(完整版)习题答案3,4,5

1、习题三1.设二维随机变量 （ ， ）只能取下列数组中的值： （0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0）。且取这些组值的概率依次为 1/6，1/3， 1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的 矩形表格。解：由题设可得 （ ， ）的联合分布律如下：01/31-101/121/301/60025/12002.一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2， 2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以 ， 分别记第一 次、第二次取得的球上标有的数字，求 （ ， ）的联合分布律。解： （ ， ）的可能性取值为数对 （1， 2）

2、、 （2，1）、（2，2），先计算取每一数对的概率：P( ， )=(1 ，2)=(1/3) 1=1/3；P( ， )=(2，1)=(2/3) (1/2)=1/3 ；P( ， )=(2，2)=(2/3) (1/2)=1/3 ；3.一整数 n等可能地在 1， 2， 3， 10十个值中取一个值，设 = （n）是能整除 n的正 整数的个数， = （n）是能整除 n的素数的个数 （注意：1不是素数 ），试写出 和 联合分布律。解：依题意有：n：12345 6 789 10(n)：12232 4 243 4(n)：01111 2 111 2因此 =1， 2，3，4；=0，1，2。由此易求得和联合分布律为(

3、n)(n)123401/10000104/102/101/1020002/104.设随机变量 （ ， ） 的联合概率密度为f (x)1 x2 1 2 2 2 dy 1 x1 x2f(x, y)dy0,x 1,其它.(1) 确定常数 k；(2)求 P(3) 求 P 1.5 ；(4) 求 P解： (1) 由概率密度的性质知：240 dx 2 k(6 x y)dy 1, 即 8k=1 k=1/8;1, 3 ；4 。4(2) P1,(3) P1.5133 01dx 23(61.5 40 dx 2(6 xx y) /8dy 3/8 ;(4) Pf (x, y)dxdy5.设二维随机变量G(，y)/8dy

4、 27/32;4 x 1 2 (6 x y)dy 。 832dx02F(x, y)）的联合分布函数为：1 3x 3 y 3 xy0,试求 （1）联合概率密度解：(1) f (x, y)f(x，2F(x, y)xyy)；(2)(x 0,y 0), 其它, y 1 。1,0xyP 0 x2 (ln 3)2 3 0,， 1)- F(1，(x 0,y 0), 其它.（2） P0< x1，6.在第 2 题中，若改为袋内装有号码是 ）的联合分布律和边际分布律。解： 、 的取值均为 1，2， 3，因而 （ （1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）。由此可算得 P =1，

5、=2=（1/4） （2/3）=1/6 ，类似地可计算 （ ， ）取其他值的概率， 列表如下：0<y1= F(1，0）- F（0，1）+ F（0，0）=0.444 。1，2，2，3的4个球，其它假设不变，求 （ ， ） 的可能取值为123101/61/1221/61/61/635/151/601 件的口袋中，任取其中的 3 件，用 表示7.已知在有一级品 2 件，二级品 5 件，次品 所含的一级品件数， 表示二级品件数。（1）（ ， ）的联合分布律；（2） 关于 和关于 的边际分布律；（3） P 1.5, 2.5 , P 解： （1）显然 的可能取值为 0，1，P 1, 2 CC21C35

6、2C8320 ，类似地，56试求：2,2；P 0 。的可能取值为 0， 1，2，3。计算相应的概率为可计算其它概率，列表如下（含边际分布列 ） ：0123的边际分 布列00010/5610/5620/561010/5620/56030/5621/565/56006/56的边际分 布列1/5615/5630/5610/561(1)因 0=P =1， =1P =1 P =1=(20/56) (1/56)，故 、 不独立。(2)P <1.5， <2.5= P =0， =0+ P =1， =0+ P =0， =1+ P =1， =1+ P =0， =2+ P =1， =2=40/56 ；(

