中值定理与导数的应用

1、第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：7、 罗尔定理、拉格朗日中值定理；8、 函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；9、 函数图形的凹凸性；10、 必达法则

2、。教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。§3 1中值定理一、 罗尔定理费马引理设函数f(x)在点X。的某邻域U(x。)内有定义 并且在X。处可导如果对任意x U(Xo)有f (x) f(Xo)(或 f (x) f(Xo)那么f (Xo) O罗尔定理如果函数y f(x)在闭区间a, b上连续在开区间(a, b)内可导且有f (a) f (b)那么在(a, b)内至少在一点使得f ()0简要证明(1)如果f(x)是常函数则f (x) 0定理的结论显然成立如果f (x)不是常函数则f (x)在(a b

3、)内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大值点 (a b)于是f(x) f()f() f () lim0x xf ( ) f ( ) lim0所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导那么在(a b)内至少有一点(鼠b) 使得等式f (b) f(a) f () (b a)成立拉格朗日中值定理的几何意义f(b) f(a)b a定理的证明引进辅函数f(b) f(a) 令(x) f (x) f (a) ba (x a) 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件(a)(b) 0开区间(a b)内可导且

4、f(b) f(a) (x) f (x)ba根据罗尔定理可知在开区间(a b)内至少有(x)在闭区间a b上连续在f(b) f(a)f ( ) ba of(b) f(a)由此得ba f 0即f(b) f(a) f ( )(b2定理证毕f(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式这个公式对于也成立拉格朗日中值公式的其它形式设x为区间a b内一点 X X为这区间内的另一一占(x>0或X<0) 则在Xx ( x0)或x如果记f(x)为y试与微分d y fx x (x<0)应用拉格朗日中值公式得f(x X) f (x) f (X X) X (0< <1)则上

5、式又可写为y f (Xx) x (0< <1)(X) X比较 dy f (x)X是函数增量y的近似表达式f(X X)X是函数增量 V的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数证 在区间I上任取两点XiX2(X1<X2) 应用拉格朗日中值定理 就得f (X2) f (xi) f ()(X2 Xi) (xi < < X2)由假定f 00所以f(X2)f(xi) 0即f (X2)f(Xl)因为XiX2是I上任意两点所以上面的等式表明 f(x)在I上的函数值总是相等的这就是说f(x)在

6、区间I上是一个常数例2证明当x证设 f(x) ln(l定理 就有f(X)-1 X 1 n(l x)0时 XX) 显然f(x)在区间0 X上满足拉格朗日中值定理的条件0(X 0)0<根据由于f(o) 0f (x)因此上式即为X F(X)丫 f，x) (a x b)表小 其中x为参数 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C上必有一点 x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB 曲线C上点x 处的切线的斜率为dY f ()dXF-0弦AB的斜率为f(b) f (a)F(b) F(a)干星于是f(a)f ()F(b) F(a) F ()柯西中值定理如果函数f(x)及F(x

7、)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导且F (x)在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一点使等式f(b) f(a) f () F(b) F(a) F ()成立显然 如果取F(x) x那么F(b) F(a) b a F (x) 1因而柯西中值公式就可以写成f (b) f (a) f ( ) (b a) (a< <b) 这样就变成了拉格朗日中值公式了§ 3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达

8、函数在微分的应用中已经知道 当I x|很小时es 1有如下的近似等式x ln(l x) x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于但是这种近似表达式还存在着不足之处x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式设函数f(x)在含有X。的开区间内具有直到(n 1)阶导数现在我们希望做的是找出一个关于(XX。)的n次多项式p n(x) a o a 1 (x Xo) a 2(x Xo) 2 来近似表达f(X)要求P n (X)与f (X)之差是比(X(x) I的

9、具体表达式我们自然希望pn(x)与f(x)在Xo的各阶导数 Pn (x) a o a 1 (x Xo) a 2(x Xo)" Pn (x) a 1 2 a 2 (x Xo)Pn (x) 2 a 2 3 2a 3 (x Xo)Pn (x)3!a 3 43 2a 4(x Xo)an(x Xo )nXO)。高阶的无穷小并给出误差f(X)Pn(直到(n1)阶导数)相等这样就有nc ( u Y 八、na n (x Xo)n 1n (n l)a n(x Xo)n 2n (n 1) ( n 2) an (x Xo )n 3p n n，(x) n! a n于是pn (xo ) aP n lnl (x

