O0 的半径为 r,若 d, r 是方程 x2-4x + m =0 的两个根，且直线 I 与OO相切，则 m 的值为_4.&在RtAABC 中，/ A= 90,/ C= 60, BO= x,OO 的半径为 2,求当 x 在什么范 围内取值时，AB 所在的直线与OO相交、相切、相离？1 1解：过点 O 作 ODLAB 于 D,可得 OD= ?OB= x.当

10、 AB 所在的直线与OO相切时，OD= r=2 , BO= 4,. 0 x 4 时，相离9.已知OO的面积为 9ncm2， 若点 O到直线 I的距离为ncm,则直线 I 与OO的位置 关系是(C)A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定10. 已知OO的半径为 3,直线 I 上 有一点 P 满足 PO= 3，则直线 I 与OO的位置关系 是(D)A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交11. 已知OO的半径为 r,圆心 O 到直线 I 的距离为 d.若直线 I 与OO相切，则以 d, r 为根的一元二次方程可能为(B)2 2A. x 3x= 0 B. x 6x + 9 = 022C. x

11、 5x+ 4= 0 D. x + 4x+ 4 = 012.如图，在矩形 ABCD 中, AB= 6, BC= 3,OO 是以 AB 为直径的圆，则直线 DC 与OO的位置关系是相切_.13. 已知OO的半径是 5,圆心 O 到直线 AB 的距离为 2，则OO上有且只有_3_个点到直线 AB 的距离为 3.-14. 如图，OP 的圆心 P( 3, 2)，半径为 3，直线 MN 过点 M(5, 0)且平行于 y 轴，点 N 在点 M 的上方.(1) 在图中作出OP关于 y 轴对称的OP,根据作图直接写出OP与直线 MN 的位置关 系；(2) 若点 N 在(1)中的OP 上，求 PN 的长.解：(1

12、)图略，OP与直线 MN 相交(2)连接 PP 并延长交 MN 于点 Q,连接 PN P N.由题意可知：在Rt P QN 中，P Q= 2, P N= 3，由勾股定理可求出 QN= 5 ;在Rt PQN 中, PQ= 3+5= 8, QN=5，由勾股定理可求出 PN= . 82+( ； 5)2= ,6915.如图，半径为 2 的OP的圆心在直线 y = 2x 1 上运动.(1) 当OP和 x 轴相切时，写出点 P 的坐标，并判断此时 y 轴与OP的位置关系；(2) 当OP和 y 轴相切时，写出点 P 的坐标，并判断此时 x 轴与OP的位置关系；(3)OP是否能同时与 x 轴和 y 轴相切？若

13、能，写出点 P 的坐标；若不能，说明理由.解：TOP的圆心在直线 y = 2x 1 上，二圆心坐标可设为 (x , 2x 1) . (1)当OP和 x 轴相切时，2x 1 = 2 或 2x 1 = 2，解得 乂乂 =或 x= ,. R, 2) , P2(, 2) .v2, | |2,且 |3| 2, x 轴与OP相离 (3)不能.T当 x= 2 时，y = 3，当 x= 2 时，y = 5, | 5|丰2 , 3 工 2,OP 不能同时与 x 轴和 y 轴 相切16.已知/ MAN=30 , O为边 AN 上一点，以 O 为圆心，2 为半径作OO,交AN 于 D, E两点，设 AD= x.(1

14、) 如图，当 x 取何值时，OO 与 AM 相切？(2) 如图，当 x 取何值时，OO 与 AM 相交于 B, C 两点，且/ BO(= 90?解：(1)过 O 点作 OF1AM 于 F,当 OF= r = 2 时，OO 与 AM 相切，此时 OA= 4,故 x= AD=2(2)过 0 点作 OGLAM 于 G, ： OB= OC= 2,ZBOC= 90,. BC= 2 2BG= CG= 2,0G= 2.vZA= 30,. 0A=2 2,：.x = At 2 2-2第 2 课时切线的判定与性质1 经过半径的 外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2圆的切线必 垂直 于过 切厂 的半径.知

