三角形的五心及相关习题.doc2汇总

1、I三角形的五心及相关习题三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的五心”在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍.三角形的 五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.都等于三角形的外接圆半径.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外.2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）.三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径.内切圆半径 r 的计算：1S设三角形面积为 S，

2、并记 p=2（a+b+c），则 r=p.1特别的，在直角三角形中，有 r=1（a+b c）.3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个垂心组”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心（旁切圆圆心）.每个三角形都有三个旁切圆.OCBA 类例题例 1 证明重心定理。1证法 1 如

3、图，D、E、F 为三边中点，设 BE、CF 交于 G,连接 EF，显然 EF J qBC，由三角形相似可得 GB= 2GE，GC=2GF.又设 AD、BE 交于 G，同理可证 GB=2GE，GA=2GD，即 G、G 都是 BE 上从 B 到 E 的三分之二处的点，故 G、G 重合.即三条中线 AD、BE、CF 相交于一点 G .证法 2 设 BE、CF 交于 G，BG、CG 中点为 H、I .连 EF、FH、HI、IE，因为 EF =；BC, HI =：BC,所以 EFHI 为平行四边形.所以 HG=GE、IG=GF , GB=2GE, GC=2GF.同证法 1 可知 AG=2GD, AD、B

4、E、CF 共点.即定理证毕.链接 证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设 AB、BC 的中垂线交于点 0,则有 0A=0B=0C,故 0 也在 AC 的中垂线上,因为 0 到三顶点的距离相等，故点 0 是厶 ABC 外接圆的圆心.因而称为外心.内心定理的证明：如图，设/ A、/ C 的平分线相交于 I、过 I 作 ID 丄 BC , IE 丄 AC, IF 丄 AB,贝 U有 IE=IF=ID .因此 I 也在/ C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.例 2 证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，

5、AD、BE、CF 为厶 ABC 三条高，过点 A、B、C 分别作对边的 平行线相交成 ABC,显然 AD 为 BC 的中垂线；同理 BE、CF 也分别为 AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.链接 （1）对于三线共点问题还可以利用 Ceva 定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva 定理）设 X、Y、Z 分别为 ABC的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充要条件是（2）对于三角形的五心，还可以推广到n 边形，例如，如果我们称 n（A3）边形某顶点同除该点以外的 n-1 个顶点所决定的 n-1 边形的重心的连线，为 n 边形的

6、中线，（当 n-1=2 时，n-1 边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n 边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1 ）： 1 的两条线段，这点叫 n 边形的重心.请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。情景再现1.设 G 为厶 ABC 的重心，M、N 分别为 AB、CA 的中点，求证：四边形 GMAN 和厶 GBCB-AZ BX CY- =1ZB XC YA=0CAD的面积相等.2.三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.B 类例题例 3 过等腰 ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM / CA 交 AB

7、于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在 ABC 外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析 分析点 M和 N 的性质，即能得到解题思路。证明由已知可得 MP=MP=MB, NP=NP=NC,故点 M 是厶 PBP 的外心，点 N 是厶 PPC 的外心.于是有1 1ZBPP2zBMP=ZBAC,221iZPPC=2ZPNC=ZBAC.22/ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.从而，P点与 A、B、C 共圆，即戸在厶 ABC 外接圆上.链接本题可以引出更多结论，例如PP 平分ZBPC、PB: PC=BP: PC 等等.例 4 AD，BE

8、，CF 是厶 ABC 的三条中线，P 是任意一点证明：在厶 PAD，PBE，PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.（第 26 届莫斯科数学奥林匹克）证明 设 G 为厶 ABC 重心，直线 PG 与 AB，BC 相交.从 A，C，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为A，C，D，E，F.易证 AA=2DD ，CC=2FF, 2EE=AA+CC,/EE=DD+FF.有 &PGE=SPGD+SAPGF.两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SXPAD+SAPCF.例 5 设 A1A2A3A4为。O 内接四边形，已,H2,H3, H4依次为 A2A3A4，人3人4凡，厶 A4A!A2, A

9、1A2A3的垂心求证：巴,H2,H3, H4四点共圆，并确定岀该圆的圆心位置 .（1992 ，全国高中联赛）证明 连接 A2H1, A1H2，已战，记圆半径为 R.由厶 A2A3A4知A2H,=2R =A2H1=2RcosZA3A2A4；sin EA2人3出由厶 A1A3A4得 A1H2=2RcosZA3A1A4.但ZA3A2A4=ZA3A1A4，故 人2巴=%出.易证 A?H1/ A1A?，于是，A2H1A1H2,故得 H1H2= A2A1.设 H1A1与 H2A2的交点为 M，故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称同理，H2H3与 A2A3, H3H4与 A3A4, H4H1与 A

