2021届贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试(一)数学(理)试题(解析版)

1、努力的你，未來可期!2021届贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试（一）数学（理）试题一、单选题1. 已知集合A = xlx（x-4）0, B = xeNx<3t 则AB=（）A. 0,l,2B. 1,2C. 1,2,3D. 0,1,2,3【答案】A【解析】先由一元二次不等式的解法，化简集合AB,再由交集的槪念，即可得岀结 果.【详解】因为A = x0x<4t B = 0丄2,所以AnB = 0,1,2.故选：A.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.2. 在复平面内，复数C = /（1-0对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

2、四象限【答案】A【解析】化简复数z = l+/,再根据复数的几何意义，即可得到答案；【详解】z = 1+i,z对应的点为（1,1）,点位于第一象限，故选：A.【点睹】本题考査复数的几何意义，考査对概念的理解，属于基础题.3. 设 </ = 2 3 , "iog2, C = O42,则 J b C 的大小关系是（）3A a >h> cB. b>a> cC. a>c>bD. c>a>b【答案】C【解析】根据指数与对数函数的单调性，分别判立a，b. C大小，即可得出结果【详解】 因为函数V = Iog2 X在(0,+S)上单调递增，且2

3、<3,所以 Iog2 2 < Iog2 3 , Eip 1 < Iog2 3 ,所以“>1,因为函数y = IOgLX在(0,F)上单调递减，且2>1,3所以Iog1 2<log1 I = Oj 即b<o,33因为函数y = 0.4v在R上单调递减，且2>0,所以OVO.42 <0.4° = 1，即Ovcvl,所以a > c > b,故选：C.【点睛】本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的W=()(开始) =11 S = 6S = Skk

4、= k+/输出?/C结束JA. 5B. 3C. 6D. 4【答案】A【解析】执行程序框图，依此写岀每次循环时的匕s的值并判断，直到当s<o时，退出循环，输岀R的值.【详解】第一次循环：S = 6-l = 5, k = l + l = 2, S>0,不满足SVO执行循环： 第二次循环：S = 5 2 = 3, k = 2 + l = 3, S>0,不满足SVo执行循环：第三次循环：S = 33 = 0, R=3+l=4, S = O,不满足SVo执行循环：第四次循环：S = O-4 = 7, k=4+l = 5, SvO,退出循环，此时输出k = 5. 故选:A【点睛】本题主要

5、考查直到型循环结构的讣算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图 给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.5. 设为平面，mt 为两条直线，若加丄,则“曲丄”是SUCt”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分性和必要性的左义，结合线而垂直的性质进行判断即可【详解】当加丄Q时，如果加丄"，不一定能推岀"U<x,因为直线"可以在平而外，当7丄G时，如果"U(X,根拯线而垂直的性质一定能推出加丄川，所以若加丄 则“加丄”是U Ct “的必要不充分条件.故选:C【点睛】本

6、题考査了必要不充分条件的判断，考査了线而垂直的性质，考査了推理论证能力yl6. 若X、满足约束条件y2x-l,则z = 3x-y的最大值为() + y5A. 2B. 3C. 11D. 13【答案】C【解析】化直线方程为斜截式得y = 3-z,作岀不等式组所表示的可行域，平移直线y = 3-z,找岀使得该直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即 可得解.【详解】化目标函数为直线的斜截式方程得>' = 3-v-z,作岀不等式组所表示的可行域如下图所 示：平移直线y = 3-s当该直线经过可行域的顶点人时，直线y = 3x-z在y轴上的截距最小，此时Z取最大值，即ZmaX

7、 =3x4-1 = 11.故选：C.【点睛】 本题考査线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应 用，属于基础题7.函数y = sinx+3cosx的图象向右平移斗个单位长度得到函数/'的图象，则下列说法不正确的是（）B.函数门龙）的图象关于直线X =对D.函数/（A-）在上递增O OA.函数/（X）的最小正周期2；T称C.函数/（X）的图象关于总,0 对称【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简函数解析式再根据平移法则可得到函数/（x）的解析 式，即可判断各选项的真假.【详解】Z 龙、因为 > = sinX + >3COSx = 2Sin x +