15、识点 1:切线的判定1. 下列说法中，正确的是（D）A.AB 垂直于OO 的半径，则 AB 是OO的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线2.如图， ABC 的一边AB 是OO的直径，请你添加一个条件，使BC 是OO的切线，你 所添加的条件为 _/ ABC= 90 _.3. 如图，点 D 在OO的直径 AB 的延长线上，点 C 在OO上，AC= CD / D= 30 .求证: CD是OO的切线.解：连接 OC.TAC= CD/ D= 30,AZA=zD= 30 . / OA= OCOCA=ZA= 30,/COD=60

16、,A/OCD=90,AOCLCDACD 是OO的切线4. （2014 孝感）如图，在RtAABC 中，ZACB= 90 .先作ZABC 的平分线交 AC 边于点 O,再以点 O 为圆心，OC 为半径作OO （要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中 AB 与OO的位置关系，并证明你的结论.解：如图（2）AB 与OO相切.证明：作 ODLAB 于点 D,vBO 平分ZABCZACB= 90,ODLAB,AOD= OC - AB 与OO相切知识点 2 :切线的性质5.（2014 邵阳）如图， ABC 的边 AC 与OO相交于 C, D 两点，且经过圆心 O,边 AB 与OO

17、相切，切点为 B.已知ZA= 30,则ZC的大小是（A）A. 30B. 45C. 60D. 40,第 5 题图）,第 6 题图）,第 7 题图）6. 如图，OO 的半径为 3,P 是 CB 延长线上一点，PO= 5 ,PABOO于 A 点，则 PA=_4_.7. 如图，已知 ABC 内接于OO, BC 是OO的直径，MN 与OO相切于点 A.若ZMAB= 30,则ZB=60 _ .&如图，等腰 OAB 中，OA= OB 以点 O 为圆心作圆与底边 AB 相切于点 C.求证：AC =BC.解： AB 切OO于点 C,. OCL AB. / OA= OB / AC= BC9.如图，AB 为OO的直

18、径，PD 切OO于点 C,交 AB 的延长线于点 D,且 CO CD,则/ PCA =（D）A. 30B. 45C. 60D. ,第 9 题图）,第 10 题图）,第 11 题图）10.如图，已知线段 OA 交OO于点 B,且 OB= AB,点 P 是OO上的一个动点，那么/OAP 的最大值是（A）A. 30B. 45 C. 60D. 9011.如图，已知 AB 是OO的直径，AD 切OO于点 A,点 C 是IB 的中点，则下列结论不成 立的是（D）A. OC/ AE B. EC= BCC./DAE=ZABE D. ACL OE12 . （2014 自贡）如图，一个边长为 4cm的等边三角形

19、ABC 的高与OO的直径相等.OO与BC 相切于点 C，与 AC 相交于点 E，贝UCE 的长为_3cm,第 12 题图）,第 13 题图）13 .如图，直线 PA 过半圆的圆心 O,交半圆于 A，B 两点，PC 切半圆于点 C,已知 PC =3，PB= 1,则该半圆的半径为_4.14 . （2014 毕节）如图，在RtAABC 中，/ ACB= 90，以 AC 为直径作OO交 AB 于点 D,连接 CD.（1）求证：/ A=ZBCD.（2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与OO相切？并说明理由.解：(1)TAC 为直径，/ ADC=90，AZA+ZACD

20、= 90 .v/ACB= 90，./ BCD+ZACD= 90，/ A=ZBCD (2)当点 M 是 BC 的中点时，直线 DM 与OO相切.理由：女口 图，连接 DO.vDO= CO1 =Z2.v/BDC= 90，点 M 是 BC 的中点， DMh CM4=/ 3.v/2+/4= 90，/ 1 + / 3 = 90，.直线 DM 与OO相切15.如图，已知 AB 是OO的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过点 P 作OO的切 线，切点为 C,/ APC 的平分线交 AC 于点 D,求/ CDP 的度数.解：vPC 是OO的切线， OCLOP 即/OC= 90 .vAB 是OO的直径