10、4A1都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1, H2, H3, H4在同一个圆上.后者的圆心设为 Q, Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O, M 两点，Q 点就不难确定了 .链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;(2)三角形的外心到三顶点的距离相等；(3)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(4)三角形的内心、旁心到三边距离相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内

11、心是它旁心三角形的垂心;(6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再现3.在 ABC 的边 AB, BC, CA 上分别取点 P, Q, S.证明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似.(B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克)4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.C 类例题D, E, F 分别是 BC, CA , AB 的中心.一个以 H 为圆心的0H 交直线 EF , FD , DE 于 Ai, A2, Bi,

12、B2, Ci, C2.求证：AAi=AA2=BBi=BB2=CCi=CC2. (1989 ，加拿大数学奥林匹克训练题)分析 只须证明 AAi=BBi=CCi即可.证明设 BC=a, CA=b, AB=c,AABC 外接圆半径为 R,0H 的半径为 r.2连 HAAH 交 EF 于 M. A A, =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2- MH2),1 1又 AM2- HM2=(2AHi)2-( AH-AHi)2=AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2

13、.222AA2=r2+b c-9 bc-(4R2-a2)=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,221CC-I=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.故 AA1= BB=CC1.例 7 已知0O 内接 ABC,0Q 切 AB, AC 于 E, F 且与0O 内切.试证：EF 中点 P 是厶 ABC 之内心.(B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克)例 6 H 为厶 ABC 的垂心,AHsin ABH=2R=AH2=4R2COS2A2bcA22中点 K 都在/ BAC 平分线上.易知 AQ=sina由 RtEPQ知PQ=Sin : r.：

14、PK=pQ+QK=sin：r+sin：(2R_r)=sin : 2R./.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 这内心.说明在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例7 的一种特例，但它增加了条件州大学中学数学竞赛习题)证明 设 Rt ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：P( P- c)=( p-a)( p-b).11Tp( p- c)= 2 ( a+b+c) 2(a+b-1=4( a+b)2-c2=ab；1 1(p- a)( p- b)= 艮-a+b+c) (a-b+c)1 1=4【c2-( a- b)2= ab.-p( p- c)=( p-司(p-

15、 b).观察图形，可得ra=AF- AC=p- b，rb=BG- BC=p- a,rc=CK=p.1而 r=2(a+卜 c)= p_c.-r+ra+rb+rc=( p-c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及图形易证.例 9 M 是厶 ABC 边 AB 上的任意一点.5 r2， r 分别是 AMC， BMC， ABC 内切圆的半径， q“ q?,q 分别是上述三角形在/A“r部的旁切圆半径.证明 一 =.( IMO-12)qiq2q证明对任意 ABC，由正弦定理可知例 8 在直角三角形中，求证:r+ra+rb+L=2p.式中 r，唁，山，L 分别表示内切圆半

16、径及与a, b，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.证明如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BCTQKAQ=MQQN,，QK=MQQNAQ(2R _r)r=$)n(2R_r)r /sin :AB=AC.ACB 内ECK2OD=OAsinAB=AB .Bsin2sin AOBsin A：=AB A . B sinsin2 2 .A+B sin2OE= ABABcos cos22.A+Bsin2ODOEAgyg亦即有qi=tg；Atgq22.CMA CNB B tg tg -tgAtg*例 10 锐角 ABC 中，O, G, H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为求证：1 d垂+2 d

17、外=3 - d重.证明 设厶 ABC 外接圆半径为 1,三个内角记为 A , B,C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,/2d外=2(cosA+cosB+cosC)./AH1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2 sinB，sinC,同样可得 BH2 CH3./3d重= ABC 三条高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH/=2,si n BCH/HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同样可得 HH2, HH3./d垂=HN+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB

18、)欲证结论，观察、，d外，重心到三边距离和为 d重，垂心到三边距离和为 d垂.须证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB - sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.说明本题用了三角法情景再现5. 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中， AB=BC， CD=DE，EF=FA. 试证： （1） AD，BE，CF 三条对角线交于一点； （2） AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.（1991 ，国家教委数学试验班招生试题 ）6 . ABC 的外心为 O, AB=AC, D 是 AB 中点，E