7、3)P 2=1 ， P <0=0 。8.已知二维随机变量 ( ， )的联合概率密度为f(x,y) csin(x y), 0 x 4,0 y 40, 其它 ,试确定待定系数 c，并求关于 、 的边际概率密度。 解：确定常数 c.由f(x,y)dxdy/40 dy/4c sin( x/4y)dx=c0cos(xy)/40/4 dy/4c0cos(4y) cosy dyc sin( y) siny4/40c(1 2) 1.因 sin1cos(/4)12 22 ,且 sin( /8)0 , 故822sin( /8)2 2 /2,于是(x)(21)( 22 ) sin( x/8), (0 x/ 4

8、) 显然当 x 0 及 x因 (x,y)0,有(x)0.于是即得 c 1/( 2 1) 1 2. 当 0x,y /4 时 ,有(x) 0 (1 2)sin(x y)dx ( 2 1)cos( /4 x) cosx 2( 2 1) sin( x / 8) sin( /8)./4时,因此 （1）联合分布函数为 f （x, y）6, (x, y) G0, 其它 .(2) f (x)(3) f (y)xx2 6dy0,y y 6dx0,6(x x2),0 x 1, 其它.6( yy),123P | =01/41/21/410.已知 服从参数 p=0.6 的(0-1) 分布， 表示：123P / =11

9、/21/61/3关于 的条件分布分别如下表0 y 1, 其它.且在 =0 及 =1 下，(x)(21)( 22)sin(x0,/8),0 x / 4; 其他.由对称性易知Y (y)(21)( 22 ) sin( y0,/8),0 y / 4; 其他.9.设二维随机变量 （ ，）在区域G 上服从均匀分布，其中G (x,y)|0x 1,2xy x ，试求 （ ，）的联合概率密度及 和 的边际概率密度。12 解：从图 （图略 ）易知 G 的面积 A 0 （x x ）dx 1/ 6 ，求二维随机变量 （ ， ）的联合概率分布，以及在 1 时关于 的条件分布。 解：显然 （ ， ）的可能取值为 （0，1

10、）、（0，2）、 （0，3）、（1，1）、（1，2）、（1，3）。利用条 件概率可求得联合分布律如下：00.10.20.120.30.10.2P =0，=1= P=0P =1|=0=0.4 (1/4)=0.1, 其它类似。(2)P =0|P0,10.3 1 ；1=P10.6 2 ；例如，P =1|1=P 1, 10.31 。因此，01p0.50.5P 10.6 21 时关于 的条件分布为12.设二维随机变量P(P( 2| 1P( ， ) 的联合概率密度为6 y 1)2, 1 1/ 31 1/ 31。试求 (1)条件概率密度f (x, y) (x 0, f (x| y);(x 0, y 0),(

11、2)P 0其它, 1| 1 。解： (1)因为 f (y)0(x ydx1)4 dx13(x3 y 1) 0,(y 1)3其它.y 0,f (x y)f (x, y)3(y 1)3f (y)(x0,1)0,；0.(2)由于 f (x1)24(x0,2)40,P(013.设随机变量 ( ，f (x, y)x240.10 dx0 (x 1)4)的概率密度为1, |y| x,0 x 1,0,其它 ,1|1)19 /27 .11.在第 2题中的两个随机变量 与 是否独立？当 =1 时， 的条件分布是什么？ 解：不独立；因为 P =2| =1=1 ，而 P =2·P =1=(2/3) 

12、3;(1/3)P =2| =1 。求条件概率密度 f(x|y), f(y|x)。解：(x)f(x,y)dyxxx1dy0 x 12x0 x 10其它0其它f (x,y)dx11dx1y11|y| | y| 1f (y)|y|0其它0其它当 0<x<1 时当 -1< y<1 时f | (y|x)f (x, y)f (x)2x |y| x0 y 取其它值f | (x|y)f (x, y)f (y)|y|1 x |y| 。x取其它值01p0.70.314.已知相互独立的随机变量)的联合分布律；0123p0.40.20.10.3的分布律为：= + 的分布律。(2)试求： (1)

13、( ， 解： P 为(1)由题设可知i, j P i Pj 0,1,2,3 。由此可得 ( ， ) 的联合分布律012300.280.140.070.2110.120.060.030.09j, i0,1;= + 的取值为 0，1，2，3，4。P =0= P =0， =0=0.28 ，=1= P =0， =1+ P =1， =0=0.14+0.12=0.26 。 取其它值的概率，列表如下：(2)因此可得P 类似可求+01234p0.280.260.230.240.09在0，和1 上服从均匀分布， 的概率密度为15.设是两个独立的随机变量， 1e 2y , f (y) 2e , 0,的联合概率密度

