类比探究专题

1、类比探究专题例1 如图1,在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中，CD>BC点C, B, D在同一直线上， M是AE的中点，易证 MDL MB MD=MB(1)如图2,将图1中的4CDE绕点C顺时针旋转45° ,使4CDE的斜边CE恰好与 ABC的边BC垂直,题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立?(2)将图2中的4ABC绕点C逆时针旋转大于0°且小于45。的角，如图3所示，请直接写出你的结论.例2如图1,在ABC中，AC BC, C 120, d在BC边上。 BDE为等边三角形，连接AE , F为AE中点，连CF，DF。请直接写出CF、DF的关系，不必说明理由

2、；若将图1中的DBE绕点B顺时针旋转90 ,其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不 必说明理由。将图中的DBE绕点B顺时针旋转(0° V <60° ),其它条件不变，如图 2,试回答中的结论是否成立？并说明理由。例3 (1)操作发现：如图1,在矩形ABCD43, E是BC的中点，将 ABE沿AE折叠后得到 AFE点F 在矩形ABCDrt部，延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论.(2)类比探究：如图2,将(1)中的矩形ABC/为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明 理由.图1图2例4已知：如图所示，直线M

3、A/NB, MAB与NBA的平分线交于点C ,过点C作一条直线l与 两条直线MA NB分别相交于点D、E.(1)如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段 AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出 结论，不用证明；(2)如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点 D、E都在AB的同侧时，(1)中的结论是否成 立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系.1例5在 ABC中，/ A=

4、 90° ,点D在线段BC上，/ EDB= 2 / c, BU DE,垂足为 E, DE与AB相交于 点F.(1)当AB= AC时(如图1),/ EBF=° ;探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；BE(2)当AB= kAC时(如图2),求FD的值(用含k的式子表示).例 6 如图 1,在 RtABC中，/ ACB=90 , CDL AB,垂足为 D,点 E在 AC上，BE交 CDT点 G, EFLBE交AB于点(1)如图(2)如图(3)如图F, AC=mBCCE=nEA( m, n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.2,当m=1, n=1时，求EF与EG的数量关

5、系.3,当m=1, n为任意实数时,EF与EG的数量关系.EF与EG的数量关系.CCCEEGGEGBDBBDA且DE与CA的延长线交于点PDE与AC的延长线交于点PNENPPBCEPBCECB图1B为一锐角顶点M D例7在等腰直角三角形作 RtABDE /BDE=90 ,A F1, DE与AC交于点P,易证：BD=DPA F则BD=DPl!否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立MADM D AABC中，/ BAC=90 , AB=AC 直线 MN±点1点D在直线MNLh (不与点A重合).如图A NA F D(1)在图2 请说明理由.(2)在图3图2图31,当m n均为任意实数时,

6、例 8 如图 1 ,在 Rt ABC中，/ BAC=90 , 。aOB交BC于点E.AD)± BC于点D,点。是AC边上一点，连接 BQ交AD于点F,(1)求证：ABFS/XCOE ；AC(2)如图2,当O为AC边中点，ABAC(3)如图3,当O为AC边中点，AB2时,OF求OE的值;OF n时，请直接写出OE的值.例9如图1,已知/ MAN=120 , AC平分/ MAN / ABCW ADC=90 ,可以证明： DC=BC AC = AB+AD.(1)如图2,把题干中的条件"/ ABC=/ ADC=90 "改为/ ABC吆ADC=180 ,其他条件不变，证明结

7、 论和结论仍然成立.(2)如图3,如果D在AM的反向延长线上，把题干中的条件ABCW ADC=90 "改为/ ABC=/ ADC其他条件不变，结论和是否仍然成立？成立，请证明； 不成立，请说明理由.例10 如图，在等边三角形 ABC中，点D在直线BC上，连接 AD,作/ ADN=60 ,直线 口位射线 AB于 点E,过点C作CF/ AB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上，/ ND昉锐角时，如图1,求证：CF+BE=CD (提示：过点 F作FM/ BC交射 线AB于点M(2)当点D在线段BC的延长线上，/ NDB为锐角时，如图2;当点D在线段CB的延长线上，/ ND昉 钝角时，

8、如图3,请分别写出线段 CF, BE, CD之间的数量关系，不需要证明.(3)在(2)的条件下，若/ ADC=30 , S*Aabc 4透 贝u be=? CD=图3例11已知， ABC为等边三角形，点 D为直线BC上一动点(点 D不与日C重合).以AD为边作菱形 ADEF 使 / DAF=60° ,连接 CF.(1)如图1,当点D在边BC上时，求证：/ ADB=/ AFC;请直接判断结论/ AFC=/ ACB+ / DAC否成立；(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论/AFC=Z ACBF / DAC否成立？请写出/AFC /ACB / DAC之间存在的数量关

9、系，并写出证明过程；(3)如图3,当点D在边CB的延长线上时，且点 A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全 图形，并直接写出/ AFC /ACB / DAC之间存在的等量关系.E例12 (1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1, ABC中，若AB=5, AC=3求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使得DE=AD再连接BE (或将 ACD绕点D逆时针旋转180°得到 EBD ,把AR AC、2AD集中在 ABE中，利用三角形的三边关系可得2VAE< 8,则 1<AD< 4.感悟：