21、，/ ACB= 90, / ACB-/ OC=/ OCP-/ OCB 即/ ACO=/ BCP 又OA= OC / A=/ ACO / BCF=/ BAC.vPD 是/ APC 的平分线，/ CPD=/ APD.v/ABC=/ CP+/ APDb/ BCP / BAC + /ABC=90, / BAC+/ CPDF/ APD/ BC= 90, / CD=/ APDF/ BAC= 4516.（2014 德州）如图，OO 的直径 AB 为 10cm,弦 BC 为 6cm,D,E 分别是/ ACB 的 平分线与OO, AB 的交点，P 为 AB 延长线上一点，且 PC= PE.（1）求 AC, AD

22、 的长；（2）试判断直线 PC 与OO的位置关系，并说明理由.解：连接BD.TAB 是直径，/ACB=ZADB= 90 .在Rt ABC 中，AC= AB2-BC=屮 02_ 62= 8(cm).ICD 平分/ ACB AD= BD, AD= BD.在RtAABD 中，AD+BD=AB,(2)直线 PC 与OO相切.理由：连接 OCTOC= OACAO=ZOCA；PC= PE, PCE=ZPEC/ZPEC=ZCAEFZACEPC 聊/ ECB=ZCAEZACE.；CD 平分/ ACBACE=ZECB/PCB=ZCAEPCB=ZACO：ZACB= 90,OCP=ZOCB-ZPCB=ZACO-ZO

23、C=ZACB= 90, OCL PC, 直线 PC 与OO相切乎 AB=X10=5 谑(呦 AD=第 3 课时切线长定理1 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的 _两_条切线，它们的切线长 相等 , 这一点和圆心的连线 平分两条切线的夹角.3.与三角形各边都二相切_的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的_内_心, 它是三角形三条角平分线的交点.知识点 1:切线长定理1. 如图，从OO外一点 P 引OO的两条切线 PA PB,切点分别为 A, B.如果/ APB= 60, PA= 8,那么弦 AB 的长是（B）A. 4B

24、8C.4 3D. 8 3,第 1 题图），第 2 题图）2.如图， 半圆 0 与等腰直角三角形两腰 CA CB 分别切于 D, E 两点， 直径 FG 在 AB 上, 若 BG=2 - 1,则厶 ABC 的周长为（A）A. 4 + 2 2 B. 6C. 2 + 2 2 D. 43. （2014 天水）如图，PA PB 分别切OO于点 A, B,点 C 在OO上，且/ ACB= 50,则/ P=_80 _ .4.如图，PA PB 是OO的两条切线，A, B 为切点，/ OAB= 30 .（1）求/ APB 的度数；当 0A= 3 时，求 AP 的长.解：(1) / APB= 60(2)AP =

25、3 3知识点 2 :三角形的内切圆5.如图，点 0 是厶 ABC 的内切圆的圆心，若/ BAC= 80,则/ BOC= (A)A. 130B . 120C. 100 D. 906.已知 ABC 的周长为 24,若厶 ABC 的内切圆半径为 2,则厶 ABC 的面积为_24_ .7. 在Rt ABC 中，/ C= 90, AC= 6, BC= 8，则 ABC 的内切圆的半径为 _2_ .8 .如图， ABC的内切圆OO与 BC CA AB分别相切于点 D, E, F,且 AB= 18cmBC =28cmCA=26cm求 AF, BD, CE 的长.解：根据切线长定理得 AE= AF, BF= B

26、D CE= CD.设 AE= AF= xcm,贝 U CE= CD= (26 x)cmBF= BD= (18 x)cm /BC= 28cm二(18 x) + (26 x) = 28,解得 x = 8,. AF =8cmBD=10cmCE= 18cm9正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（B）A2 B. 2 3D. 310. 如图，AB, AC 与OO相切于点 B, C,/ A= 50，点 P 是圆上异于 B, C 的一动点， 则/ BPC的度数是（C）A. 65B. 115C. 65 或 115 D. 130 或 50,第 10 题图），第 11 题图）11.（2014 泰安）如图，P