14、；a 的二次方程为 a2+2 a+0,0,(1)求(2)设含有解： (1) 在(0，1)上服从均匀分布=0 ，试求 a 有实根的概率。又 和 相互独立f (x)fY (y)0x 其它1e201e20 (2)若二次方程 a2+2 a+ =0 有实根，必须 4 2-42 1 x2 1 yf (x, y) f (x) f (y)0 x 1, y 0 其它 0，因而所求概率为P4 2 4 0 f(x, y)dxdy 01dx 0x e 2 dy G 0 0 210ey2x0x222dx101 ( ex221)dxx201 e 2 dx(0) 1 2 (0.84130.5000) 0.14452 (1)

15、16.设 ( ， )的联合概率密度为f(x,y) (1 x2)(12y2(1) 求待定系数 k；的独立性 。(2) 求关于 和关于 的边际概率密度；(3) 判定 ，解：(1)因为f (x, y)dxdy(1k22x2 )(1 y2)dxdy 1 ，故有(2)f (x)类似地，可求得1k (1 x2 )f (x,y)drdx(1 y2)dy11 ；因此 k12。2 (1 x2)(1 y2 )dy1，2 2 ，2(1 x2 )f (y)1222 (1 y2)(，)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)p1/61/91/181/3(y) ，故 与 相互独立。17.如果 ， 的联

16、合分布律用下列表格给出：那末 、 取什么值时， ， 才相互独立？ 解：因所给的联合概率分布表中第一行的概率元素不含待定常数,易求得边缘分布p1.=P(X=1)=1/6+1/9+1/18=1/3.又由独立性 ,可求得另一随机变量 Y 的边缘分布 :(3) 因为 f (x, y) f (x) fp(Y=1)= P(X=1,Y=1)/ P(X=1)=(1/6)/(1/3)=1/2,p(Y=2)= P(X=1,Y=2)/ P(X=1)=1/3,p(Y=3)= P(X=1,Y=3)/ P(X=1)=1/6.又 p(X=2)= P(X=2,Y=1)/ P(X=1)=(1/3)/(1/2)=2/3,于是=P

17、(X=2,Y=2)= P(X=2) P(Y=2)=(2/3) ×(1/3)=2/9;-2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12=P(X=2,Y=3)= P(X=2) P(Y=3)=(2/3) (1×/6)=1/9. 18.设二维随机变量 ( ， )的联合分布律为：试求(1) + ；(2) - ；(3) 2+ -2 的分布律。解： (1) + 的可能取值为 -3，-2，-1，-3/2，-1/2，1/2，1，2，3。其概率 P + =-3= P =-1， =-2=1/12 ， P + =-2= P =-1， =-1=1/12 ， 类似地可

18、求得 + 取其它值的概率，列表如下：.+-3-2-1-3/2-1/213p1/121/123/122/121/122/121/12(2) 类似地可求得 - 的分布律如下：-1013/25/235p3/121/121/121/122/122/122/12(3) 2+ -2 的分布律如下：2+ -2-15/4-3-11/4-2-157p2/121/121/121/123/122/122/1219.已知 Pkak)的联合分布律以及Pnbkb2 , (k 1,2,3) ， 与 独立。试确定 a， bk2+ 的分布律。的值；并求出 ( ， 解：因 ， 独立 ,故P( =k, =-k')= P(

19、=k)P( =-k')=ab/k(k')2(k=1,2,3,k'=1,2,3). 显然 ( ， ) 的所有可能取值为 (1,-1),(1,-2),(1,-3);(2,-1),(2,-2),(2,-3);(3,-1),(3,-2),(3,-3), 故21.设与 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：-1-2-3pi.1abab/4ab/9P1.=49 ab/362ab/2ab/8ab/18P2.=49ab/723ab/3ab/12ab/27P3.=49 ab/108p.jp.1=11ab/6 p.2=11ab/24 p.3=11ab/54因 与 相互独立 , 故 p