10、解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)问题解决：受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图 2,在 ABC中，D是BC边上的中点，DE! DF, DE交AB于 点E, DF交AC于点F,连接EF.求证：BE+CF> EF;若/ A=90° ,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.(3)问题拓展：如图3,在四边形 ABD计，/ B+/ C=180° , DB=DC / BDC=120 ,以D为顶点作一个 60°角，角的两 边分别交AB AC于E

11、、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.图1图2图3例13如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有 ;(2)如图1,梯形ABCD, AB/ DC如果延长 DC到E,使CE= AB,连接AE,那么有S梯形abca Saadee.请 你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABC而面积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；(3)如图2,四边形ABCD43, AB与CD

12、不平彳T, SAADC>SAABC；过点A能否作出四边形 ABC而面积 等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由.图1图2阅读下列材料：问题：如图1,在四边形 ABCD中，M是BC边的中点，且 AMD 90，试判断AB+CD与AD之间的大 小关系。小雪同学的思路是：作 B点关于AM的对称点巳连接AE、ME、DE,构造全等三角形，经过推理使问题 得到解决。请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：写出上面问题中 AB+ CD与AD之间的大小关系；如图2,若将 AMD的度数改为120° ,原问题中的其他条件不变,1证明：AB -BC CDAD;2图2如图3,若

13、 AMD 135 , AB 1, BC 2衣，求AD的最大值。解决类比探究问题的处理思路1 .若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决.类比探究常见结构： 中点结构 常考虑平行夹中点旋转结构i特征：等线段共点平行结构作平行，造相似直角结构i “斜直角放正”2 .若不属于常见结构类型： 根据题干条件，结合分支条件先解决第一问.类比解决下一问.如果不能，分析条件变化，寻找 不变特征. 结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证.借助上面填写的内容，做下面的小题【试题1】如图1,在等腰直角 ABCm等腰直角 CD计，CD>BC点C, B, D在同一直线上，M是AE的中点，易证 MD

14、L MB MRMB45° ,使 CDEE勺斜边CE恰好与 ABC勺边BC垂直，题(1)如图2,将图1中的 CD瞰点C顺时针旋转干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？(2)将图2中的 ABCg点C逆时针旋转大于0DEDDMBAAMMCECEC要证明图由M是AE的中点发现有结构D可以得到 ABM2AENIMMACDAM能够得到ABPM2AECNAAB阵 AENMECN分析AB/ CE补全进而得到BM=M;N进一步证明 BC里ANEID可以得/NED请在图中给出简要证明；第四步根据 DBN等腰直角三角形，得到结论 MDLMB MD=MB1和图21中的结论 DBN是等腰直角三角形平行夹

15、中点”的结构，照搬图1中的证明思中没有发生变化的是M是AE的中点到DBN等腰直角三角形，得到结论 MDLMB MD=MB(2)图2和图3两个等腰直角三角形没有变化，M是AE的中点也没有发生变化，所以可以照搬(证明思路.A BN . E第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点 E作AB的平行线 交BM勺延长线于点N,连接BD DN延长ENM延长BM交DE于点N 进而彳#至| BM=MNAB=BC=EN ：DN=D B.DBN等腰直角三角形，.MDLMB MD=MB的角，如图3所示，请直接写出你的结论.且小于45OO【试题2】如图1,已知/ MAN120 , AC平分/ MAN / ABB/ADC9

16、0° ,可以证明DGBCAC= ABAD(1)如图2,把题干中白条件“/ AB0/ADC90。"改为/ ABG/ADC180。，其他条件不变，证明结论 和结论仍然成立.(2)如图3,如果D在AM的反向延长线上，把题干中的条件/ ABG/ADG90。"改为/ ABG/ADC其他条件不变，结论和是否仍然成立？成立，请证明；不成11角平分线的性质得到 DGBC结论成立，利用含 30。角的直角三角形中 AB 2 ac ad - AC证2'2明结论成立.2. 第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变化，但_/ MAN120 , AC平分/ MAIW有发生变化，

17、属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图1 一致的三角形，添加辅助线证明的路线图为第一步：辅助线.第二步：由题干可知ACDAE, AF的关系是第三步： CEX(条彳+是),得到 ED=FB CD=C B第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD +AB均成立.,没有发生变化，照搬上一问的证明思路.第一步 第二步 第三步 第四步 【试题辅助线，由题干可知AC=AE+AF结论成立，结论变为11】在等腰直角三角形 ABC43, / BA(=90 , AB省C直线MNi点A且MIN/ BC.以点B为一锐角顶点作 RtABDE/ BDE90 ,且点D在直线MN± (不与点 A重合).如图1, DE与AC交于点P,易证：B®DP(1)在图2 请说明理由.(2)在图3中,中,DE与CA的延长线交于点DE与AC的延长线交于点P,P,则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明.方法一首先梳理易证的思路,“斜直角放正”，过点D作DFL MN线段AB于点F;发现等线段共点，考虑“旋转结构”，可得DF睦ADAP所以BD=DR梳理路线图：过D作DF± M岐线段AB于