8、- 9 所以(x2兀 L =2Sin X- I 3丿(3 J/(x) = 2Sin(5,即可知函数/(x)的最小正周期2兀，U/ C -r A正确：当 =-时，J三=2Sin6O 2 = 2,所以函数/(x)的图象关于直线X =2 6对称，B正确：当 = 时，/ j = 0,所以函数/何的图象关于(T，oJ对称，C正确；因为/ I= 2 sin = 2 , / () = 3 <2 = J +,所以 D 错误.故选：D.【点睛】 本题主要考查辅助角公式和平移法则的应用，以及函数y = Asin(oj+)的性质应用,熟记公式和基本性质是解题的关键，属于基础题.&在区间卜2, 2随机取

9、一个数 则事件“= Pgo)x + lx>0)精品概率为()D7 5A B.-8 8【答案】D2v«0)1【解析】根据已知条件，求事件“y = f J I，且$日?，2”发生时X的取值范 x + l(x>0)2囤，代入几何概型计算公式，即可求出答案.【详解】2v(0)x + l(x>0)且 >'p2 ”由题可知，该分段函数是一个增函数， ye,2,此时-l, 1,I-(T)1所以该事件发生的概率P = -=- 故选：D.【点睛】本题主要考查几何概型的计算和分段函数的值域，是综合考查类题目.9. 在“ABC中.a,b.c分别为内角 A.B.C 的对边，若

10、 JJSinC = SinA+ sin B ,3cosC = -,且S,m=4,则C=()A.还B. 4C.迹D. 533【答案】B【解析】由三角函数的基本关系式和乂八处=4,求得Gb = I0,再由正弦左理，得到G = o +，根据余弦圧理，列岀方程，即可求解.【详解】因为COSC =-,则 C (O5-),所以SinC = JI-COS' C =,5251 14又因为SAMe =4,即一absinC = -ab×- = 4 9 解得ab = 10 ,2 25又由JJSin C = Sin A + Sin B ,根据正弦定理,可得JJC = a+b，由余弦定理，可得c2=a

11、2+b2-2abcosC = a2+b2-2abXE = ( + 彷尸一等ah = 3c2 -32 , 整理得C2 =16,即c = 4故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦左理、余弦泄理和三角形的而积公式的应用，其中在解有关三角形 的题目时，要抓住题设条件和利用某个左理的信息，合理应用正弦泄理和余弦左理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10. 已知定义域为R的函数/(X)满足/() = -(x), f(x+2) = -f(x)t且当0<xlRt, /(x) = 2-log5x,则/(47)=()A. -1B.2C. 0D. 1【答案】B【解析】根据/() = -&

12、gt; /(+2) = -(x),可知该函数的周期为4,然后再结合周期性、奇偶性将所求的函数值转化为已知区间上的函数值求解.【详解】因为/(-X) =-/(x), f(x+2) = -f(x)f/(+4) = -(÷2) = (x),所以/(x)是周期为4的奇函数.所以/(47) = /(-1) = -/ (1) =-2.故选：B.【点睛】本题考査函数的奇偶性、周期性等性质，以及学生运用转化思想解题的能力和运算能 力.属于基础题.11.在三棱柱BC-AlCi. ½ 丄面ABCt ZBAC =芈，AA1 =4,AB = AC = 2 9则三棱柱ABC-AlBiCi的外接球的表

13、面积为()A. 32B. 48 龙C. 64;TD. 72r【答案】C【解析】利用余弦左理可求得BC,再根据正弦怎理可求得ABC外接圆半径厂：由三 棱柱特点可知外接球半径R = ”2+(*AAj ,求得R后代入球的表面积公式即可得 到结果【详解】 . AB = AC = 2>j3 H ZBAC = BC2 = AB2 + AC2 一 2AB ACcos- = 36 3BC = 6BC由正弦立理可得MBC外接圆半径:2sinZ%C 2si3.三棱柱ABC-ABe的外接球半径:R = Jr2 + IAA1 =12 + 4=4二外接球表而积：S = 4龙R' = 64r本题正确选项：C