20、ij=pi.×p.j.当 i=j=1 时 ,有 p11=p1.×p.1 即 ba=(6 ×11) ×(36/49).令 a=6/11,b=36/49,易验证对所有的 i,j 有 pij= pi.×p.j (i=1,2,3;j=1,2,3).33显然有 pij>0,且pij 1. 从而 a=6/11,b=36/49 即为所求 .令 ab=k,=k/216, 则i 1 j 1+-2 -1 0 1 2k1P24 66 251 126= 216 5397220.已知二维随机变量 (， ) 的联合概率密度为=-1)+ P( =2, =-2)+ P(

21、 =3, =-3)= k+k/8+ k/27=251P( + =0)= P( =1, 同法可求得 + 取其他值的概率 ,得其分布律为Ae (2x y)f (x, y)试求待定系数 A ； P2, 1 ;Fx 0,y 0 其它 (z)(其中)。解： (1)因为f(x, y)dxdyAe !2x y) dxdy即有 A 02xe dx 0ydy1 ，从而 A=1 。(2)P2, 1212e(2x y)dxdy 2 2e 2xdx 1ydy5e；(3)F(z) Pz2e0,z x (2x y) z 20 2e (2x y)dy (1 e z )2,0,其它.f (x) 10,试求解：0 x 1,其它

22、,f (y) e0,0,0,0,的概率密度。因为 与 相互独立，所以fZ (z) f (z y) f (y)dy上式只当 0z-y1，y>0 同时成立时，1f (z-y), f (y) 才全不为0。f (z)0z 1 e y dy zz 1 1 e ydy 00zz1其它z e z(e1)0z1z1其它22.设 ( ， )的联合概率密度为1f (x,y) e2解：设 的分布函数为当 z>0 时， F(z)=PF(z) 1e0,22xy2，试求F(z)=P22z102z2 / 2<z。zx2r2/2rdr0, z 0.2 2 的概率密度。当 z0时， F(z)=P 2f (x,

23、y)dxdy z1220(122 xyz2 / 2)dz2(x2z 0 ， y )/ 2dxdye z2 /2 。z2 /2 ze , 0,23.设某种型号的电子管寿命 ( 以小时计 )近似地服从 求其中没有一只寿命小于 解： N(160， 202)从而2 2 的分布密度为f (z)0,0.zN(160，202)分布。随机地抽取 4 只，180 的概率 。P16020P 16020180 小时的概率为 0.1587。p=0.15874=0.000634。24.对某种电子装置的输出测量了 5 次，得到的观察值 1， 2， 3， 4， =2 的瑞利 (Rayleigh)分

24、布，即概率密度为： 22即每只电子管寿命大于 都大于 180 小时的概率为1 (1)1 0.8413 0.1587因此， 随机地选取四只慢子管， 寿命5。设它们是相互独立的随机变量且都服从参数f (x)x2ex 0,(0) 的分布。(1) 求 1=max(2) 求 2= min (3) 计算 P 1 解：由于 i 的概率密度函数为1， 2，1， 2，4。3， 4，3， 4，x 0,5)的分布函数；5)的分布函数；0,因此其分布函数为（1）因为1， 2，（2）由于2= min (f i (x)iF i (x)3 ， 4，1，1(z)2，2 (z)（3） P 1 25.设二维随机变量 （ ，41P

25、11x,y)| 12数 F（x， y）。 解：因为 Gxe40,1ex280,5 相互独立，而F 1(z)5 13，4，15），故F 1 (z) 5F(4) 10, (i 1,2,3,4,5)0.0, (i 1,2,3,4,5)0.1=max(x2e80,1，2，3 ， 4，5），故有15 ,0,0.5x2 e84）在 G 上服从均匀分布，0,25 e 25 其中x 0, x 0.0.5167 。x 0, 0 y 2x1,试求（ ， ）的联 合分布函的面积 A=(1/2) f (x, y) 0,4,(1/2) 1=1/4 ，因此，0;01/2 x 其它. 故 (1)当 x-1/2,y时，有 f

