线性代数知识要点

1、个人收集整理-ZQ线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式地计算；阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相等）；矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等地混合运算）；求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数地线性方程组解地情况地讨论；齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组地相关性；求向量组地极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵地特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换地矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型地矩阵，

2、并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵地正定性.第二部分：基本知识一、行列式行列式地定义用八个元素组成地记号称为阶行列式 .（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；（）展开式共有!项，其中符号正负各半；行列式地计算一阶a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；阶（）行列式地计算：降阶法定理：阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积地和方法：选取比较简单地一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶 .特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式地值等于主对角线上元素地乘积；（）行列式值为地几种情况：I 行列式某行（列）元素全为

3、；n 行列式某行（列）地对应元素相同；m 行列式某行（列）地元素对应成比例；W 奇数阶地反对称行列式.二矩阵矩阵地基本概念（表示符号、一些特殊矩阵 如单位矩阵、对角、对称矩阵等）矩阵地运算（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；（）关于乘法地几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若=,称、是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若、为同阶方阵，则* ；1 / 12个人收集整理-ZQ人矩阵地秩()定义非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；()秩地求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩阵地秩等于非零行地个数(每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地

4、矩阵称为行阶梯阵).个人收集整理勿做商业用途求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.逆矩阵()定义：、为阶方阵，若=,称可逆，是地逆矩阵(满足半边也成立) ；()性质： ()人(人)*(八)，('F(A)'；(地逆矩阵，你懂地)(注意顺序)个人收集整理勿做商业用途()可逆地条件： /()；()逆地求解伴随矩阵法A()* ； (* 地伴随矩阵) 初等变换法()>(施行初等变换)( A)用逆矩阵求解矩阵方程：，则( A) ；，则(A)；，则(A)(A)三、线性方程组线性方程组解地判定 定理：()()无解；() ()() 有唯一解；()()()< 有无穷多组解； 特别地：

5、对齐次线性方程组() () 只有零解；() ()< 有非零解； 再特别，若为方阵，()织有零解() 有非零解齐次线性方程组()解地情况：(),(或系数行列式 书只有零解；()<,(或系数行列式=)有无穷多组非零解.()解地结构：a a a .()求解地方法和步骤： 将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解.2 / 12个人收集整理-ZQ非齐次线性方程组（）解地情况：利用判定定理.（）解地结构：a a a .（）无穷多组解地求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同.（）唯一解地解法：有克莱姆法则、逆矩

6、阵法、消元法（初等变换法）.四、向量组维向量地定义注：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和列矩阵）.向量地运算：（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（）向量内积a ' 3；（）向量长度a V a ' a V （人人根学）（V（）向量单位化（a）；a（）向量组地正交化（施密特方法）设a, a, , , a线性无关，则3%3 a（ a ' 3 8 * 毋3 a（a' 38*%（a' 38* 国线性组合可以用向量（）定义 若3 a a,勾则称3是向量组"，"，a地一个线性组合，或称 组a, a,，a地一个线性表示.个人收集整理勿做商业用途（

7、）判别方法将向量组合成矩阵，记=（% a, , a） （% a,，a, 3）若 （）（），则3可以用向量组 “，"，”地一个线性表示；若 （）W （）则3不可以用向量组 鹏”,，a地一个线性表示.（）求线性表示表达式地方法：将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示地系数向量组地线性相关性（）线性相关与线性无关地定义设 a a , ，; a若，一；不全为，称线性相关；若，,全为，称线性无关.（）判别方法：（aa,，a ）线性相关；（qa , , a ）线性无关. 若有个维向量，可用行列式判别：阶行列式=,线性相关（ 现关）（行列式太不好打了 ）极大无关组与向量组地秩3

8、 / 12个人收集整理-ZQ（）定义极大无关组所含向量个数称为向量组地秩（）求法 设=（% ”，a ）将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组.个人收集整理勿做商业用途五、矩阵地特征值和特征向量.定义 对方阵，若存在非零向量和数入使=入，则称入是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值入地特征向量.个人收集整理勿做商业用途特征值和特征向量地求解：求出特征方程入地根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组（入学中求出方程组地所有非零解即为特征向量.个人收集整理勿做商业用途重要结论：（）可逆地充要条件是地特征值不等于；（）与地转置矩阵'有相

9、同地特征值；（）不同特征值对应地特征向量线性无关.六、矩阵地相似.定义 对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使 A,则称与相似.求与对角矩阵A相似地方法与步骤（求和A）:求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则可对角化（否则不能对角化），将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对应特征值构成对角阵即为A.个人收集整理勿做商业用途求通过正交变换与实对称矩阵相似地对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三步要将所得特征向量正交化且单位化七、二次型4 / 12个人收集整理-ZQ.定义 元二次多项式（，；）士称为二次型，若（W,）则称为二交型地标准型.个