19、是厶 ACD 的重心.证明 OE 丄 CD.（ 加拿大数学奥林匹克训练题 ）7. ABC 中/ C=30, O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE, OI=DE. （1988 ，中国 数学奥林匹克集训题 ）习题 171 .在 ABC 中，/ A 是钝角，H 是垂心，且 AH = BC，贝 U cosZBHC=（）2.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的（） 设 E 是 ABC 的外角ZBAK 的角平分线与 ABC 的外接圆0O 的交点，ED 是0O 的直径，I 在线段 AD 上，且 DI

20、 = DB，贝 U I 是 ABC的内心.正确命题的个数是（）A. 0 个B. 1 个 C. 2 个D . 3 个6 .设 ABC 的ZA=60，求证： ABC 的外心 0、内心 I、垂心 H 及点 B、C 五点在同一个圆上.7 .已知 P 是口 ABCD 内的一点，O 为 AC 与 BD 的交点，M、N 分别为 PB、PC 中点，Q 为 AN 与 DM 的交 点.求证：P、Q、O 三点在一条直线上； PQ=2OQ.8. I 为厶 ABC 之内心，射线 AI，BI，CI 交厶 ABC 外接圆于 AB, C .则 AA +BB +CCAABC 周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）9. T的三

21、边分别等于厶 T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.（1989，捷克数学奥林匹克）10. I 为厶 ABC 的内心.取 IBC， ICA， IAB 的外心 O1， O2， O3.求证： O1O2O3与厶 ABC 有公共的外心. （1988，美国数学奥林匹克）11. AD 为厶 ABC 内角平分线.取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O1, O2.则厶 OO1O2是等腰三角形.A.内心 B.外心 C .重心 D .垂心（1996 年全国初中联赛）3. （1997 年安徽省初中数学竞赛）若 OtggO。，那么，以 siCOSQ，tanoto 为三边的三角形有内

22、切圆、外接圆的半 径之和是（）sin -+costan -+cot2_C. 2sin -cos.-g1sin -cos4. ABC 中，ZA=45，BC=a，高 BE、CF 交于点 H，则 AH=（ ）A. 2玄B . 2 J 2aC . aD.、2a5 .下面三个命题中： 设 H 为厶 ABC 的高 AD 上一点，ZBHC+ZBAC=180，则点 H 是厶 ABC 的垂心; 设 G 为厶 ABC 的中线 AD 上一点，且SAAGB=SABGC，则点 G 是厶 ABC 的重心；C12. ABC 中ZCb c,有(2)a2, b2, c2成等差数列.当中 abc 时,中 CF BEAAD.CFa

23、)2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的色”，有毎=34 S.)4CF2- 3a2=4CF2=2a2+b2-c2-a2+c?=2b2.I 为厶 ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC.ErdOBS+DI+FIA2 (IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP, IA=2IQ , IC=2IS./.BI+DI+FIAIA+IE+IC. / AB+BC+CD+DE+EF + FA=2( BI+DI +FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心 6 .提示：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中

24、点F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.设CD 交 AM 于 G, G 必为 ABC 重心.连 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易证：11 1DG: GK= DC:() DC=2:1.323.：DG: GK=DE: EF= GE/ MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=OD 丄 GE.但 OG 丄 DE =G 又是 ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.7 .提示：辅助线如图所示，作/ DAO 平分线交 BC 于 K.易证AIDAIBAEIB，ZAID =ZAIB=ZEIB.利用内心张角公式，有1ZAIB=90+2ZC = 105,1/ZDIE =360

25、 -105 X3=45.TZAKB=30+ZDAO=30/AK / IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,/ DO 丄 IE，即 DF+1 (ZBAC-ZBAO)=30+1 (ZBAC-60)=2ZBAC=ZBAI =ZBEI.是厶 DIE 的一条高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.习题 17 解答1. B; 2. A ; 3 . A; 4 . C ; 5 .选 B，只有（3）是对的；6.略；7 .略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H 的轨迹是一条线段. 补充：第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，

26、统称为三角形的五心一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1 .过等腰 ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM / CA 交 AB 于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P .试证：P 点在 ABC 外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC,故点 M 是厶 P BP 的外心，点N 是厶 P PC 的外心.有,11ZBPP=ZBMP=ZBAC,22,11ZPPC=ZPNC=ZBAC.22:.Z BPC=ZBPF+ZP PC=ZBAC.从而，P点与 A,

27、 B, C 共圆、即戸在厶 ABC 外接圆上.由于 P P 平分ZBP C,显然还有P B: P C=BP: PC.例 2 .在 ABC 的边 AB, BC, CA 上分别取点 P, Q, S.证明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设 0, O2, O3是厶 APS, BQP, CSQ 的外心，作出六边形O1PO2QO3S 后再由外心性质可知ZP0iS=2ZA,ZQO2P=2ZB,ZSO3Q=2ZC.:ZPO1S+ZQO2P+ZSO3Q=36O .从而又知ZO1PO2+ZO2QO3+ZO3SOI=36O将厶 O2QO3