26、(x, y)=0, 因此 (2)当-1/2x0，0<y 2x+1 时，有 (y 1) /2 2x 1）的联合密度函数为 y 2x 1,（，F(x, y)=0；F(x, y) 1/2 dx 0 4dy (3)当-1/2<x0, y>2x+1 时，有 x 2x 1F(x, y) 1/ 2dx 0xy(y 1)/2dx0 4dy 4xy4dy (2x 1)2 ；2y2 2y ；类似可求得：当 x>0, 0<y1 时，有 F(x, y)=2y-y2；当 x>0, y>1 时，有 F(x, y)=1.综上所述，0,x 1或 y0,4xy y2 2y,1/2 x

27、0,0 y2x 1F(x,y) (2x 1)2 ,1/2 x 0,2x1 y,2y y2 ,0 x,0,y1,1,0 x,1y.习题四1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000 件产品所出的次品数分别用表示，经过一段时间的考察，知 ， 的分布律如下：0123012p0.70.10.10.1p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。解：因为 E =0 0.7+1 0.1+2 0.1+3 0.1=0.6;E =0 0.5+1 0.3+2 0.2=0.7 。故就平均来说，甲机床要优于乙机床。2. 连续型随机变量 的概率密度为kxa0x1(k,af (x)0其它又知 E =0.75 ，求

28、k, a 之值 。解：首先由密度函数性质知f (x)dx 1,即kxadx 1,0)又E =0.75，即有xf(x)dx 0.75, 即 kxa 1dx 1,由上述两式可求得 k=3, a=2。ka1 k a21；0.75；-1023p1/81/43/81/43.已知随机变量 的分布律为求E，E(3 -2)，E2，E(1- )2 。 解： E =(-1) (1/8)+0 (1/4)+2 (3/8)+3 (1/4)=11/8;E 2=(-1) 2 (1/8)+0 2 (1/4)+2 2 (3/8)+3 2 (1/4)=31/8;E(1- )2=(1-(-1) 2 (1/8)+(1-0) 2 (1

29、/4)+(1-2) 2 (3/8)+(1-3) 2 (1/4)=17/8 或者， E(1- )2=E(1-2 + 2)=1- (E2 )+E 2=17/8 。4. 若 的概率密度为 f(x) 1 e |x|。求(1)E ，(2)E 2。21解： (1) E xe |x|dx 中因 e-|x|为偶函数，2间关于原点对称，该积分又绝对收敛，事实上x 为奇函数，故 xe-|x|为奇函数，且积分区|x|f (x)dx1 |x|e |x|dx2xe xdx(2) 1E =0 。2(2) E 22x2f (x)dx5. 轮船横向摇摆的随机振幅f (x) Axe 2 01 2 |x| x e dx2 的概率

30、密度为x22x 2exdx(3) 2!2。0)/422求 (1)确定系数 A；(2)遇到大于其振幅均值的概率是多少？解： (1)由密度函数性质知f (x)dx 1, 即Axe2x22 2 dx1,1,2,f(x)x2e2x220,0,(2)Exf (x)dx2exx2222 2 dx0.xex222x2222 2 dxP E x2ex2222 2 dx ex2222。6. 一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度 和 为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：91011p0.30.50.267p0.40.6试求 E( + )， E( )。解：因为 E =9 0.

31、3+10 0.5+11 0.2=9.9 ，EE( + )=E +E =9.9+6.6=16.5 ； 和 为两个相互独立的，因此有 E( )=E ·E=6 0.4+7 0.6=6.6 ，=9.9 6.6=65.34 。7. 已知 ( ， )的联合概率密度为f (x,y)4xy00 x 1 0 y 1 其它试求 E( 2+ 2)。解： E( 2+ 2)=(x2 y2) f (x, y)dxdy 01 01(x2 y 2 )4xydxdy 1。8. 一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个 车站没有旅客下车就不停车。以 表示停车的次数，求 E (设

32、每位旅客在各个车站下车是等 可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)。解：引入随机变量0, 在第 i站没有人下车1, 在第 i站有人下车 .易知， 1 2 10 ，现在求 E 由题设，任一游客在第 i 站不下车的概率为 9/10，因此， 20位游客都不在第 i 站下车的概率为 (9/10)20，在第 i 站下车的概率为 1-(9/10) 20。也就是P i=0=(9/10) 20， P i=1=1-(9/10) 20( i 1,2, ,10 )，因此， E i=1-(9/10) 20( i 1,2, ,10)。故 E =E E( 1 210) E 1 E 2 E 10 10 (1 (9/10)

