(完整版)上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

1、上海交通大学2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物 C的质量m,匀质杆AB的质量m,长为L, 匀质轮O的质量m,弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位 置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解:系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标, 在静平衡位置时 y= o,此时系统的势能为零。AB转角：即凶系统动能:m动能:m动能-:炖-:（X巧矿-；（X心卩- m动能-；皿讣：5；厂；（；2系统势能:* = 一叫刖 + F fil- 4在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而 有：上式求导，得系

2、统的微分方程为:黄叫+ - JWj + 码）固有频率和周期为:52、质量为m的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过 定滑轮A连在质量为m的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连; 不计滑轮A,绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求 系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物 B的位移x作为系统的广义坐 标，在静平衡位置时 x = 0，此时系统的势能为零。物体B动能:轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为 刼，转过的角度为。轮子动能：2222吋4*2 2 八4，"盯 *系统势能：V = -k=-i<-x3在

3、理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:r+F =上式求导得系统的运动微分方程:2k固有频率为:第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为 m外壳质量为2m每个弹簧的刚度系数均 为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1 ）以X1和X2为广义 坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解:系统为二自由度系统。 当 x1 = 1, x2 = 0 时，有: 当 x2= 1, x2= 1 时，有: 因此系统刚度矩阵为：k11 = 2k，k21 = 2k k22= 4k，k12= 2k2k -24-2Jt 4it系统质量矩阵为:系统动力学方程为:频率方

4、程为:蠡眉器;卜:A(a>) =-2Jfc=0解出系统2个固有频率：嶄=（2-血士= (2 + /2) mm2、在图示振动系统中，物体 A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k，刚杆 AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：(1)以Xi和X2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；(2)系统的固有频 率方程。1*解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体 A和B在铅垂方向的位移xi和 X2为系统的广义坐标。xi = 1 ,x2 = 0时，AD转角为e=i/3£因此，系统刚度矩阵为:两个弹簧处的弹性力分别为k位和他。对D点取力矩平衡，有: 另外有Z。同

5、理，当x2 = 1, x2= 1时，可求得:tc -kL9-kL kL系统质量矩阵为:IH 00 m系统动力学方程为：频率方程为:7K& Jt£-9=0-kLkL_M即：04 -23fcn2 + 5k2Za =0第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量 mi、m及弹簧的刚度系数为ki、k2、 k3、k4。（ 1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若ki=k3=k4= ko又k2=2 ko，求系统固有频率；（3）取ko =1，m=8/9，m2 =1,系统初始位移 条件为xi（0）=9和X2（0）=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统

6、可以简化为自由度振动系统。当 x1 = 1，x2 = 0 时，有：k11 = k1+k2+k4, k21 = k2当x2= 1，x2= 1时，有：k22= k2+k3，k12 = k2。因此，系统刚度矩阵为:系统质量矩阵为：叭° 10韵系统动力学方程为：円。词+鸟化佔二T斗rci（2）当片=屁=匕=妬 匚=时，运动微分方程用矩阵表示为：X 0 A *性-吗网_冋-% 火 JhJ LoJ频率方程为:(41.-)01.-)-4 =0- Pm1 + 4nrs4- 8fc0 = 0求得:Qmi +- -jSwf -+16m)=(3 眄 + 4 匹十_&叫 + 16扃)(3)当ko=1

7、, mi=8/9, m =1时，系统质量阵：系统刚度阵:4-2K =-23固有频率为:主模态矩阵为:33411主质量阵:M9 =M =03主刚度阵:o189-40一模态空间初始条件:_45模态响应:即：牡(j) = 4co$2(f) = 4 CDCfiy因此有:第四题（20分）一匀质杆质量为m长度为L,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为ki和k2 杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励金西。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和"为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（ 2） 取参数值为m=12 L=1，ki =1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取 前值，试问

8、当外部激励的频率 加为多少时，能够使得杆件只有 日方向的角振动， 而无x方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选 X、q为广义坐标，x为质心的纵向 位移，q为刚杆的角位移，如图示。当工=1、召=0 时：；当工=0、0 = 1时:51*11 * 1因此，刚度矩阵为:质量矩阵为:m 0°mZ?L 12系统动力学方程:m 00 ml?12(2)当m=12 L=，ki =1，k2 =3时，系统动力学方程为:o :利黑卜鬥频率方程为:即:求得:工(3)令 b，代入上述动力学方程，有:由第二行方程，解得,代入第一行的方程，有:4-12®31X111-03ff0提示：梁的

9、动力学方程为:，其中杏为布函数。(4 -12O5) 一】歹三七4 一 123)-卩要使得杆件只有白方向的角振动，而无x方向的振动，则需|x = 0，因此=10 第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为 L,弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩 为I，梁材料密度为少。在梁的曲位置作用有集中载荷风°。已知梁的初始条件 为：血血#3，n°（ 1）推导梁的正交性条件；（2）写出求 解梁的响应 心）的详细过程（假定已知第i阶固有频率为心打，相应的模态函数为戎，二16 ）解：（1）梁的弯曲振动的动力学方程为:-0护a?P05FQ贰0"如亦（曲 切代入梁的动力学方程，有:

10、设与叫、叫对应有飢、，有:（砂T =磅吗（1）国割=磅声处（2）式（1）两边乘以务并沿梁长对盂积分，有：，會（E唧心磺I声M呑（3） 利用分部积分，上式左边可写为：也杪心纵翊男就寸翊弹（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时 为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（3）中，有：(5)式（2）乘玖并沿梁长对用积分，同样可得到:(6)由式、得：如果2 /时，叫单，则有:=0（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得:也亦血=0上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当，时，式（7）总能成立，令:即为第j阶主质量和第j阶主刚度。由式（6）知有：叫如果主振型勉中的常数按下列归一化条件来确定:(9)则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第 j阶主刚度耳为吗 式（9）与（8）可合并写为：於魏心氓 由式（6）知有：存滋血心（2）悬臂梁的运动微分方程为:其中:(1)（2）令：i-l（3）代入运动微分方程，有：£-1U（4）上式两边乘嗚（或，并沿梁长度对x进行积分，有：rft+勿J：声轄血=轻j-ii-J_（5）利用正交性条件，可得：?yW+ 曲町他=Qj（f）（6）其中广义力为：二匸/（供声二、:叫世-哄产"曲血（7） 初始条件可写为：-血呵"