2017-2018中考压轴题汇编5因动点产生的梯形问题

1、2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)1 / 151.5 因动点产生的梯形问题例12018年上海市徐汇区中考模拟第24题如图 1,在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于点 A( 1,0)和点 B(3, 0),D 为抛物线的顶点，直线 AC 与抛物线交于点 C(5, 6).(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 E 在 x 轴上，且 AEC 和厶 AED 相似，求点 E 的坐标；(3)若直角坐标系平面中的点F 和点 A、 C、 D 构成直角梯形，且面积为 16,试求点 F 的坐标.2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题

2、(含答案)2 / 15例 2 2018 年上海市金山区中考模拟第24 题如图 1,在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 2 与 x 轴交于点 A，点 B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 D，已知 ABD 的面积为 18.(1) 求点 B 的坐标；1(2) 如果抛物线y x2bX C经过点 A 和点 B，求抛物线的解析式；(3)已知(2)中的抛物线与 y 轴相交于点 C,该抛物线对称轴与 x 轴交于点 H, P 是 抛物线对称轴上的一点，过点 P 作 PQ/AC 交 x 轴于点 Q,如果点 Q 在线段 AH 上，且 AQ =CP，求点 P 的坐标.2017-2

3、018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)3 / 15例 32018 年上海市松江区中考模拟第24 题已知直线 y= 3x 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A, B,抛物线 y= ax2+ 2x+ c 经过点 A, B.(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线I，点 B 关于直线 I 的对称点为C,若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD 为梯形.1求点 D 的坐标；2将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线.才；y= 3x 3 交于点 E,若tan NDPE =3，求四边形 BDEP 的面

4、积.7图 12017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)4 / 15例 42017 年衢州市中考第 24 题Rt AOB 和 Rt COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上.已知点 A(1 , 2)，过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛 物线 y= ax2+ bx+ c 经过 O、A、C 三点.(1) 求该抛物线的函数解析式；(2) 点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 M，交 x轴于点 N,问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰 梯形？若存在，求出此时点

5、 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合)，AOB 在平移的过程中与 COD 重叠部分的面积记为 S.试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.如图 1，把两个全等的2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题（含答案）5 / 152017 年义乌市中考第 24 题已知二次函数的图象经过 点 P,与 x 轴的另一交点为点求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；如图 1，在直线 y= 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，的坐标；若

6、不存在，请说明理由；如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒 2 个单位长度 的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/X 轴，交 PB 于点 N.将厶 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN .在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面 积为 S,运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式.A （2, 0）、C（0, 12）两点，且对称轴为直线 x= 4，设顶点为B.（1）（2）求出点 D（3）2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)图 2图 36 / 151.5 因

7、动点产生的梯形问题例12018年上海市徐汇区中考模拟第24题如图 1,在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于点 A( 1,0)和点 B(3, 0),D 为抛物线的顶点，直线 AC 与抛物线交于点 C(5, 6).(1) 求抛物线的解析式；(2) 点 E 在 x 轴上，且 AEC 和厶 AED 相似，求点 E 的坐标；(3)若直角坐标系平面中的点F 和点 A、C、D 构成直角梯形，且面积为 16,试求点 F 的坐标.动感体验请打开几何画板文件名“ 15 徐汇 24”，拖动点 E 在 x 轴上运动，可以体验到，直线CA和直线 DA 与 x 轴的夹角都是 45,ACAEEAD 存在两种情况

8、.思路点拨1.由 A、C、D 三点的坐标，可以得到直线 CA、直线 DA 与 x 轴的夹角都是 45，因 此点 E不论在点 A 的左侧还是右侧， 都有/ CAE =ZDAE .因此讨论厶 AEC 和厶 AED 相似, 要分两种情况每种情况又要讨论对应边的关系.2 因为/ CAD 是直角，所以直角梯形存在两种情况.满分解答(1)如图 1，因为抛物线与 x 轴交于点 A( 1,0)和点 B(3, 0)，设 y= a(x+ 1)(x 3). 将点 C(5,6)代入 y = a(x+ 1)(x 3),得 12a = 6.1113解得a.所以抛物线的解析式为y (x，1)(x-3) x -x-222 2

9、131(2)由yx2-x(X -1)2-2，得顶点 D 的坐标为(1, 2).2222017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)图 6图77 / 15因此不论点 E 在点 A 的左侧还是右侧，都有/CAE=ZDAE.由 A(1,0)、C(5, 6)、D(1, 2)，得/ CAO = 45, / DAO = 45, AC=62, AD =22.2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)图 6图87 / 15如果 CAEDAE,那么它们全等，这是不可能的.如图 2,图 3，如果 CAEEAD，那么 AE2= AC AD =6.

