一题多变获益匪浅

1、一题多变受益匪浅吴云天老师(#)高中数学教学的最高目标是通过少而精的习题教学,既使学生巩固所学知识,又使学生思维水平、逻辑推理水平、分析问题水平等多 方面得到练习、培养与提升.一题多变是实现这一目标,跳出题海的 法宝.现举以下三例供各位数学爱好者赏析感悟“一题多变在中学数学教 学中的作用！一、正三角形与等差等比数列之缘分在/AB湃,三内角A、B C所对的边分别为a、b、c.证实：(1) 假设A、B C既成等差数列,又成等比数列,那么 ABC为正三 角形.(2) 假设sinA、sinB、sinC既成等差数列,又成等比数列,那么 ABC 为正三角形.(3) 假设A、B、C成等差数列,sinA、si

2、nB、sinC成等差数列,那么 ABC正三角形.(4) 假设A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,那么 ABC正三角形.(5) 假设A、B、C成等差数列,二、二、,成等差数列,那么sin A sin B sinC ABC正三角形.(6) 假设A、B、C成等差数列,、一2=、成等差数列,sin2 Asin2 B sin2C那么 ABC正三角形.(7) 假设A、B、C成等差数列,sin 2 A、sin 2B、sin 2 C成等差数列,那么 ABC正三角形.(8) 假设 sinA、sinB、sinC 成等差数歹!J ,成等sin A sin B sinC差数列,那么 ABC正

3、三角形.(9) 假设sinA、sinB、sinC成等比数列,二、二、二成等sin A sin B sinC差数列,那么 ABC正三角形.(10) 假设 sinA、sinB、sinC 成等差数列,sin 2 A、sin 2B、sin 2C成等差数列,那么 ABC正三角形.(11) 假设 sinA、sinB、sinC 成等比数列,sin 2 A、sin 2B、sin 2C成等差数列,那么 ABC正三角形.(12) 假设 sinA、sinB、sinC 成等差数列,一、一,、一 成sin2 Asin2 Bsin2C等差数列,那么 ABC为正三角形.(13) 假设 sinA、sinB、sinC 成等比数

4、列,一、一、一成sin2 Asin2 Bsin2C等差数列,那么 ABC正三角形.(14) 假设-、-、成等差数列,sin 2 A、sin 2B、sin 2 Csin A sin B sinC成等差数列,那么 ABC正三角形.(15) 假设工、土成等差数列,厂、-4、二之成sin A sin B sin Csin A sin B sin C等差数列,那么 ABC正三角形.(16) 假设 sin 2A、sin 2B、sin 2C成等差数列,一.、一、一£-sin2 Asin2B sin2C成等差数列,那么 ABC正三角形.(17) 假设sin nA、sin nB、sin nC既成等差数

5、列,又成等比数列,n ,0,n eR,那么/ABC正三角形.(18) 假设 sin nA、sin nB、sin nC成等差数列,一、一、一 成sin A sin B sin C等差数列,n =0,n亡日,那么/ ABC正三角形.(19) 假设 sinA、sinB、sinC 成等比数列,一1一、一1一、一1一 成sinnA sinnBsinn C等差数列,n =0,n w日,那么/ ABC正三角形.(20) 假设 sin nA、sin nB、sin nC成等差数歹!J ,sin 2n A、sin 2nB、sin 2nC成等差数列,n ,0,nwR,那么 ABC正三角形.(21) 假设 sinA、

6、sinB、sinC 成等比数歹!J ,sin2nA、sin 2nB、sin 2nC成等差数列,n #0,n w RUA ABC为正三角形.(22) 假设 sin nA、sin nB、sin nC成等差数列,1sin2n A1sin2n B1sin2nC成等差数列,n #0,n w日,那么/ ABC正三角形.(23) 假设 sinA、sinB、sinC 成等比数列,sin A成等差数列,n ,0,n击RUA ABC正三角形.12nsin B12nsin C(24) 假设 一成等差数列,sin 2nA、sin 2nB、sinnA sinn B sinnC成等差数列,n #0,n w日,那么/ AB

7、CC正三角形.(25) 假设义、+、+ 成等差数列,sinnAsinnB sinnCsin A成等差数列,n ,0,n RUz ABCC正三角形.sin 2nC1-2nsin B1-2nsin C. 2n、sin A成等差数列,n,0,n wr,那么 ABC正三角形.sin C(26) 假设 sin 2nA、sin 2nB、sin 2nC 成等差数列,1n 3、sin B一题多变获益匪浅二、有趣的Rt：ABC中的最值三十题(1借RtAABC勺面积为1,求其两直角边之和的最小值；(2声RtAABC勺两直角边之和为1,求其面积的最大值；(3血RtABC勺面积为1,求其斜边的最小值；(4治RtAAB