14、【点睛】 本题考査多而体外接球表而积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，从而利 用底而三角形外接圆半径和三棱柱的高，通过勾股宦理求得外接球半径.12.已知双曲线E的左、右焦点分别为FpF2,左.右顶点分别为M,N点P在E的 渐近线上，PFi PK = Ot ZMPN =彳，则E的离心率为()A.亜B. C. -D. 13333【答案】B【解析】如图所示，不妨设P是渐近线在第一象限上的点，根据WfNl = JPN,可 得Gb的关系，再代入离心率公式，即可得答案；【详解】不妨设P是渐近线在第一象限上的点，因为/¥；戶用=O,所以ZFlPF2 = 90°,IPq = Io

15、 = C.又P在渐近线y 厶上，所以可得P点的坐标是(d"),所以PN丄片F,. a在直角三角形PNM中，乙MPN = J3b2所以IMM = JPN,即2 = ¾,f =蔚.【点睛】本题考査双曲线离心率求解、渐近线的槪念，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力二.填空题13.已知丽= (2,3), AC = (-1,/7/),若而丄茕，则实数川的值为【答案】5【解析】先根据向量的减法法则汁算荒，再根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】 解：由题知 BC = AC-AB = (-3.m-3)9 又因为莊丄BC所以BBC=-6+3(-3) = 0,

16、解得:, = 5故答案为：5.【点睛】本题考査向量的减法运算和向量垂直的坐标表示，是基础题.14.如图，网格纸上小正方形的边长为J粗实线画岀的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3 + ,则d的值为【答案】+【解析】由三视图，还原出原几何体，然后计算表面积.【详解】由三视图知原几何体是直三棱柱，如图BC-A'B'C,底而是等腰直角三角形，两个侧而是正方形，AB = BC = BB, = 3a, AC = 3迈a、表面积为2x(3)2+3dx3jL + 2x丄x(3g)2=3 + J,解得a = -.23故答案为：,【点睛】 本题考査三视图，考查由三视图求几何体的表而积，解题

17、关键是由三视图还原岀原几何 体，属于基础题.15.周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬 至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子 长为.【答案】15.5尺.【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长.【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰.春分、淸明、谷雨.立夏、小满、 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列©, 冬至、立春.春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺,aA + a4

18、+ a1 = 3«I + 9d = 37.5 ar =q +1 Id =4.5冬至的日影子长为15.5尺故答案为：15.5尺.【点睹】本题考査等差数列的首项的求法、等差数列的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想.考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于基础题16.设/(x),g(Q(g(X)HO)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当Xeo时,f()f(x)g(x)-(x)g'(x)v,且/(-2)=0,则不等式七石>°的解集为【答案】(Y>,-2)u(0,2)f (X)【解析】构造函数h() = T,由已知可得XVo时，r()v,从而可得函数g()在 g

19、()(Yo,0)单调递减，又由已知可得函数力(切为奇函数，故可得(-2) = - (2) =0,且在(0,+oo)单调递减，结合图象可求.【详解】.(X)和g(x),(g(x)H0)分别是泄义在R上的奇函数和偶函数.'.f(-) = -f() , g(-x) = g(x)努力的你,未来可期!当 XVo 时，厂)g() 一 f(kf() < 0当XCO时，【/(X)7精品令心筒,则心在2。)上单调递减/. A(X)为奇函数,根据奇函数的性质可得函数2(x)在(0.+oo)单调递增，V/(-2) = -/ (2) =0, (2) = 0,.(-2) = -A(2) =0力(%)图象如

20、图,由图可知,/心)=学 > 0 的范 Il 为(YQ 22 (0,2)g(兀)故答案为：(8, 2) 3 (0,2)f (X) 本题考査了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数加X)=厶一，g(x)并根据已知求解岀该函数的性质是解答本题的关键,体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系，属于综合题.三.解答题17.已知向量 = (J5 SinX,cosx), b =(COSX,cos x),函数 f(x) = 2db-.(1)求/(x)的最小正周期；努力的你，未來可期!(2)当X 韦,弓时，若/(x) = l,求X的值.【答案】(1)兀；(2) I【解析】(I

