几种特殊类型行列式及其计算

1、11 行列式的定义及性质1.11.1定义3n级行列式a11a12IIIa1na21*a22qqIIIa2n*an1qan2IIIann这里v表示对所有n级排列求和.j1j2| IIjn1.21.2性质4性质1.2.1行列互换，行列式的值不变.性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行 列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.

2、6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积aijla2jj|anjn（1）的代数和,这里 川2川jn是1,2j|,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jij2川jn是偶排列时,带正号，当jlj2川jn是奇排列时，（1）带有负号这一定义可写成aiia21ffaran1a22an2IllIIIa2nann、_1心jnj1j2“ljnj1a2jl Ianjn22 行列式的分类及其计算方法2.12.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）

3、对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式来计算即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式2.22.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b二c时可以化为上面列举的爪形来计算，当b = c时则用拆行例）法来计算.Dn二解将第一列减去第二列的a11川a20III0a3IIIIIIIIIIIIIII100IIIan倍，第三列的a2倍第n列的丄倍，得a3ana11 - IIIa200III

4、0320II 033 I I inHI HI00 inn二.aii =2n31-二i=2丄3i丿3例2计算行列式4b川b b川ba3川b111 IIIHI b川an将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即n：l丨 - b bia bi_ab-i ia川bai =i当bc时，用拆行（列）法9，则xia a川a为a a HIa + 0b x2a川abx2a III a + 0Dn =b b x3川ab bx3III a + 0川III HI III IIIlli III III III HIb b b川x,b b b川b + Xn-b解当b=c时aicc川ba2c川Dn= bba

5、3川IIIIIIIII IIIb b b|l|cccHIan用上述特征1的方法，则有aiab一aba?- bb0IIIIIIb06 =b _ a0a3-bIII0IIIIII川IIIb a00IIIanbn1i =2ai- b0 IIIb -aib- aiIIIb -aia2 - b0 1)10a3 - b 1)1IIIHIHI00III000IIIan _bDna1bb a2b bIII IIIb b5X1aaIIIaXa aIH0bX2aIIIabX2aIH0bbX3川a+bb X3IH0川III HIHIIHIH HI HIIIIHIbbb川bbb bINXn-bX1 -a0IHIHab

6、 -aX2 a川IHaIIIIIHIHIa+(Xn b)Dn_pb -ab_a川XnA一a a00IH0b化简得Dn二b祕一a2X丨aa x_b1D而若一开始将Xn拆为a Xn-a，则得Dn= aiXb2XlbJ X bnXa-iD由1& -b -2XnT，得1 -nn1Dn = ,n(X -b)-bn (Xj -a ).a -b - yjm有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算例3计算行列式dcbXb川a川baDn =caXIH a 52)IHIHIII HcaaIII X解将第一行b，第一列a，得bca2dbc aaXaaIHIHaa

7、D =11JaaaXHI aIIIIH HI HIi6aaaIH X7即化为上2一1情形，计算得ndDn=d x-a i亠i n-1 ad-be x-a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法8来简化.例4计算行列式将第i行减去第一行的人i =2,川,n倍，得这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得n二1二i =1解将行列式升阶，得1+X12X1X2卅X212mDn二_X1-X2III片10HI0X201HI0IIIIIIIIIIIIIIIX00HI1Dnn1亠一Xii =100IIIXi10III001III0IIIXnIIIIII

8、IHIII00II12DnDn82.32.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个9顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式aiIIIa2Dn =川III川HIbnIII解按第一行展开可得a2b2 IIIIHlliIII a3 baIIIIIIDn =ai III IIIIIIIIIIIIIII1III IIIan / L.IIIIII HIIIIanIIIIIIIHPIIIIIIIIIIIIIII.IIIan/bnIIIIHanIllinIHIHa2b

9、2IHIIIIII-m+0(-)HIIIIIHHIHIIIIHIanA.IIIHInHIanVbn_1pa2川an_1n1blb山bn例6计算行列式anan JD2n +Cn Jcn解方法1直接展开可得anJ-Ibnj044a-biD2n =anc-dIi+Cn 4卜dn J0dntn+a biCdidn1dn0andbn 441a-tbi-七+ *(-)c.d-i+CnX卜dn 4Cn01011bndanJbnd二And.aiGbidiaiCibididnjdnj= (andn bnCn JDn i yD2nN.andn -06D2 na.dn- 砧8n jdn J- bn jCn JD2n

10、2詡I八ajdj-bC.方法2 （拉普拉斯定理法）按第一行和第2n行展开得bn+abi di+dn-（andn -bnCn）D2（n4j其余的同法i.2.42.4 Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第i或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行（列）元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算例7计算行列式anJD2nanbidnH2n卅七nIaiCii23HIn ini-i0HI00Dn =02-21*100IIIIIIIIIHIIHIIIIIIIIIIIIIHn -22 n0000HIn ii -

11、 n解将各列加到第一列得1213000川n11n的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其ba他元素均为零， 这是一递推结构的行列式， 所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n-1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法 例8计算行列式a bcabDn =CIS+ + bc a解按第一列展开有Dn=aDnd-bcDnq解特征方程x2-ax be =0得n (n +1 )220-1Dn =02IIIHIillH3川n1n0III00-2III00IHIIHIIIIIinIIIn 22n0按第一列展开得III 002.52.5三对角型行列式22n( n +1 6=

12、七川川III III0 IIIHI 00III III IHn -2 2-n 00 n11na b cab形如Dn = C I + +4Hc14a+yja2-4bcx,X2 -2n 1 n 1（为-X2）Dn,xix2 |.Xr_X2分别使n =1,2得a - -16,b =25,则Dn=5n 14n r.2.62.6各行（列）元素和相等的行列式加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都减去第一行 例），即可使行列式中 出现大量的零元素.例10计算行列式1+ara1卅aDn =a21+ a2IIIa2nIIIIIIHIIIIa -、a24bc例9计算行列式解按第一行展开得解特征方

13、程得则Dn_9Dn20 =0.Xi 4, X2= 5.Dna4nJn Jb5这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有例）15解将第2行到第n行都加到第1an1行，得anIII 1+anIII16=1 aiIII an.2.72.7相邻两行（列）对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n（列）开始，后行例）减去前行（列）,现大量的零元素.例11计算行列式n -2Dn1aJU ana2III1 a1川an1 a2IIIanHIIIIIIIIII1

14、 a1川ana2III1 an=0=0 + +a ai+川+a+an n a2IIIan11 a2IIIanIIIIIIIIIIIIa2III1 an10=(1 +a1+ 川+an川011HIIIIIIIIIIIII0III1即可出现大量元素为1或-1的行列式,若相邻两行（列）元素相差倍数再进一步化简即出现大量的零元素则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的-k倍，可Dn012IIIn _2n-101IIIn _3n-210IIIn _4n -4 IIIIIIDn二-1-1-111-11*1-1n T-1n -2-1n -31III17n -1解依次用前行减去后行，可得现将第1列加到第2列至第n列，得18例11计算阶n行列式这是相邻两行（列）相差倍数a，可采用前行减去后行的/ n1 a0Dn=0+0a=1 - an2.82.8范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行（列）元素德行列式来计算-100Ill00-1-20III00-1+-2i-2rhIII04404i+-1-2r-2III4-240n -12n -32n 4IIInn 1（叮Fn-1.Dn2IIIn_2n Aaaaa1IIInJ3n_2aaanA1IIIn_4naAaa13a