27、 为OO的直径 BA 延长线上的一点，PC 与OO相切，切点为 C, 点D 是OO上一点，连接 PD.已知 PC= PD- BC.下列结论：（1）PD 与OO相切；（2）四边形 PCBD 是菱形；（3）P0 = AB （4） / PDB= 120 .其中正确的个数为（A）A. 4 B. 3C2 D. 112. 如图，已知 PA PB 分别切OO于点 A, B,点 C 在OO上,/ BCA= 65，则/ P= _50 _.,第 12 题图），第 13 题图）13. 如图，PA PB 分别与OO相切于点 A, B,OO 的切线 EF 分别交 PA PB 于点 E, F,切点 C 在忌上若 PA 长

28、为 2,则厶 PEF 的周长是 4.14.如图，点 IABC 的内心，点 OABC 的外心，若/ BOC= 140，求/ BIC的 度数.解：点 OABC 的外心，/ BOC=140,A/A= 70 .又：点 I ABC 的内心，1 1:丄BIC= 180 2（180 -/A） = 90+ /A= 12515.如图，PA, PB 是OO的切线，A, B 为切点，AC 是OO的直径，AC PB 的延长线相 交于点D.(1) 若/ 1= 20 ，求/ APB 的度数；(2) 当/I为多少度时，OF= OD 并说明理由.解：(1)TPA 是OO的切线，/ BAP= 90/ 1 = 70 .又TPA

29、PB 是OO的切线，/PA= PB,：/ BAP=/ ABF= 70, / APB= 180 70X2 = 40(2)当/ 1= 30 时，OF= OD 理由：当/ 1 = 30 时，由(1)知/BAP/ ABA 60, / APB= 180 60X21=60 .TPA PB 是OO的切线，/ OPB= /APB= 30 .又T/D=/ABP-/ 1= 60 30= 30, /OPB=/ D,. OP= OD16.如图，AB 是OO的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DEBOO于点 E,交 AM 于点 D, 交BN 于点 C, F 是 CD 的中点，连接 OF.（1）求证：OD/BE;（2

30、）猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由.解：（1）连接 OETAM DE 是OO的切线，OA OE 是OO 的半径，/ ADO=/EDO /1DAO=ZDEO= 90, / AOD=ZEOD=/AOE；/ ABE=ZOEB / ABEZOEB=ZAOE 二1ZABE=gZAOE/AOD=ZABE - OD/ BE1(2)OF = 2CD 理由：连接 OC / BC, CE 是OO的切线，/ OCB=ZOCE 同理：ZADO =Z EDO/AM/ BN,ADOFZEDObZOCBFZOCE= 180 ,EDOFZOCE= 90, 1ZDOC= 90 .在RtADOC 中 , / F 是

31、 DC 的中点， OF= -CD专题训练（七）切线证明的方法一、有交点，连半径，证垂直（一）利用角度转换证垂直1.如图，AB 是OO的弦，ODL OB 交 AB 于 E,且 AD= ED.求证：AD 是OO的切线.解：连接 OA.vOA= OB/B=ZOAB.又TAD= DEDAE=ZDEA 而/DEA=ZBEQ / B+ZBEO= 90,DA 冉/OAB= 90, OA! AD, AD 是OO 的切线2.如图， ABC 内接于OO,ZB= 60, CD 是OO的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP= AC.求证：PA 是OO的切线.解：连接OA.TZB= 60,.ZAOC= 12

32、0 ,/ AOP= 60,TOA= OCOAC=1ZACP= ZAOP= 30,又 AP=AC,:丄P=ZACP= 30,：ZPAO= 90,. OAL AP,.PA 是OO的切线（二）利用全等证垂直3.如图，AB 是OO的直径，BC 丄 AB 于点 B,连接 OC 弦 AD/ OC 求证：CD 是OO的切 线.解：连接 OD.由SASffiCB3ACDO 得ZCD=ZCBO=90, CDL OD - CD是OO的切线（三）利用勾股定理逆定理证垂直4.如图，AB 为OO的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为00上一点，PC= 8, PB =4,AB= 12.求证：PC 是00的切线.解：连接 0C.根据题意，可得 0C= 6, PO= 10, PC= 8,OC+PC=POC 为直角三角形且/ PCO= 90,. OCLCP, PC 是OO的切线二、无交点，作垂直，证半径5.如图，在 ABC 中，AB= AC D 为 BC 的中点，以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E.求 证：AC 与OD相切