21、)首先根据向呈:数量积的坐标表示函数/(A),然后对函数进行降幕,化简为 /(x) = 2Sinl 2x +卡,求岀周期；(2)由已知条件，先求2x + -的范用，然后求在范困内满足条件的X值. 6【详解】b =(COS xy cos x),解：(1) = (VJSinX,cosx)二 N b = 3 sin xcosx+ cos2 X f(x) = 2ab- = 2-3sinxcosx +2cos2x-1 =>3sin 2x + cos2x = 2sin 2x + -6丿即 f(x) = 2 Sin 2x + -(x)的最小正周期是兀.(2)由/(x) = h 得Sin2x + -6丿

22、2龙+ ” =竺3【点睛】本题考査数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考査三角函数的周期和已知函数值 求自变量问题，意在考査学生对这些知识的理解掌握水平和讣算求解能力，属于基础题.18. 高新区某高中德育处为了调査学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了 “一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了 12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下:成绩52637872 6 6 682 8934(1)写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上精品的人数;(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记§表示测试成绩在80分以上的人数,求

23、纟的分布列和数学期望【答案】(1)200； (2)见解析【解析】分析：(1)根据茎叶图中的数据可得中位数，然后根据样本中70分以上的成 绩所占的比例可得总体中70分以上的人数.(2)根据题总得到§的可能取值，分别 求岀对应的槪率得到分布列，然后可得期望.Q 2详解：(I)由茎叶图可得中位数为76,样本中70分以上的所占比例为2故可估计该校测试成绩在70分以上的约为3OOO×- = 2OOO人.(2由题意可得g的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.畑。r'pg)烤煤數(F)烤等境=3)=¾k=C4C0 1§的分别列为:01234P17083518

24、358351701Q1 QQ1E() = 0×-+ 1×-+ 2×-+ 3×-+ 4×-= 2.7035353570点睛：本题考査茎叶图的应用以及用样本估计总体，同时考查分布列、期望的求法，主要考查学生应用所学知识解决实际问题的能力和讣算能力，属中等题.19. 如图甲，将直角边长为的等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折.如图乙 使二面角B-AD-C的大小为翻折后BC的中点为M精品甲乙（1）求证：BC丄平面ADM ；（2）求二面角D-AB C的余弦值. 【答案】（1）证明见解析：（2） 旦.7【解析】（1）证明DM丄BC, AM丄BC即可；

25、（2）建立空间直角坐标系，分别算出平而他和平面ABC的法向量即可【详解】（1）折叠前AB = AC, AD是斜边上的髙，.D是BC的中点，：BD = CD,又因为折叠后M是BC的中点，/. DM 丄BC,折叠后 AB = ACt：.AM 丄BC , AMCDM=M ,. BC丄平而ADM ；（2）建立如图空间直角坐标系，不妨设AD = 1,易知二而角B-AD-C的T而角是ZEDC,则 BD = BC = CD = AD='A（0,0,1）, B,0,C（O丄0）, £（0,0,0）,努力的你，未來可期!设平而ABD的一个法向虽:为q =(x,y,z),得 q =(1,_75,

26、0),旦+0'令E% + - y = O2 2'设平而ABC的一个法向量=(XZ)，y-Z = O得弘=3精品所以二而角D-AB-C的余弦值是*77【点睛】本题主要考查线而垂直的判立泄理，二而角的向疑求法，还考查了转化化归的思想和逻 辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20. 已知椭圆C： t + 2L = 1(6>,>O)点的离心率为竺，且经过点A(f ,£)(1) 求C的方程；(2) 若不过坐标原点的直线/与椭圆C相交于点M,N两点,且满足OM+ON = OA, 求AON面积最大时直线/的方程.【答案】(1) + y2=l: (2) y = _丄

27、77;-.333【解析】(1)由离心率及点的坐标列岀关于的方程组，解之可得椭圆方程；(2)由题总可知，直线MV的斜率显然存在，设直线MN的方程为y = kx+m(m 0),N(X2,力)，直线方程代入椭圆方程整理为一元二次方程，zl>0得一不等关系，应用韦达泄理得X,+2,12,并计算出y1 + y2,向量的坐标运算，条件OM +ON =AOA用坐标表示后，可求得k=-,代入判别式可求得加的取值范I詞, 然后求岀zMON面积为川的函数，用基本不等式求得最大值及川值，得出直线方程.【详解】（1）由题意得C _ >/6a 3Cr =Ir +c2(=3=1所以椭圆C的方程为二+ b=i;