10、) n! a n 按要求有Pn(xo) aPn2(xo) 2!Pn(x) 3!a3从而有呱）f (Xo) P n(Xo)(Xo) P nf(n> (Xo)(Xo)Pn(n)ao(Xo )f (Xo)3!a 3Pn(Xo)(xo )Pn(Xo)22! an!ana3a o f(xo ) a an 存(Xo3!1f(Xo)吕叫）(kn)于是就有Pn(x) f(Xo) f(Xo)（X(Xo)(X1H!f2泰勒中值定理如果函曼*（X）在含有Xo的某个开区间（a(n> (xo)（X Xo尸次勃赋李解题p潮幽曳箱则当x在（a b）内时f（x）可以表示为（x X。）的一个+®(X。)(

11、X Xo)n Rn(x) n!f(X) f(Xo) f(Xo)(X7 (n其中尺 81)!' Xo)nl这里(Xo) 1 f (Xo)(X介于Xo与X之间）多项式Pn(x) f (Xo ) f (Xo)(X' f (X。)(X Xo) 2!Xo ）称为函数f（x）按（x X。）的幕展开的n次近似多项式1n!公式1f (x) f (Xo) f (Xo) (X Xo) - f (Xo) (X Xo)2f ln，（Xo）（XXo）n存叫）（X x。）国心）称为f（x）按（x X。）的幕展开的n阶泰勒公式而Rn（X）的表达式f（n b （）FUx）_L护（x X。）-其中（n 1）!（

12、介于X与X。之间） 称为拉格朗日型余项当n。时泰勒公式变成拉格朗日中值公式f （x） f（Xo） f （ ）（X Xo）（在 Xo 与 X 之间） 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广（n D（x）|总不超过一个常如果对于某个固定的n当x在区间（a b）内变动时则有估计式R(X)I ifn tt Xo)nl| 卷伙 XoRn(x)lim -(-) 一 0 及 x Xo(x xo)n可见妆X Xo时 误差|Rn(x)|是比(x Xo)n高阶的无穷小即Rn (X) 0(X Xo)n在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成f (x) f (xo) f (xo) (x xo) 2- f (x

13、) (x xo)1 f n (xo) (x xo)n 0 (x Xo) n!当Xo o时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是f(x) f(0) f (0)xf叫0)一沪 0 Rn(x)f(x) f(0) f (0)x 罟 X2f(n)<0)Xn 0(Xn) n!其中期f(nl)( ).n 1 (T) !由此得近似公式f(x) f(0) f (0)x(0)X22!误差估计式变为R缶刈例1 .写出函数f(x) 解因为f(x) f 所以 f(0) f (0) fe： 1 xx 1e 1 x并有这时所产性的误差为e xRn(X)|e，的阶麦克劳林公式(x) f (x(0) f(n)(0)(n 1)!(

14、n D! yn 1 |丽 | Xf(n)(x)dxnl(0<(x) sinx f (n) (x)(0) 0(xcos)xsin(x 临)(0 i f( 4)(0) )1时可得e的近似式其误差为 |Rn|< (n 1)! (n 1)!求f (x) sin x的n阶麦克劳林公式 因为(x) cos X f” (x) sinx f (0) 0 f (0)12、3时有近似公式sin x x _L x3 sin x x 2|：3 sin x3X函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法如果函数y f(x)在a b上单调增加(单调减少)那么它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线这时曲线

15、的各点处的切线斜率是非负的(是非正的)即y(x) 0(y反过率(x) 0)由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系b上连 在(a b)内可导b上单调增加b上单调减少能否用导数的符号来判定函数的单调性呢 定理1(函数单调性的判定法)设函数y f(x)在a续如果在(a b)内f (x) 0(2)如果朝E么函物内鼠x)花)8那么函数y f(x)在a证明 只证得至IJ由于在上式中在 b上任取两点Xi X2 (Xi X2 )应用拉格朗日中值定理f (X2) f (Xi ) f () (X2 Xi) (Xi X2 )X2 Xi 0因此 如果在(a b)内导数f(x)保持正号即(x) 0那么也有f (