8、C勺斜边为1,求其面积的最大值；(5喏RtAABC勺面积为1,求其外接圆半径的最小值；(6治RtAABC勺外接圆半径为1,求其面积的最大值；(7声RtAABC勺两直角边之和为1,求其斜边的最小值；(8)假设RtAABC勺斜边为1,求其两直角边之和的最大值；(9厝RtABC勺两直角边之和为1,求其外接圆半径的最小值；(10厝RtAABC的外接圆半径为1,求其两直角边之和的最大值;(11借RtAABC的面积为1,求其外接圆半径的最小值；(12治Rt AABC的外接圆半径为1,求其面积的最大值；(13声RtAABC的周长为1,求其外接圆半径的最小值；(14借RtAABC的外接圆半径为1,求其周长的最

9、大值；(15借RtAABC的面积为1,求其周长的最小值；(16厝RtAABC的周长为1,求其面积的最大值；(17诺RtAABC的内切圆半径为1,求其面积的最小值；(18厝RtAABC的面积为1,求其内切圆半径的最大值；(19喏RtAABC勺内切圆半径为1,求其斜边长的最小值；(20诺RtAABC勺斜边长为1,求其内切圆半径的最大值；(21宓RtAABC勺内切圆半径为1,求其外接圆半径的最小值；(22站RtAABC勺外接圆半径为1,求其内切圆半径的最大值；(23治RtAABC的内切圆半径为1,求其两直角边之和的最小值；(24宓RMABC勺两直角边之和为1,求其内切圆半径的最大值；(25刑RtAA

10、BC勺面积为1,求其外接圆半径与内切圆半径之和的最小值；(26 )假设直角三角形的外接圆半径与内切圆半径之和为1,求其面积的最大值；(27床RtA ABC勺外接圆半径与内切圆半径之比的最小值；(28 )求Rt A ABC勺内切圆半径与外接圆半径之比的最大值；(29 )求RtAABC4两直角边之和与内切圆半径之比的最小值；(30床RtAABC的内切圆半径与两直角边之和之比的最大值.三、AABC中有关等差等比数列和相关的一些不等关系与范围0,已'之缘分.3【1】在zABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论 sinA、sinB、sinC 成等差数歹域 -、成等 sin A s

11、in B sinC差数歹U或 2sinBsin A + sinC 或 sin B sin A sin C ;还是a、b、c成等差数列或-、-、】成等差数列或2b<a+c或 a b cb 一 a c.都有 B C 0,".3【2】在zABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.7 / 8题多变获益匪浅无论 sin 2 A、sin 2 Ek sin 2 C成等差数歹域 1、1、1 成 sin2 Asin2 Esin2C等差数列或 COs2A、COs2B、cos2c 成等差数列或 2sin2 Bsin2 A + sin2C或 2cos2 B Ncos2 A + cos2 C

12、或 sin2 B sin2 A sin2 C ；或sin2 B?sin2 A+sin2Csin Asin C ;还是 a2、b2、c2 成等差数列或、 a211Jr、成等差数列或2b2a2+c2或b2'a2+c2或b2壬a2+c2ac.都有 b2c2Be 'oH3【3】在zABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论 sinA、sinB、sinC 成等比数歹!J或成等比sin A sin B sin C数列或sin2 B苴sin Asin C ;还是a、b、c成等比数列或-、- 成等 a b c比数列或b2 Mac.都有B*0,叽.3【4】在zABC中,三内角A、B

13、、C所对的边分别为a、b、c无论 sin nA、sin nR sin nC成等比数列或 一卜、一、一成 sin A sin B sin C等比数列或sin2n B Wnn AsinnC * N*)；还是an、bn、 cn成等比数列或4、二、【(nf* )成等比数列或b2nMancn(nN* ).都有BC a bcn. 3何谓“一题多变 ？简言之,就是在一道题的根底上通过改变部分条件或数字从而行成一个新的数学问题, 通过一题多变可以使学生 很好的掌握与此题相关或相似的一系列数学问题, 能很好的以一道题 为载体解决多个或多类数学问题,并且有利于学生发现各种类似问题 的联系和差异,从而掌握和消化多个数学问题.通过一题多变的练习 不仅能使学生很好的掌握数学知识及其内在联系, 而且可以让学生通 过有限的练习到达掌握多个数学问题的目的. 因此,一题多变是让学 生跳出题海不可多得的法宝.“一题多变的作用在于：在平时的数学教学过程中实施一题多变的练习,可以提升学生学习数学的积极性,增强 学习数学的兴趣：1、新课中,实施一题多变,以简单题入手由浅入深,可使大局部学 生对当堂课内容产生兴趣.2、习题课中,把较难题改成多变题目,让学生找到突破口,对难题