33、20) 8.784(次)9. 圆的直径用 度量，而 且在 a，b上服从均匀分布， 试求圆的周长和圆的面积的数学 期望和方差。解：由于 服从 a，b上的均匀分布，因此1f (x) b0,而圆的周长 L= ，圆的面积EL=E( )= E =DL=D( )= 2D =的分布密度为axb,EA= 2/4= E 4 又 4 b 4 1 又 E = a x abdx a其它 2/4，故有 b)/2， (b a)2 /12 ；b 2 1x dx4 a b a1 4 3 (a ba5(b a) /2,2(b a) 2 /12.A=(a2b212(aa2 ba3ab b2) ，b4) ，因此222) 12(a2

34、2E1624 2 2 2 (a ab b ) 14422 2 2(a2 ab b2 )2144b2)2DA=EA2-(EA)2= E(421= (a16 5222(b a)2 (4a272010. 设随机变量 ， 相互独立，其概率密度分别为：4 ba3abb2a27abba3b4)4b2)11. 设随机变量 与 相互独立，且E =E=0，D=D=1，求 E( + )2 。解：E( +)2= E( 2+2+ 2)= E2+2E()+E2，又与相互独立，因此E()= E E ，而D = E2 (E)2,E2D(E )2 ，同理E2D (E)2故有E( +)2=E( 2+2+2)= E2+2 EE

35、+E2= D (E)2+2 EE + D(E)2=1+1=2。12. 若连续型随机变量的概率密度是f (x)ax 2 bx c0x其它10且已知 E =0.5 ，D =0.15 ，求系数 a, b , c 。解：因为f (x)dx121，即有 0(ax2 bxc)dx1, 即a/3 b/ 2 c 1又 E =0.5 ，故0 x(ax 2bx c)dx 0.5, 即a/ 4b/ 3 c/ 2 0.5又E =0.5，D =0.15 ，因而 E 2=0.4 ，因此1 2 2 0 x (axbx c)dx 0.4, 即a/5b/4c/3 0.4解、组成的方程组，解得f (x)x0 x12x1 x20其

36、它f (y)ey0试求 E( )，D( + )。解：因为 E1 2 2xf (x)dx 0 x dx 1x(2x)dx 1，E22 1 3x 2 f (x)dx 0 x3dx221x(2 x)dx7/6，Eyf (y)dx 0 ye y dy1，E222y f (y)dx 0 y eydy2，又 与 是独立的，故有E( )=E E =1 1=1；D( + )=D +D =E 2 (E )2 E 2 (E ) 2 7/6 1 2 1y0其它7/6。13. 设随机变量 有分布函数F(x)求 E(2 +1) ， D(4 ) 。解：先求 的分布密度函数f (x)故 E xf (x)dx 0x1 e ,

37、x 0,0,其它.dF(x)e x ,x 0,dx0,其它.x e xdx( xex)|01xe x |0a=12， b=-12 ， c=3。E 2x2 f (x)dx 0 x2 e x dx 22 ,2 2 1E(2 +1)=2E +1= 21，D(4 )=16D = 16因此 D E 2 (E )22 。从而有14. 证明：当 k=E 时， E( -k)2的值最小，且最小值为 D 。解：E( -k)2=E( -E )+(E -k) 2= E( -E )2+2E( -E )(E -k)+E(E -k)2 = E( -E )2+E(E -k)2=D + E(E -k)2 D 。-k)2取得最小

38、值 D相互独立，不求出E 时， E( 如果 与即当 k=15.D( )，怎样计算？ 解：因为 与( ) 的分布，直接用 的分布和 的分布能否计算出)=E( )2- E( )2= E( 2 2)-(E E )2 = E2E 2)-(E )2(E )2。16. 一台仪器有 10 个独立工作的元件组成，每一个元件发生故障的概率为 生故障的元件数的方差。相互独立，故 D(0.1，试求发解：引入随机变量0,1,在第 i个元件不发生故障 , 在第 i个元件发生故障 .易知，D i 0.1 (1 0.1) 0.09 ，故 10 ) D 1 D 2 D 17. 设随机变量 服从瑞利 (Rayleigh)分布，