16、)0于是f () (X2 Xi ) 0f(Xi f(X2)f (X2 ) f(Xi )即这函数y f(x)在a b上单调增加注判定法中的闭区间可换成其他各种区间例判定函数y *53乂在02 上的单调解 因为在(02 性y 1 cos X 0所以由判定法可知函数)内y xcos x 在0 2上的单调增加(没指明在什么区间怎么办)因为在(0)内y 0所以函数)Pjy 0所以函数y ex例2讨论函数y es xl的单调性解y e: 1函数ye，x " x 1在(在的定义域为()0上单调减少 因为在(0)上单调增加例讨论函数' I，的单调性解函数的定义域为()当时函数的导数为y &q

17、uot;y 33x (x 0)函数在x 0处不可导当x 0时函数的导数不存在因为x0时y 0所以函数在(，0上单调减少因为x0时y 0所以函数在0,)上单调增加如果函数在定义区间上连续只要用麻和解导蝌存在的点外导数存在且连续那么根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间就能保证f (x)在各个部分区间内保持固定的符号 例4 确定函数f (x) 2x3 解这个函数的定义域为：(函数的导数为：f(x) 6X218x2因而函数f(x)在每个部分区间上单调9x2 12x 3的单调区间)X1 1、X2126(x 1) (x 2)导数为零的点有两个列表分析(1Ll 22 )f (X)f（X）/n单调减

18、少f（x）住区怛J（1和L2 ）内单调增加在区间例5讨论函数y2解函数的定义域为函x?的单调性数的导数为函数y x 3而X。z、区间（内是单调增加的除当X 0时y 0外一般地0及0）内都是单调增加在X o处曲线有的K平切线如果f（X）在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均有y因此从而在整个定义域（在其余各点处均为正（或负）时那么f（x）在该区间上仍|日是单调增加（或单调减少）的2坂3 证明1时x令 f(x)(3 _L)证明X1 . X2(xxX x2)时f (x) 0 因此f(x)在0 故 f(x) f(l) 0(3 1) 0(x)因为当 f(x) f(l)由于f(l)2 x1也就是'

19、;X 3(x）上f（x）单调增 从而当 加1)二、曲线的凹凸与拐点凹凸性的概念若在(a b)内f (x)<0则f(x)在Eab上的图形是凸的Xi x2简要证明只证(1)设乂 X2X1 X2 a b 由拉格朗日中值公式得Xl X2ff (Xl) f (xo) f ( 1) (xl Xo)Xo -口 V、 Yc :口Xi i Xof(X2)f(Xo) f ( 2)(X2 Xo) f(2)v.、02-2两式相加并应用拉格朗日中值公式得f (Xl) f (X2)2f (Xo) f ( 2)fCOlVf ( )( 2 1) T o1 2f (为)f(X2) f (Xl_X2)所以f(x)在a b上

20、的图形是凹的拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数yf (x)的定义域求出在二阶导数f'(X)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点注；根据具体情况(1) (3)步有时省略例1 判断曲线y In :的凹凸性1 y y 1解 XX2因为在函数y In x的定义域(o例2 判断曲线y X?的凹凸性)内 y <o 所以曲线In x是凸的o内为凸的)内为凹的解 y 3x 2 y由y 。得x因为当xo时y因为当x>0时y例3 求曲线y2x6x<o所以

21、曲线在(>o所以曲线在o3x 2x 14的拐点解 y 6x2 6x 12y 12x 6 12 (x *)因为当线的拐点例4 求曲线y解 (1)函数y 3x12x3 12x20所以点(3x* 4x3 1的拐点及凹、凸的区间4x31 的定义域为()(3)解方程y列表判2 x22 Q(o)o(73)2/3(2/3)f(x)0CC 俎 X,。36x2 24x 36x(x 2)在区间(0和2/3)上曲线是凹的在区间02/3上曲线是凸的点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点 例5问曲线y x 4是否有拐点解 y 4x 3 y)内曲线是凹的因此曲线无拐点当x 0时y0在区间( 例6求曲线13

