武汉理工大学数值分析考试试题

1、武汉理工大学考试试题纸(A卷)课程名称数值分析专业班级 信息专业题号二二二四五六七八九十总分题分10101010101010101010100备注：学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1、已知f(1)=2, f(1)=1, f(2)=1，求f (x)的 Lagra nge 插值多项式。2、已知列表函数y = f (x):x1234y0 5- 63试求满足上述插值条件的3 次 Newton 插值多项式p3(x)3、已知函数y=f(x)的数值表x0123y121764试分别求出f (x)的三次 Newt on 向前和向后插值公式；并分别计算x=0.5和x=2.5时，f(x)的近似值。

2、4、设A =，计算A的各种范数。5、计算矩阵A =123.0001丿的条件数Cond(A)1.彳0论-x2-2x3= 7.26、分别写出方程组-x_!+10 x2-2x3= 8.3的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式。x1x2+5x3=4.27、用 Newton 迭代法求方程f (x) = x3+2x-5 =0的根，要求| xk+- xk| 10.3、试确定求积公式 f (x) dx a：A0f (0) + A1f (h)十A2f (0)使其具有尽可能高的代数精度。1sin xdx，利用复化梯形公式Tn计算I的近似值，要使I -Tnx并计算Tn.1f (x)10、确

3、定x1, x2,A, A2，使下面公式成为 Gauss 型求积公式0dA,f (x)A2f (x2)Px-21,n应取多少?武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称高等数学（下）（A 卷）1、设X。-1, X|= 1, X2= 2, y= 2, yi= 1, y?= 1，则故所求插值多项式为lo(X)l1(x)l2（X）(X-X)(X-X2)(N -Xo)(X1-X2)(X -Xo)(X -xj(X2-Xo)(X2-为)(X 1)(x-2)(1 1)(1-2)(X 1)(X-1)(2 1)(2-1)12P2(x) =yolo(x) y1(x) y2(x) (x -3x 8).62、

4、造差商表X0=1y0= 0X1= 2屮=-5f X0,X1】=-5x2=3y2 = -6f X1,X2 = 1fX0,X1,X2 =2X3=4y3 =3f X2,X3 =9f X1, X2, X3H 5f X0, X1,X2,X3=1P3(x) = f (Xo) f Xo,X1】(XXo) f Xo,X1,X2】(X Xo)(X X1)fX0,X1,X2,X3】(X X0)(XXj(X X2)=0 -5(x -1) - 2(x -1)(x -2) 1 (x -1)(x -2)(x -3) =X3-4x233、造向前和向后差分表=0y t占y。（） =-5x,=1y1=2圧y(可2%)=143

5、(可y2)=15也3y (可5)=18X2=2y2=17h (N2y2)=32W(内3)=47X3= 3y3 64t . t(t T) .2t(t 1)(t 2) .3P3(x) =y虫y。+_ 也y。1!2!3!=111t(t一1)14t(t1)(t 2181!2!3!23=1 2t 3tx=O.5=Xoth, h =1二t=0.5，f (0.5)：8(0.5)=0.875.所求三次 Newt on 向后插值公式为则所求 3 次 Newton 插值多项式为则所求三次 Newt on 向前插值公式为、 八厂J(W12(t+1)(t+2)护p3(x)=y3yayaya1!2!3!t . t(t+

6、1) “ t(W1)(t+2) “=644732181!2!3!23= 64_69t 25t 3tx =2.5 th, h =1二t = -0.5，f (2.5)：ps(2.5) =35.375.1=max1 3, 1 3 =4; A二=max1 1, -3 3=6；AE=1212-323212=. 20 = 2.5;故A21 m 1 18 = 3 2.1二max30001|20000, -3000020000 =50001；Co nd(A)1 =| A|A! =6.0001汉50001 = 300011.0001.6、从方程组（4.5）中分离出7、f(x) =x2x-5=0 f (x) =3

7、x 2，据此建立 Newton 迭代公式輕丿严纵-501)|f(xk)xk3x22，k 0,1ATA3 丫 13丿小-81010- -8=(，一10)2-822- 20，36 = C -18)(，-2)得ATA的两个特征值i=18,2=2.m=max、，2 =max18,A-23g 3.0001-max2 2,33.0001 =6.0001；1*3.0001 -31*3.0001 -3、(30001-30000|A| 1-22丿0.0001l-22)1-2000020000丿A4据此建立 Jacobi及 Gauss-Seidelx2k1)x3k1)迭代公式x2k 1)x3k+)迭代公式x 0.

8、1x20.2x30.72x2二0.1x10.2x30.83x3二0.2x-i0.2 x20.84= 0.1x2k)0.2x3k)0.72= 0.1x1k)0.2x3k)0.83= 0.2x1k)0.2x2k)0.84= 0.1x2k)0.2x3k)0.72= 0.1x；k 1)- 0.2x3k)0.83=0.2才1)- 0.2x2k1)- 0.84Xk 1 = XkIA1A，取X。=1.5迭代结果列于下表中。kXkXk兀01.511.342857140.15714321.328384140.01447331.328268860.00011541.328268867.2616210-由表结果知x

9、4= 1.32826886是x*的满足条件的近似值8、这里有三个待定常数A0, A|, A2，将f(x) =1, x, x2代入，得h二A0A,占Ah A?,占二亦2,2b a 1即n二55.55556，亦即n -7.45356，故应取n=8.贝U步长h，相应地取 9 个节点，见表n 8xf(x)xf(x)01.00000005/80.93615561/80.99739786/80.90885162/80.98961587/80.87719253/80.976726710.84147094/80.9588510用复化梯形公式得h2解得A0=|h,A弓，A26hhf (x)dx 4f (0) 2

10、f (h) hf (0).06直接验证，当f(x)=x3时,(2.6)的左边1h4亍，右边1h4.故求积公式的最高代数精度d =2.39、因为f (x)二叱x10cos(xt)dt，所以f (x)d7(cos(xt)dt二cos(xtk二2)dt,f(k)(x)兰Vkk兀cos(xt +)2dt乞tdta- 0， b T，要使满足误差要求，由式(4.2)，只需R(f,Tn)=|f -Tn(1-0)312n2112n21 12 136n2-102-01553Tn1 0.8414709 2 (0.9973978 0.98961580.9767267 0.9588510 0.93615560.90885160.8771925） = 0.9456909.10、因为两点 Gauss 型求积公式具有2n-1=2 2-1=3次代数精度，所以23当f（x） =1, x, x , x时，上述两点 Gauss 型求积公式应准确成立，由此得：2x2 = AA?,解法二 因为上述两点 Gauss 型求积公式的 Gauss 点x1,x2是0, 1上以 珥x） =1龙 为权函数的某 2次正交多项式p2（x）的零点，不妨设P2（x） = （x-为）（X-X2）11一11 (x-xj(xx2) d x = 0(x-ix2)-X20 x31111 x (x - xj(x - x2