求不定方程整数解的方法浅析

1、摘要:求不定方程整数解的方法浅析第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外， 不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚

2、至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地 .也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意 义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操

3、作步骤：想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围； 根据该变量的范围求出该变量的整数解；分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个 “不妨设xEyEzEA ”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“ x>1,y>1,z>1,A " 若要求是相异的正整数，则有“ x>1,y >2,z>3,A "利用基本不等式求变元范围，常见的如“ （x + yf24xy”分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求 其他变量的范

4、围.可利用二次方程有整数解的条件，即“ 之0”，或更强点的 为完全平方数”.常规应用：一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利用此方法对其他变量进行估值；对于方程“ux2+vx+w = 0 （其中u,v,w是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x的方程有整数根的条件，即“之0”,或更强点的“ 为完全平方数”对其他变量进行估值；具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规不等式进行估值，比如”转化为关于x+y与xy的表达式，用（x + y 2 >4xy 等“例1：求不定方程（x + y 2=x3+y3的正整数解.解：方法1

5、：由于此不定方程是对称的，这里不妨设 x>y>1,贝！Jx3 + y3 = （x + y 2 W （2x2x2（4 - x） - y33. y -4 - x .0 xx =1,2,3.1）当x=1时，1 m y m x2（4 - x） = 1y =1经检验：（x, y ）= （1,1）不满足方程；2）当x=2时,1 - y - x2（4-x） = 2y = 12经检验：（x,y）=（2,1）满足方程，（x,y）=（2,2）满足方程;3）当x=3时,2 ，1 三 y £ x (4 - x) = 3y = 1,2,3.经检验：(x,y)=(3,1不满足方程，(x, y)=(3

6、,2)不满足方程,(x, y)=(3,3)不满足方程;综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为(x, y卜(2,1) ,(1,2 ) ,(2,2).方法2:已知方程化为(x+ yf =(x + y Xx2-xy+y2 )22x x 0, y 0, x y 二 x - xy y令x+y = t, 贝Ut = x2 - xy + y2 = (x + y )2 - 3xy (即 t2 - 3xy = t)t2 -t xy =.3即1x + y = t<(t之2且为整数)t2 -t 1川小I xy = -t(t -1)33利用不等式：(x+yf之4xy 则：2 1t2 - 4 tt

7、-13 t w 4,又t为上 2的正整数.t = 2 ,3 ,4 .1)当t=2时,x + y = 22I xy =.3. 此方程无正整数解；2) 当t=3时，x + y = 3：xy = 2f x=1 x= 2i=> y= 2,1 y = 13) 当t=4时，I x y = 4| xy = 4x = 21=> y = 2综上所述：不定方程的正整数解为(x, y )= (2,1) ,(1,2 ) ,(2,2 ).例2:求不定方程yx2 -6yx+2x + 9y-1 = 0的整数解.解：方法1：已知方程可化为：yx2 -2(3y-1)x + 9y-1=0,则此方程可看成关于x的一元二

8、次方程有整数解的情况=4. =4(3y-1)2 -4y(9y-1)(1-5y)则必是一个完全平方数，这里不妨设:令(1-5k) = m2(m 之沮m= N)21 - m.k 二5由求根公式：x1 =3m-1故方程要有整数根，当且仅当m + 1 = 5或m1 = 1,5经检验：m = 4或m = 6符合题意14当 m=4 时，x1=2x2 =，y = 33当 m = 6 时，x1 = ? , x2 = 4 , y = -7综上所述：原方程的整数解为(x, y)=(2,3),(4,7)方法2:已知方程化为：y(x-3)2 =1-2x分离y：1 -2x(x-3)2事实上当y=0时，x=l ,不合题意

9、，则有:2y至1 ,即二2x2之1(x-3)1 -2x 2(x-3)2(*)i)若x” 则有:1-2x _x2 -6x 9(x-2)2 + <0无解ii)若x>0,由x为整数则有x1,则(*)式化为:2x-1 -x2 -6x 9 .(x -4)2 <6/. x =2,4,5,6.当 x=2 时，y=-3;当 x = 4 时，y=-7;当x=5时，y不合题意舍去；2当x=6时，y=_11 不合题意舍去；9综上所述：原方程的整数解为(x,y)=(2,-3),(4,7)2、同余分析法其一般操作步骤：方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为同余式；由同余式来估计剩下未知数

10、的取值范围(或特征)，从而达 到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强的观察力！常规的取模原则：能消去某些未知数时，取它的系数(或底数)作模；由费马小定理有“ x3三x(mod 3) ”频率较高者有模3,模4,模8.常规应用：事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛而方便的应用；一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；具体的：它能解决“ Ax+By=C"型整数解问题.例1:求不定方程7x+19y=213的正整数解.解：方程两边同时mod7得：-2y 三 3(mod7)两边同时乘以3: -6y =

11、 2(mod7)y 三 2(mod 7), y = 7k + 2,代入原方程得：7x 19(7k 2) = 213. x= 25-19kI y = 7k 2,x= 25-19k (其中k为整数)令x>0,y>0,得 j 7k +2A 0,125-19k > 0,2 125/.- : k 二719.k=0 ,1.方程的正整数解为 x,y = 25,2 ,6,9.例2:证明：4441599X x2x14 1599无整数解.证明：1599 =1600-1 三-1 三 15(mod16)设x,x2,x3,A ,x14是方程的整数解，1)若 xi =2n ,则 x4 三 16n4 三

12、0(mod16),2)若 xi=2n+1,则 x2 三 1(mod8),故 x2=8k+1, 从而 x4 =(8k+1)2 =64k2+16k+1 三 1(mod16),二x4*x：+A +x；4 S4( mod16)与(*)式矛盾二该方程无整数解.例3:求不定方程12x-5y =7的全部正整数解.解：i)若12x-5y=7,则方程两边模4得：1 三 3( mod 4),矛盾；ii)若12x-5y=7,则方程两边模3,得：-(-1) y 三 1( mod 3),.y为奇数若x>1,方程两边模8得：-5y 三 -1( mod 8)即 5y 三 1( mod 8),又 52 三 1( mod

13、 8). 2 y ,这与y为奇数矛盾x = 1 ,从而 y = 1综上所述：原方程有唯一的整数解(x,y)=(1,1).3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法常规的次方法分为两类：因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解.分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）

14、来求解部 分未知量.常规应用：多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整 数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分 扎实；具体的：它能解决“ Axy + Bx+Cy+ D =0 （A=0）”型不定方 程.例1： 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了 22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走， 那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能 容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有m俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为根据人数相等可列方程:22m+1=(m1)n (m 之 2,nM32)；整理为： mn-n-22m-1=0 (m>2, n <32)；分析： 属于类型 “ Axy +Bx +Cy +D = 0 (A#0)”