22、，的拐点 解函数的定义域为(1 2(2) 丫(3) 存在的点为9x业ii比匚Vx无二阶导数为零的点 二阶导数不x 0八 X14 _八 rn+ _ /r ran ilJz点(o o)曲线的拐点§3 5函数的极值与最大值最小值f(x)f(x)f (x)一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义f(Xo) 则称f (xo)是函数 f(x)的一个极大值 f(Xo)则称f (Xo)是函数f(x)的一个极小值 设函数f (x)在点xo的某邻域U(Xo)内有定义 f (x°)(a, b)如果在x。的某一去心邻域内有 如果在 Xo的某一去心邻域内有如果在

23、去心邻域U(Xo)内有f (x) f (Xo)(或则称f (Xo)是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 函数的极大值和极小值概念是局部性的使函数取得极值的点称为极值点如果f (Xo)是函数f (x)的一个极大值 那只是就Xo附近的一个局部范围来说f(Xo)是f(x)的一个最大值如果就f(x)的整个定义域来说f(Xo )不一定是最大值关于极小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值那么这函数在Xo定理1 (必要条件)设函数f(x)在点Xo处可导 且在Xo处取得极值处的导数为零 即f (Xo)

24、 0证为确定起见假定f(Xo)是极大值(极小值的情形可类似地证明)根据极大值的定义在x。的某个去心邻域内对于任何点X f (x)f(Xo)均成立于是Xo时f(x) f(Xo)oX Xo因此当Xf (Xo)Xo时limXqf (x)f(Xo)f(x) f(Xo) of (Xo)因此从而得到简要证明limx xf (x)Xf(Xo)Xof (Xo) 0 假定f(x。)是极大值 根据极大值的定义在Xo的某个去心邻域内有f (x) f(xo)于是(Xo) f(Xo)limf (Xo)X Xo X Xo(Xo) f(Xo)f(Xo) lim0同时从而得到f(Xo)驻点使导数为零的点(即方程f (X)。的

25、实根)叫函数f(x)的驻点定理1就是说可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但的过来函数f(x)的驻点却不一定是极值占 八、考察函数f(x) X?在X。处的情况定理2 (第一种充分条件)设函数f (x)在点Xo的一个邻域内连续 在Xo的左右邻域内可 导(1)如果在X。的某一左邻域内f(X)0在X。的某一右邻域内f(x)0那么函数f(x)在X。处取得极大值(2)如果在X。的某一左邻域内f(x)o在x。的某一右邻域内f(x)o那么函数f (x)在Xo处取得极小值如果在X。的某一邻域内f(x)不改变符号那么函数f(x)在X。处没有极值)设函数f(x)在含X。的区间(a, b)内连续在(a, X。)

26、及(x。，b)内如果在(a, x。)及(x。，b)内f (x)的符号相同那么函数f(x)在X。处没有极值定理2(第一种充分条件在(xo, b) |A1 f(x) o那么函数f(x)在X。处取得极大值可导(1)如果在(a, xo)内 f (x)如果在(a, xo)内f (x)在(xo, b) |Aj f(x) o那么函数f(x)在x。处取得极小值定理2(第一充分条件Xo) (Xo Xo)内可导)设函数f(x)在X。连续且在X。的某去心邻域(X。(1)如果在(X。 处取得极大值(2)如果在(X。 处取得极小值(3)如果在(X。Xo)内 f在(XoXo)内 f (X)0 在(Xo XoXo)及(Xo

27、 Xo)内 f (X)内 f (X)|Ajf (X)的号相同那么函数f(x)在X。那么函数f(x)在X。那么函数f(x)在X。处没有定理2也可简单地这样说当x在X。的邻近渐增地经过X。时如果f (x)的符号由负那么f(x)在X。处取得极极值变正 那么f(x)在X。处取得极大值如果f (x)的符号由正变负小值 如果f (x)的符号并不改变 那么f(x)在X。处没有极值(注定理的叙述与教材有所不同)确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f (X)求出f(x)的全部驻点和不可导点(3)列表判断(考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2确定对

28、应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例1求函数出局用的极值解£(外在(f3”)内连续除X 1外处处可导令f (x) 0得驻点X 1 X1为f(X)的不可导点(Xo) 0那么该点Xo一定是X(1)1(1 1)1(1)f (x)不可导0f(x)g 、五)ox/g M) U0gkA； O?)u |±± g ) /(Xo)的符来判由1)极N检循3，)设函数f(X)在点Xo处具有二阶导数且(3)剂发脚并且可以按二阶导数(X)曲渊峨叔(也)a。定理3 (第二种充分条件 (Xo) 0那么(Xo) 0(1)当 f(xo)当f(xo)证明在情形0时0时由