28、绕着 O3点旋转到厶 KSO3，易判断厶 KSOi O2PO1，同时可得 OiO2O3 O1KO3.1-ZO2O1O3=ZKO1Os=ZO2O1K21=(ZO2O1S+ZSO1K)21=(ZO2O1S+ZPO1O2)21=ZPO1S=ZA;2同理有ZO1QO3=Z8.故厶 O1O2O3ABC.、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 .掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.例 3 . AD , BE, CF 是厶 ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在厶 PAD , PBE , PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和（ 第 26 届莫斯科数学奥林匹克

29、）分析：设 G 为厶 ABC 重心，直线 PG 与 AB,BC 相交.从 A , C , D , E , F 分别 作该直线的垂线,垂足为 A ,C,D , E , F.易证 AA =2DD , CC =2FF , 2EE =AA +CC:.EE =DD +FFSPGE=SxPGD+SAPGF.两边各扩大 3 倍，有SAPBE=SPAD+SPCF.例 4 .如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将厶 ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为 .G 为重心，连 DE 到 H,使 EH = DE，连 HC, HF，则就

30、是厶 HCF.（i）a，b2，c2成等差数列二.若厶 ABC 为正三角形，易证.不妨设 abc，有CF=22a22b2-c212 2 2BE=,2c 2a -b21 2 2 2AD=2b22c2-a2.2将 a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得、33匚.3CF=a，BE=b，AD=c.22 2V3U3v3/CF: BE: AD =a:b：c222=a: b: c.故有 .“= a2，b2，c2成等差数列.当中 abc 时，中 CF BEAAD. (CF)s.,a= a2+c2=2b2.三、垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例 5.设 A1A2A3A

31、4为OO 内接四边形，比，H2，H3，H4依次为A2ASA4，A3A4A1， A4AA2，AA1A2A3的垂心.求证：H1, H2，H3,H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置（1992，全国高中联赛）据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的色”，有鱼=34 S., 4CF2a23a2=4CF2=2a2+b2- c2三角形三条高的交战，称为三角形的垂心分析：连接 A2H1, A1H2, H1H2,记圆半径为 R.由厶 A2A3A4知A2H1- =2RA2H1=2Rcos/ A3A2A4；sinZA2A3H1由厶 A1A3A4得AiH2=2 RcosZA3A1A4.但/人3人2人4

32、=/ A3A1A4,故 A2H1=A1H2.易证 A2H1/ A1A2，于是，A2H1A1H2,=故得 H1H2A2A1.设=A1与 H2A2的交点为 M，故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称.同理，H2H3与 A2A3，H3H4与 A3A4，H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形， 巴，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为 Q, Q 与 0 也关于 M 成中心对称.由 0, M 两点，Q 点就不 难确定了 .例 6. H 为厶 ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA，

33、AB 的中心.一个以 H 为圆心的0H 交直线 EF, FD，DE 于 A，A2, B，Eb, C“ C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明 AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b,AB=c,AABC 夕卜 接圆半径为 R,0H 的半径为r.连 HA1, AH 交 EF 于 M.AA=AM2+A1M2=AM2+r2- MH2=r2+(AM2- MH2),11又 AM2- HM2=( AH1)2-( AH-AH1)222AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2

34、s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2由、有=l(a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,AHsin ABH=2R= AH2=4R2cos2A,AA12=r2+b2c2- a22bc-bc-(4 R2- a2)AEA1FHBCC1DEC2耳12CC12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2.24四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系:设 I 为厶 ABC 的内心，射线 AI 交厶 ABC 外接圆于 A ,则有 A l=A B=A C.换言之，点

35、A必是 IBC 之外心(内心的等量关系 之逆同样有用).D例 7 . ABCD 为圆内接凸四边形，取 DAB，ABC,ABCD， CDA 的内心 Oi， O2，O3， 04.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992; 4例 8.已知0O 内接 ABC， Q 切 AB，AC 于 E，F 且与0O 内切.试证：EF中点 P 是厶 ABC 之内心.(B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当 AB = AC，怎样证明呢?r如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q

36、，BC 中点 K 都在/ BAC 平分线上.易知 AQ=si na由 RtEPQ知 PQ=sint r./.PK=PQ+QK=s in：r+s in：(2R_r)=s in：/.PK=BK.:-利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 .旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切 例 9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中 r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与 a， b, c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设 R