28、(2)由题意可知，直线MN的斜率显然存在，设直线MN的方程为y = kx+m(mO), M(pyJ, 2V(x2,y2),* r _由 < 刁"+ >得(3/ +x2 +6krx+3m2 一3 = 0.y = kx + m = 36k2m 一4(3疋 +l)(¼z2-3)= 12(3疋 + l-w2)>0(T)所以因为OM+ON = OA所以所以*代入得一琴g羊且心,S敝W=IH5(x+2)2-4V2当且仅当3 即心当时上式取等号，此时符合题意, 所以直线MN的方程为>- = -Lv±【点睛】本题考査求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题

29、，解题方法是设而不求的思想方 法，应用韦达左理求解是关键.21 已知函数/() = K-x-3( w/?)(1) 若函数/(X)在(1, /)处的切线与直线r=0平行，求实数的值；(2) 当=2, R为整数，且当Ql时，(x-k)f(x)+2x+l> 0,求R的最大值.【答案】(1)c=e-(2) 2【解析】(1)先求导，再由f(l) = 0- = 1即可得解:(2)当 c = 2,且当 x>l 时，(X-R)(Q-2) + 2x + l> O 等价于当 >l 时,2x + 2再构造函数gW = x +2 V +1戸,心)，利用导数求解即可.【详解】 解：(1)由 f(

30、x) = ex -cx-3 t 则 f (x) = ex - a ,又函数U)在(1,人1)处的切线与直线X-3-0平行，则 f'() = e-a = ,所以a = e- ；(2)当a = 2f且当x>l时，匕一幻“八一 2) + 2x + l> O等价于I (2x + 当x>l 时，k < X + -_-I e - 2 Jmin2 + l.K(g-2x-3)令g(x) = x+ x> 1),则 g (X) = ,(x>l),e -2F -2)再令II(X) = ex -Ix-3(X > 1),则hf(x) = ex -2>0,所以，心)

31、在(l,+oo)上单调递增，且(l)<0,(2)>0, 所以，/心)在(1, 2)上有唯一的零点.设该零点为厂 则(1.2)t且戶=2x0+3t 努力的你，未來可期!当 XW(I心)时,h(x) < O,即 gf(x)<Oi 当 x(a,+oo )时 t h(x)>O9 即 g,(x)>09所以，g(x)在(1,)单调递减，在(AO,2)单调递增， 所以，gCOmin =g(X) = X+牛冷=忑+1，八_ 2而 e(l,2),故 x0+l(2,3)且 RVg(A:。)， 又k为整数,所以R的最大值为2.【点睛】 本题考査了导数的几何意义，重点考査了导数的综

32、合应用，属中档题.222.在直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为、L U为参数)，在极坐 y = 5÷z2标系中，圆C的方程为p = 2>5sin.(1)求圆C的普通方程; 设圆C与宜线/交于从B两点，若点P的坐标为(3,5),求PA + PBCr = X2 + V2FC 可将圆C的极QSin 8 = y【答案】(1)x2+(y-5)-=5： (2) 32【解析】(1)在圆C的极坐标方程两边同时乘以P ,利用坐标方程转换为普通方程:(2)将直线/的参数方程代入圆C的普通方程，可得岀关于r的二次方程，利用列岀韦达左理，结合直线参数方程的几何意义可求得PA+PB的值.【详解】(1

33、)由 Q = 2J5Sine 得”=2py5sin ,由 <z> O 2=牙-+ )r7?L可 Wx2 + y2-25y = 0,QSine = y因此，圆C的普通方程为X2+(V-=5精品(2)将/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3-f即r-32r + 4 = 0 由于A = (3'-4x4 = 2>0 ,r + / = 3>/2故可设G是上述方程的两实根，所以2，M = 4又直线/过点P(3,5),故由上式及7的几何意义得：M÷ P = 1÷f2 = r1+r2=32.【点睛】本题考査曲线的极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考査了利用直线参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23. 已知函数/(x)=x-m+2x-l,w R(1) 当加=时，解不等式<2.(2) 若不等式/(a-)<3-对任意Xe0,1恒成立，求实数川的取值范围.41【答案】(1)