29、于f根据函数极限的局部保号性函数f(x)在Xo处取得极大值函数f(x)在Xo处取得极小值(Xo)O按二阶导数的定义有Im f (X) f (XQ zxf (Xo) lim ° °xs0 X Xo当X在Xo的足够小的去心邻域内时f(X)f (X。)X Xo但f (Xo) 0所以上式即f (X)从而知道对于这去心邻域内的X来说即 x Xo 时 f (x) 0 当 x Xo 0 即 x Xo 时 fX Xof (X)与X Xo符号相反(x) 0根据定理2取得极大值因此 当x Xo 0f(x)在点Xo处类似地可以证明情形(2)简要证明在情形(1)f (x) f (Xo)f (Xo)

30、 lim由于f(Xo) 0f (Xo) 0按二阶导数的定义有根据函数极限的局部保号性-0(X)从而在该邻域内 当X Xo时在点Xo处取得极大值定理解极值点 令f(3)f 因因f0lim f(x>x " X Xo在Xo的某-去心邻域内有(x) 0 当 x Xo 时(X) 0根据定理2 f(x)f 如果函数f(x)在驻点Xo处的二导数f(X)6x(/1)'(x) 0(X) 6(X2(0) 6：(1)所以f(x)在求得驻点Xi1) (5x2 1)0所以f (x)在1处没有极值X2 0 X3 1X 0处取得极小值 用定理3无法判别极小值为因为在f (0) 01的左右邻域内同理

31、f(x)在1处也没有极值(X)二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题 上有时可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数f(x)在闭区间a b上连续则函数的最大值和最小值一定存在值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得在一定条件下 这类问题在数学(a b)内取得在这种情况下最大值一定是函数的极大值因此函数的最大 必在开区间 数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 函数在闭区间a b上的最小值一定

32、是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最 小者则函同理最大值和最小值的求法设f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 则比较佗们是可能的极值点)为Xi X2Xnf (a) f (x i)的大小其中最大的便是函数的最小值f(Xn) f(X)在af(b)b上的最大值最小的便是函数f(x)在ab上例3求函数f(x) x2 3x 2在341上的最大值与最小(x)在(34)内由于f( 3)x2 3x 2 x2 3x值3,12,42x 32x 3f(x)的驻点 为20 f得它在34上的最大值(3.S2) 4)(1.2)02032 不可导点为x 1和x(3)4 在xf(2) 0f(4) 6 比较可得f(

33、x)在x1和x 2处取它在3 4上的最小值03处取例4工厂铁路线上AB段的距离为为100km工厂C距A处为20km AC垂直于AB了运输需要要在AB线上选定一点费与公路上每公里货运的运费之比3:5问D点应选在何处D向工厂修筑一条公路为了使货物从供应站已知铁路每公里货运的运B 运到工厂C的运费最省100km设从B点到C点需要的总运费为y那么5k CD 3kDB (k是某个正数)y 5k、400 x2 现在 问题就归结为 先求V对X的导数5xy(T 400 x2解方程y 0得x 15 (km)3k (100 x)在03) CD(0 x 100) x100内取何值时目标函数y的值最小400 X1i

34、x 100 500kJ 2由于 y |x o 400k y|x 15380k ° 其中以 y x 15380k 为最小因此当AD x 15km时总运费为最省例2工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km.欲 修一条从工厂 到铁路的公路CD.已知铁路与公路每公里运费之比为3:5.为了使火车站B与 工厂C间的运费最省， 问D点应选在何处解设AD x (km) B与C间的运费为y贝U注意 f(x)在一个区间(有限或无限开或闭)内可导且只有一个驻点Xo并且这个驻点Xo是函数f(x)的极值点那么当f(Xo)是极大值时f(Xo)就是f(x)在该区间上的最大值当f(