39、其概率密度为1D(10 ，1010 0.09 0.9 。解： E18.1，f (x)x2ex2220)xf x dxx2 f x dxE22，9，x222e 2 dx22dxex22222x2e2x22dxx2ex22 2.试求：解：x2 e22dx. x2.2 e 2 2xdx423 为相互独立的随机变量，且 E222E283，E2E( 12 E( 1E 1283 4DE故19.设二维随机变量20，E 3 12401，E 23 1483的数学期望和方差。5 3 ) E5 3 )2 25E 3225 148(E ) 2( ， ) 的联合分布律为2522224E 2240121 2E2 5E 3

40、2012 29 ，E149947 292E 2 10E 20 10 9 106。E 3 20E112 20 202 E 312 947 ,-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8203)10xiyj pij jE( )即与20. 设二维随机变量 ( ，Cov(i ,) 0，f(x,y)试验证 和 是不相关的，解：先求f (x),f(y):0,E( ) E( ) 0 不相关。)的联合概率密度为：1x2其它并不相互独立。(x)f (x, y)dyy2 11 x 2 1 211xx2 dy 1x2x 1,0,其它.同理(x)f (x,y)dy显然， f(x, y) f (x

41、)fCov(212y2,1,0,其它.(y)，故 与 不独立。1 2 2xf (x,y)dx 1 x 1 x dxyf (y)dy, ) E( )0.11 y 2 1 y 2dyE( ) E( ) E(Cov( , )DD 设随机变量 ( ， ) 的联合概率密度为： f (x,y) 1 y x,f (x,y) 00 ，即 与 不相关。0.1 1 x 21dx1 x20x1其它xy 1 dy 0.计算 ，并判断 与 是否独立。 证明：由题得 ( , ) 的边际分布律各为-10 1-101pi.3/82/8 3/8p.j3/82/83/8pijpi.·p.j，(i,j=1,2,3) 故

42、与不独立。又3323Exi pi .( 1) 01 0,i188821.求：E ， E， Cov( ， )。1x122,Exf (x, y ) dxdyxf(x)dx 0x xdy dx012x2dx3,Exf (x, y ) dxdyyf1(y)dx 0xx ydy dx0,E(1) xf (x,y)dxdy 0xx xydy dx0.Cov(, ) E( ) (E )(E ) 02 0 0.322 .设有随机变量 和 ，已知 D =25 ，D =36 ，=0.4，计算D( +），D( - )由于D() D( ) D( ) 2Cov( ,)解：解：25 36 D D25 36 24 61 2

43、4, 故 D(X+Y)=61+24=85 ， D(X-Y)=61-24=37 。23. 证明：当 ， 不相关时，有：(1)E( )=E · E(2)D( ± )=D +D 。证明： (1)因为E( ) (E )(E ) ，由题知 ， 是不相关的，故 =0，DD因此，有 E( )=E ·E 。 (2)D( ± )=E( ± )2-E( ± )2=E 2±2 + 2 -( E )2±2(E )(E )+(E )2= E 2-(E )2+E 2-(E )2±2(E )(E ) 2(E )(E )=D +D 。2

44、4. 设( ， )在 G 0 x 1，0 y x上服从均匀分布 。试求 。解：因为 （ ，)在 G0 x 1，0y x 上服从均匀分布 ，故联合密度为2,0 x 1,0y x,f(x,y)0,其它.1x2,Exf (x, y ) dxdy0 0 2xdy dx3,1x1,Eyf (x, y)dxdy0 0 2ydy dx3,1x1,E() 01x xy 2dy dx421x212 1 x21E2002x2dydx,2E 0 0 2y dy dx ,6DE2(E )2 1/ 2(2/ 3)2 1/18,DE2(E )2 1/6(1/3)2 1/18E() (E )(E )1/4 (2/ 3)(1/3) 1。D D 1/18 1/18 225. 设 （ ， ）的联合概率密度为1