10、人收集整理勿做商业用途二次型标准化：配方法和正交变换法.正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵，A',即正交变换既是相似变换又是合同变换.个人收集整理勿做商业用途二次型或对称矩阵地正定性：（）定义（略）；（）正定地充要条件： 为正定地充要条件是地所有特征值都大于； 为正定地充要条件是地所有顺序主子式都大于；线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式地计算；阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相等）；矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等地混合运算）；求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数地线性方程组解地情况地讨论；齐次、非齐次线性方程组地求解

11、（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组地相关性；求向量组地极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；5 / 12个人收集整理-ZQ将无关组正交化、单位化；求方阵地特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换地矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵地正定性.第二部分：基本知识一、行列式行列式地定义用八个元素组成地记号称为阶行列式 .（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；（）展开式共有!项，其中符号正负各半；行列式地计算一阶a行列

12、式，二、三阶行列式有对角线法则；阶（）行列式地计算：降阶法定理：阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积地和方法：选取比较简单地一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶 .特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式地值等于主对角线上元素地乘积；（）行列式值为地几种情况：6 / 12个人收集整理-ZQI行列式某行（列）元素全为；n 行列式某行（列）地对应元素相同；m 行列式某行（列）地元素对应成比例；W 奇数阶地反对称行列式.二矩阵矩阵地基本概念（表示符号、一些特殊矩阵 如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；矩阵地运算（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；

13、（）关于乘法地几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若=,称、是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若、为同阶方阵，则* ；人矩阵地秩（）定义非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；（）秩地求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称为行阶梯阵）.个人收集整理勿做商业用途求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩.逆矩阵（）定义：、为阶方阵，若=,称可逆，是地逆矩阵（满足半边也成立）；（）性质： （）人（人）*（八），（'F（A）'；（地逆矩阵，你懂地）（注意顺序）个

14、人收集整理 勿做 商业用途7 / 12个人收集整理-ZQ()可逆地条件：/()；()逆地求解伴随矩阵法 人()* ； (*地伴随矩阵)初等变换法()>(施行初等变换)(人)用逆矩阵求解矩阵方程：，贝U(八)；,则(八)；,贝U (A)(A)三、线性方程组线性方程组解地判定定理：()()无解；() ()() 有唯一解；()()()< 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组() () 只有零解；() ()< 有非零解；再特别，若为方阵，()织有零解() 有非零解齐次线性方程组8 / 12个人收集整理-ZQ（）解地情况：（）,（或系数行列式 书只有零解；（）,（或系数行列式=）有无

15、穷多组非零解.（）解地结构：a a a .（）求解地方法和步骤： 将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解.非齐次线性方程组（）解地情况：利用判定定理.（）解地结构：a a a .（）无穷多组解地求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同.（）唯一解地解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.四、向量组维向量地定义9 / 12个人收集整理-ZQ注：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和列矩阵）.向量地运算：（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（）向量内积 a ' 3；（）向量长度a V a 

16、9; a V （人人根学）（V（）向量单位化（a）；a（）向量组地正交化（施密特方法）设a, a, , , a线性无关，则3%3 a（ a ' 3 8 * 毋3 a（“' 3）3*%（“' 38* 国.线性组合（）定义 若3 a a,冬则称3是向量组 % a ,，a地一个线性组合，或称3可以用向量组a, a,，a地一个线性表示.个人收集整理勿做商业用途（）判别方法将向量组合成矩阵，记=（% a, , a） （% a,，a, 3）若 （）（），则3可以用向量组 “，"，”地一个线性表示；若 （）W （）则3不可以用向量组 鹏”,，a地一个线性表示.（）求线性表示

17、表达式地方法：将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示地系数.向量组地线性相关性（）线性相关与线性无关地定义10 / 12个人收集整理-ZQ设 a a , ，; a若，一；不全为，称线性相关；若，,全为，称线性无关.（）判别方法：（aa,，a ）线性相关；（qa , , a ）线性无关. 若有个维向量，可用行列式判别：阶行列式=,线性相关（ 现关）（行列式太不好打了 ）极大无关组与向量组地秩（）定义极大无关组所含向量个数称为向量组地秩（）求法设=（% a,，a ）将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组.个人收集整理勿做商业用途五

18、、矩阵地特征值和特征向量.定义 对方阵，若存在非零向量和数入使=入，则称入是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值入地特征向量.个人收集整理勿做商业用途特征值和特征向量地求解：求出特征方程入地根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组（入学中求出方程组地所有非零解即为特征向量.个人收集整理勿做商业用途重要结论：（）可逆地充要条件是地特征值不等于；（）与地转置矩阵'有相同地特征值；（）不同特征值对应地特征向量线性无关.六、矩阵地相似11 / 12个人收集整理-ZQ.定义 对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使 A,则称与相似.求与对角矩阵A相似地方法与步骤（求和A） :求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则可对角化（否则不能对角化），将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对