37、t ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性:P( P- c)=( p-a)( p-b).11/ p( p- c)= ( a+b+c) (a+b-c)22故有AAi=BBi=CCi.TQKAQ=MQQN,MQ QN/QK=一AQ(2R-r)r=sin :(2R-r)r /sin二2R.(a+b)2-c2aPCK、REODOEg ftg1ab ；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) ( a- b+c)221 1c2-( a- b)2=ab.4-p( p- c)=( p-司(p- b).观察图形，可得ra=AF- AC=p- b,b=BG-BC=D- a, rc=CK=p.1而 r=

38、 ( a+b-c)2=p- c-r+ra+rb+rc=(p- c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及图形易证.例 10. M 是AABC 边 AB 上的任意一点.r，, r 分别是 AMC , BMC,AABC 内切圆的半径，q?, q 分别是上述三角形在/部的旁切圆半径.证明： E 2=丄.q q2q(IMO-12)分析：对任意 A B C,由正弦定理可知ACB 内OD=OA.Bsin2sinAOBsin A.A . Bsin sin2 2.A+Bsin2BO E= A BABcos cos22.A+Bsin2.CMA . CNBtg2 2tg Atg_

39、B=六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心 .例 11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC, CD=DE, EF=FA.试证：(1) AD, BE, CF 三条对角线交于一点;(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAAK+BE+CF.(1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接 AC , CE, EA,由已知可证 AD, CF, EB 是厶 ACE 的三条内角平分线，I 为厶ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由 BDF，易证 BP, DQ, FS 是它的三条高，I

40、 是它的垂心，利用不等式有:BI+DI+FI 2 (IP+IQ4E5dos不难证明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS./BI+DI+FI IA+IE+IC./.AB+BC+CD + DE+EF + FA=2( BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心例 12. ABC 的外心为 O, AB=AC , D 是 AB 中点，E 是厶 ACD 的重心.证明 0E 丄 CD.( 加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.设CD 交 AM 于 G, G

41、 必为 ABC 重心.连 GE, MF , MF 交 DC 于 K.易证：111DG: GK= DC:()DC=2:1.323/.DG: GK=DE: EF=GE/MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=，OD 丄 GE.但 OG 丄 DE = 易证 OE 丄 CD.例 13. ABC 中/C=30, O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE, OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作/ DAO 平分线交 BC 于 K.易证AIDAIBAEIB,亦即有J12=tgtgq

42、22G 又是 ODE 之垂心.ADIF.KC例 14.分析:ZAID =ZAIB=ZEIB.利用内心张角公式，有1ZAIB=90+ZC=105,2:.Z DIE =360 -105 X3=45vZAKB=30+1ZDAO=301+(ZBAC-ZBAO)2=30+ _ (ZBAC-60)21=ZBAC=ZBAI=ZBEI.2:.AK /IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,:.DO 丄 IE，即 DF 是厶 DIE 的一条高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.锐角 ABC 中，O, G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为

43、离和为 d重，垂心到三边距离和为 d垂.求证：1 d垂+2 d外=3 - d重.这里用三角法.设厶 ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A，B，C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，：2d外=2(cosA+coSB+cosC).vAH1=sinBAB=sinB(2 sinC)=2 sinB，sinC，同样可得 BH2 CH3.：.3d重= ABC 三条高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH:=2,si n BCH:-HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同样可得 HH2，HH3.:.d垂=HH1+HH2+H

44、H3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲证结论，观察、，d外，重心到三边距O1G1H12须证(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.练习题1.1为厶ABC 之内心，射线 AI, Bl, CI 交厶 ABC 外接圆于 AB,C.则 AA+BB+CCAABC 周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）2. T的三边分别等于厶 T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相似.（1989，捷克数学奥林匹克）3. I 为厶 A

45、BC 的内心.取厶 IBC， ICA， IAB 的外心 Oi, O2，O3.求证： O1O2O3与厶 ABC 有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克）4. AD 为厶 ABC 内角平分线.取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O“ O?.则厶 OOQ?是等腰三角形.5. ABC 中/C 90，从 AB 上 M 点作 CA, CB 的垂线 MP, MQ. H 是厶 CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.（IMO-7）16. ABC 的边 BC= （ AB+AC），取 AB, AC 中点 M , N, G 为重心，I 为内心.试证：过 A, M , N 三点的圆与直线 GI 相切.（第 27 届莫斯2科数学奥林匹克）7. 锐角 ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 比，H2, H3.已知：比，H2,出，求作 ABC.（第 7 届莫斯科数学奥林匹克）8. 已知 ABC 的三个旁心为 I1, I2, d 求证： I1I2I3是锐角三角形.9. AB