35、Xo)是极小值时f(Xo)就是f(x)在该区间上的最小值Ay0f(x)那么露此吸11r条趣懒嘲豳履最小值gf(x )在定义区间内部 Xo例6把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高W bh26h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量解b与h有下面的关系h 2 d 2 b 2因而 这样 现在W b(d2 tr) (0<b<d)6:b的函数b的变化范W就是自变量等于多少时目标函数 问题化为是(0/取最大值为此的导数W 6(d2 3b2)b Jld解方程W 0得驻点由于梁的最大抗弯截面模量一定存在1而且在(0d)内部取得现在函数W _L b (d2 b2)八d)内只有一个驻点

36、所以当W的值最大这时y 5k CD 3k DB 其中k是某一正数5k、400 x2 3k(100 x) (° x 100),y k(. 4cOxx2 3： 0 由得x 15由于y I x o 400k y x 15 因此当AD x 15km时y|x J 1380 k ioo 500k 1 52 总运费为最省其中以y I x15380k为最小h2 d2 b2 d2 3d2 2d2(x) 6x 22 (3x 1)f (x) 0的根为x 1/3d:h:b .3： 2:1解把w表示成b的函数W Ibh- lb(d求出一阶、二阶导数为零的点求出一阶、二阶导数不存在的点 列表分析确定曲线的单调性

37、和凹凸性 确定曲线的渐近性 确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点(6)联结这些点画出函数的图形例1 画出函数yx'x'x 1的图形解(1)函数的定义域为()(2) f (x) 3x2 2x 1(3x 1) (x 1) ff (x)0 的根为 x 1/3 1 卜) 6f(32) 38描点联线画出图形(0<b<d)W ?(d2 3b2) 0u由6得驻点b - 3 M由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而且在(0 d)内部取得现在函数W在(0 d)内只有一个驻点b . 3 Th鸟所以当b .3 Y时 抗弯截面模量W最大这时 3§3 8函数图形的

38、描绘X(1/3)1/3(1/31/3)1/3(1/31)1(1)f (x)00f(x)0f (x)/极大拐点极小/当X时y当X时y计算特殊点f( 1/3)32/27f(l/3)16/27f(l) 0f(0)1 f(确定函数的定义域并求函数的一阶和二阶导数描绘函数图形的一般步骤(3)列表分1)例2作函数解(1)函数为偶函数(x)± 产2 e*的图形定义域为() 图形关于y轴对称(X 1)(X 1) e 2x2令 f(x)、2 ,(x)列°得x 0令f (x) 0得x 1和x 1 表X7k U1ko>X117f w+o11hg+o1o+1f7V1±11极大值T

39、2 a(4)曲线有水平渐近y o)内的图形 然后利用对称性作出区间(，0)内的图形先作出区间(0, y例3作函数36x(X 3)2的图形3) ( 3f(x)吟(x 3)3令 f (x) 0 得 x 3f(x) 令f72(x 6)(x 3)，(x) 0 得 x 6解 (1)函数的定义域为(数值数0)=1 f( 1)(6)作图X(3)(33)3(36)6(6)f (x)0f(x)0f(x)4极大11/3拐点(3)列表分析8 f( 9)8 f( 15)11/4(4)x 3是曲线的铅直渐近线 y 1 是曲线的水平渐近线(5)计算特殊点的函§ 3 9曲率一、弧微分设函数f(x)在区间(ab)内

40、具有连续导数在曲线y f(x)上取固定点M o(x oy o)作为度量弧长的基点并规定依x增大的方向作为曲线的正向对曲线上任一点M(x y)规定有向弧段了的值S （简称为弧S）如下S的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段了的方向与曲线的正向一致时s>0相反时s0显然弧s V是x的函数s s(x)而且s(x)是X的单调增加函数下面来求s(x)的导数及微分设对应于b)内两个邻近的点弧s的增量为它们在曲线yf(x)上的对应点为M N并MNxMNIMNMN |MN(x)2 ( y)2(x)2MNMNMN 2J MNMN |MN因为MN I MN 因此lim yX y由于s s(x)是单调增加函数 是弧微分公式dsdxTVdsds从而 dx >o dx . 1 y2于是ds " dx这就因为当x 0时S、3" x又s与同号所以型 lim lim 3lim 1 ( y)2dx x o x x o x!xO' x . 1 y因此ds . 1 y =dx这就是弧微分公式、曲率及其计算公式曲线