10、22 . 2=24.所以 AE =26所以点 E 的坐标为(一2.6 -1,0)，或(2.6 -1,0).(3) 因为/ CAD = 90 ，因此直角梯形存在两种情况.11如图 4，当 DF/AC 时，由S (DF AC) AD =16，得一(DF 6.2) 2、2 =16.22解得 DF =2 J2.此时 F、D 两点间的水平距离、竖直距离都是2,所以 F(3,0).如图 5，当 CF/AD 时，由S=(CF AD) AC =16，得-(CF 2、2) 6 . 2=16.2 2考点伸展17 16(齐)2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)图 6图97

11、/ 15如果第(3)题改为：点 那么就要分三种情况讨论了.4, 当 DF/AC 时,如图如图解得如图解得F 在抛物线上，点 F 和点 A、C、D 构成梯形,点 F 就是点 B(3, 0).FH = CH .设 F(xx2-x2x= 5 .此时点 F 的坐标为(5,16).6,当 CF/AD 时,7, 当 AF/CD 时，-FMAMx= 7.此时点 F 的坐标为= -CN.所以DN(7,16).1；(x恥-3)84求点 F 的坐标,2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)10 / 15例 2 2018 年上海市金山区中考模拟第24 题如图 1,在平面直角坐标

12、系中，直线 y= x+ 2 与 x 轴交于点 A，点 B 是这条直线上第一 象限内的一个点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 D，已知 ABD 的面积为 18.(1) 求点 B 的坐标；1(2) 如果抛物线y x2bX C经过点 A 和点 B，求抛物线的解析式；(3)已知(2)中的抛物线与 y 轴相交于点 C,该抛物线对称轴与 x 轴交于点 H, P 是 抛物线对称轴上的一点，过点 P 作 PQ/AC 交 x 轴于点 Q,如果点 Q 在线段 AH 上，且 AQ =CP，求点 P 的坐标.动感体验况，四边形 CAQP 为平行四边形或等腰梯形.思路点拨ABD 是等腰直角三角形，根据面积可以求得直

13、角边长，得到点B 的坐标.2. AQ = CP 有两种情况，四边形 CAQP 为平行四边形或等腰梯形.平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P 比较复杂，于是我们要想起这样一个经验:平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形.满分解答(1) 直线 y= x+ 2 与 x 轴的夹角为 45,点 A 的坐标为(一 2, 0). 因为 ABD 是等腰直角三角形，面积为 18,所以直角边长为 6. 因此 OD = 4 .所以点 B 的坐标为(4, 6).(2) 将 A(-2, 0)、B (4, 6)代入y =-x2bx c,2 - 2b c = 0,得解得 b = 2,-8 4b

14、 c=6.c= 6.所以抛物线的解析式为y二12x 2x 6.2请打开几何画板文件名“14 金山 24”，拖动点 P 运动，可以体验到,AQ= CP 有两种情2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)11 / 15(3) 由-r2 2x 6，得抛物线的对称轴为直线x=2，点 C 的坐标为(o,6)- 如果 AQ = CP，那么有两种情况：1如图 2，当四边形 CAQP 是平行四边形时，AQ/CP，此时点 P 的坐标为(2, 6).2如图 3,当四边形 CAQP 是等腰梯形时，作 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 F，那么点 P 在 FC上.设点 F 的坐标为

15、(x, 0),根据 FA2= FC2列方程，得(x+ 2 产=x2+ 62.解得 x= 8.所以 OF = 8, HF = 6.考点伸展第(3)题等腰梯形 CAQP时， 求点P的坐标也可以这样思考: 过点P作PE/x轴交 AC 于 E,那么 PE= PC.直线 AC 的解析式为 y= 3x+ 6,设 E(m, 3m+ 6),那么 P(2, 3m+ 6).根据 PE2= PC2列方程，得(2 - m)2= 22+ (3m)2.解得m = -1.所以 P(2,9).2 2其实第(3)题还有一个“一石二鸟”的方法：设 QH = n,那么 AQ = 4- n, PH = 3n, P(2, 3n ).根

16、据 AQ2= CP2，列方程，得.(4- n)2= 22+ (3n 6)2.整理，得 2n2- 7n-6 = 0.解得 m= 2, n-.2当 n1= 2 时，P(2, 6)，对应平行四边形 CAQP (如图 2);39当n2=3时，P(2,9)，对应等腰梯形 CAQP (如图 4).39PH =HF tan. F =6此时点因此图 32017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)12 / 15例 32018 年上海市松江区中考模拟第24 题已知直线 y= 3x 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A, B,抛物线 y= ax2+ 2x+ c 经过点 A, B.(

17、1) 求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线I，点 B 关于直线 I 的对称点为 C, 若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形 ABCD 为梯形.1求点 D 的坐标；2将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线. 才：y= 3x 3 交于点 E,若tan NDPE=3，求四边形 BDEP 的面积.7图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 12 松江 24”，拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂直距离等于 7 保持不变，/ DPE 与/ PDH 保持相等.请打开超级画板文件名“ 12 松江 24”，拖动点 P 向右运动，可

18、以体验到， D、P 间的 垂直距离等于 7 保持不变，/ DPE 与/ PDH 保持相等，tan. DPE 0.43，四边形 BDEP 的面积为 24.思路点拨1.这道题的最大障碍是画图，A、 B、 C、 D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出， 画出对称轴就可以了.2.抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P 两点间的垂直距离等于 7.3.已知/DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的垂直距离等于7,那么点 P 向右平移到直线 x= 3 时，就停止平移.满分解答(1) 直线 y= 3x 3 与 x 轴的交点为 A(1, 0)，与 y 轴的交点为 B(0, 3)

