高三数学理科综合内切球和外接球问题附习题

1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题，是立体几何的 一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径故表面积为27 .例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为A运.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶

2、点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 14，故球的表面积为14例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（C ）A. 16B.20C.24D.32解析：长、宽、高分别为 2，2, 43.求多面体的外接球的有关冋题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3,则这个球的体积为1X 2,h 3.6x 3,9 a 3 2.6 x h,解设正六棱柱的底面边长为X，高为h，则有84、丄、d 亚、正六棱柱的底面圆的半径2，球心到底

3、面的距离2 . 外接球的半径R r2 d212 2 2小结 本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法（补形法）且侧棱长均为 3，则其外接球的表面积1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,是9 解把这个三棱锥可以补成一个棱长为''3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球则有22R.32924 .故表面积S 4 R小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径设其外接球的半径为R，则有2R a2 b2 c2 .出现“墙角

4、”结构利用补形知识，联系长方体。例6 .一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A ）A. 3DCB. 4 C.D.解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2,四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为，从而外接球的直径也为3例7（ 2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2， DAB=60 °，E为AB的中点，将 ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P， 则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（C ）.4、3.6A. 27B.2C.8D. 24解析：（如图3）

5、AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例ABC，36就完全相同了C例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A 解析：da=AE=bc=P，则球0的体积等于3，则此长方体为正方体,、B、C、D, DA平面ABCMCD长即为外接球的直径,E利用直角三角形解出CD=3 .故球O的体积2、构造长方体例9.已知点A、B、C；、D在同一个球面上AB 平面BCD,BC DC ,若AB 6,AC=2 J13,AD=8贝Ay球的体积是解析：构造下面的长方体，于是三.寻求轴截面圆半径法AD为球的直径（如图5）图4例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都

6、为A积为都在同一球面上，则此球的解球心o必在SO所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,迈 占 S、A B、C、D7八、外接A图3 BC圆的半径就是外接球的半径 J B .由 SA SC <2, AC 2，得在 ASC中,ASC是以AC为斜边的RtSA2 SCAC2DA2C 1是外接圆的半径，也是外接球的半径五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为）125125125A. 12B.9C.6D. 3125解 点。到四面体的四个顶点 A B、C、D的距离相等,即点0为四面体的

7、外接球的球心,54 3R OAV球R2.故31256【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，且匸二一，丹=5 |,氏二辰，”"0,求球的体积。解：于+血、疔所以知ACH所以恋丄氏R=-AC=5 取斜边的中点°，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为1.（陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的) 12三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A 麵4答案 B 2.直三棱柱ABC AB。的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于。解:在 ABC中AB AC 2 , BAC 120 ,可

8、得BC 2、3 ,由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O,在RT OBO中，易得球半径R . 5，故此球的表面积为4 R2203 正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为，贝V正 三棱柱的体积为答案84.表面积为2、,3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由2.3 知,a5.已知正方体外接球的体积是B.C.4一23D.1，则此球的直径为2，故选Ao32 ，那么正方体的棱长等于（3答案D6. (2006山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为A 1 : J3

9、答案 C7.( 2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为 .8答案38. （2007天津理12） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 答案 14 n9. （2007全国U理15） 个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为2cm答案 210. （2006辽宁）如图，半棱锥P ABCDEF，贝V此正锥的侧面积是答案6.7径为2的半球内有一内接正六六棱11.（辽宁省抚顺一中 2009学期第一次月棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个考）球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是答案 . 212. （2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. 3B. 2C. 16D.以上都不对3答案C13. （吉林省吉林市2008届上期末）设正方体的棱长为，贝V它的外接球的表面积为（）84A. 8 B . 2n C . 4nD.-33答案C1 . （