19、.将 A(1, 0)、B(0, 3)分别代入 y= ax2+ 2x+ c,得a 2 C=0解得心|c二-3.c二3.所以抛物线的表达式为 y = x2+ 2x 3.对称轴为直线 x= 1,顶点为(一 1, 4).(2) 如图 2,点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(一 2, 3).因为 CD/AB，设直线 CD 的解析式为 y= 3x+ b, 代入点 C( 2, 3)，可得 b = 3.所以点 D 的坐标为(0, 3).过点 P 作 PH 丄 y 轴，垂足为 H，那么/ PDH = / DPE .由tan DPE，得 tan PDH =-PH 3.7DH 7而 DH = 7,所以 P

20、H = 3 .因此点 E 的坐标为(3, 6).2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)13 / 15考点伸展第（2）用几何法求点 D 的坐标更简便: 因为 CD/AB，所以/ CDB=ZABO .因此.所以 BD = 3BC = 6, OD= 3.因此 D (0, 3).BD OB 3所以 S梯形BDEP2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)14 / 15例 42017 年衢州市中考第 24 题Rt AOB 和 Rt COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上.已知点 A(1 , 2)，过

21、A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛 物线 y= ax2+ bx+ c 经过 O、A、C 三点.(1) 求该抛物线的函数解析式；(2) 点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 M，交 x轴于点 N,问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰 梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若厶 AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上，且不与点 C 重合)，AOB 在平移的过程中与 COD 重叠部分的面积记为 S.试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.动

22、感体验请打开几何画板文件名“ 12 衢州 24”，拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在 AB 的左侧，存在等腰梯形 ABPM .拖动点 A 在线段 AC 上运动，可以体验到，Rt AOB、RtACOD、Rt A HG、Rt OEK、Rt OFG 和 Rt EHK 的两条直角边的比都为1 : 2 .请打开超级画板文件名“ 12 衢州 24 ”，拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在AB 的左侧，存在 AM = BP .拖动点 A 在线段 AC 上运动，发现 S 最大值为 0.375.思路点拨1.如果四边形 ABPM 是等腰梯形，那么 AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割

23、为 一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的 3 小段，两侧的线段长线段.2.AAOB 与厶 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即 OFG 减去 OEH .3. 求 OEH 的面积时，如果构造底边 OH 上的高 EK，那么 Rt EHK 的直角边的比为1 : 2.4.设点 A 移动的水平距离为 m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示.满分解答(1 )将 A(1, 2)、O(0, 0)、C(2, 1)分别代入 y = ax2+ bx + c,Ja b c =2,得gc =0解得 a = ,b =,c=0.所以y = 3 x2x.I 22224a 2b c

24、=1.(2)如图 2，过点 P、M 分别作梯形 ABPM 的高 PP、MM、如果梯形 ABPM 是等腰 梯形，那如图 1，把两个全等的2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)15 / 15么 AM = BP、因此 yA y M = yP yB.直线OC的解析式为y x，设点 P 的坐标为(x,丄x)，那么 M (x, -3x2x).22 2 22017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)16 / 15解方程2_(_|八討，得心,x-2.(3)如图 3, AOB 与厶 COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH，作 EK 丄

25、OD 于 K. 设点 A移动的水平距离为 m,那么 OG = 1 + m, GB = m.111在RtOFG中，FG = OG = (1 m)所以SOFG= (1 m)2224在 Rt AHG 中，A G= 2 m,所以HG=丄AG=丄(2 -m) =1 m2 2 2所以OH =OG HG =(1 m) -(1m) =3m2 2OK = 2 EK; 在 RtAEHK4 3 c m =2m.3 213EKm221S=S.OFG_SOEH-4(1 m)i0vmv1,所以当m=Z时，S 取得最大值，2在 Rt OEK 中，4OK OH31因此所以因为所以EK中，EK = 2HK ;=-OK=m .2

26、所以 OK = 4HK.SOEH=2OH321m m4232m二4mi2最大值为考点伸展第(3)题也可以这样来解：设点A 的横坐标为 a.由直线 AC: y= x+ 3, 可得 A(a, a+ 3).由直线 OC:y=lx，可得F(a,1a).由直线 OA: y= 2x 及 A (a, a+ 3)，可得直线 OA： y= 2x 3a + 3,H(亘弓0) 2由直线 OC 和直线 O A 可求得交点 E(2a 2, a 1).由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得2017-2018 人教版中考压轴题汇编1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)17 / 152017-2018 人教版中考压轴题汇编

27、1.5 因动点产生的梯形问题(含答案)18 / 15例 52017 年义乌市中考第 24 题已知二次函数的图象经过 点 P,与 x 轴的另一交点为点A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线x= 4，设顶点为B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2) 如图 1，在直线 y= 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在， 求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外)，以每秒 2 个单位长度 的速度由点P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN/X 轴，交 PB 于点 N.将厶 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN .在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面 积为 S,运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式.动感体验请打开几何画板文件名“ 11 义乌 24” ,拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到，M 在到 达 PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形.思路