初一数学乘法公式、因式分解拓展题

1、初一数学乘法公式、因式分解拓展题1.已知(x-2015) 2+ (x-2017) 2=34,则(x- 2016) 2 的值是()A. 4B. 8C. 12 D. 162 .已知：a=2014x+2015, b=2014x+2016, c=2014x+2017，贝U a2+b2+c2 - ab- ac -bc的值是()A. 0B. 1C. 2D . 33.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲 与乙相乘为x2- 4,乙与丙相乘为x2+15x- 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一 个式子相同？(A . 2x+194 .若 x24)B. 2x- 19 C. 2x+15k是

2、一个完全平方式,D. 2x- 15则k等于()m2C. m2D. m5. n是整数，式子丄1-( - 1) nA.是0 B.总是奇数C.总是偶数D.可能是奇数也可能是偶数已知 a+b=3, ab=- 2，贝U a2+b2 的值是.分解因式：a3 - 4a?b+4ab2=.分解因式：x3 - x/=.如果(X+p) (x2+7)的展开式中不含有x2项，则p=.10.已知 a+b=8, a2b2=4,A. m2 B.16(n2- 1)计算的结果()6.7.8.9.-ab=11 .观察下列各式的规律：(a- b)(a- b)(a- b)可得到(a+b) =a - b2 (a2+ab+b2) =a3-

3、 (a3+a2b+ab2+b3) a - b) (ab3=a4 - b42016+a2015b+-+ab2015+b2016)=12 .我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律， 称之为 杨辉三角”这 个三角形给出了( a+b) n (n=1, 2, 3, 4)的展开式的系数规律(按a的次数 由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出(x-手)2016展开式中含x2014项的系数是.(a+b)3=aJ+3a2b+3aba+b)i=ai+4a3t)4-&a tr+J-ab+b11 11 2 113 3 114 6 413 .观察下列等式：1+2+3+4+n =-n ( n+1);1+3+6+1

4、0+(n+1) =n (n+1) (n+2)；(n+2)(n+1) (n +2) (n +3);1+4+10+20+-+丄n (n+1)6则有：1+5+15+35+丄 n24(n+1) (n +2) (n+3)=14.如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 a b c15在一次数学课上，李老师对大家说：你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果.”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以 25； 第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数.(1) 若小明同学心里想的是数9请帮他计算出最后结果.(

5、9+1) 2-( 9- 1) 2 X 25- 9(2) 老师说：同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操 作，得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数 是a (a 0).请你帮小明完成这个验证过程.16.若我们规定三角二”表示为：abc；方框表示为:(xm+yn).例如:=1 X 19X 3-( 24+31) =3.请根据这个规定解答下列问k=;(3)解方程:=6+7.17把一张正方形桌子改成长方形，使长比原边长增加2米，宽比原边长短1米设原桌面边长为x米(xv 1.5)，问改变后的桌子面积比原正方形桌子的面 积是增加了还是减少了？说明理由.18. 阅

6、读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列， 如图1的杨辉三角”就是其中的一 例.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的详解九章算法艺术中，揖 录了如图1所示的三角形数表，称之为 开方作法本源”图，经观察研究发现，在 两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它 上方两数之和等等.a的1,1, 3,如图2,某同学发现杨辉三角给出了( a+b) n (n为正整数)的展开式(按 次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数2, 1,恰好对应(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数3, 1,恰好对应着(a+b) 3=

7、a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等.(1) 通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；(阅读材料中的特点除 外)(2) 计算:993+3X 992+3X 99+1;(3) 请你直接写出(a+b) 4的展开式.19. 如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为 麻辣数”女口： 2=13-( - 1) 3, 26=33- 13，所以2、26均为 麻辣数”【立方差公式a3 - b3= (a- b) (a2+ab+b2)】(1) 请判断98和169是否为 麻辣数”并说明理由；(2) 在小组合作学习中，小明提出新问题： 求出在不超过2016的自然数中，

8、所有的 麻辣数之和为多少？ ”小组的成员胡图图略加思索后说： 这个难不倒图 图，我们知道奇数可以用2k+1表示，再结合立方差公式 ”，请你顺着胡图图 的思路，写出完整的求解过程.20 .若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为智慧数”女口： 3=22 - 12, 7=42 - 32, 8=32 - 12，因此 3, 7, 8 都是 智慧数”(1) 18 智慧数” 2017 智慧数”(填是”或不是”；(2) 除1外的正奇数一定是 智慧数”吗？说明理由.21 在一次数学课上，李老师对大家说：你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果.”操作步骤女吓：第一歩

9、三计算这个数与1的和的平方，減去枚个数21的差的平方丿第二步：把第一歩得到的数乘以2习第三步=把第二步得到的数除以你想的这个数.(1) 若小明同学心里想的是数9,请帮他计算出最后结果：(9+1) 2-( 9- 1) 2 X 25- 9(2) 老师说：同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操 作，得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数 是a (a0),请你帮小明完成这个验证过程.22.阅读与计算：对于任意实数a，b，规定运算的运算过程为：ab=a2+ab.根 据运算符号的意义，解答下列问题.(1) 计算(x- 1) (x+1 )；(2) 当 m ( m

10、+2) = (m+2) m 时，求 m 的值.23 .已知多项式 A= (x+2) 2+x (1 - x)- 9(1)化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检査 小明同学的解题过程.在标出的几项中出现错误的是 ;正确的解答 过程为 .A的值.”小明(2)小亮说：只要给出x2- 2x+l的合理的值，即可求出多项式给出x2- 2x+l值为4,请你求出此时A的值.解:虫=(x+2 J fi x)-g=了却甘兰0営= 3x-524. (1)因式分解:(x- y) (3x- y) +2x (3x- y);(2)设y=kx，是否存在实数k,使得上式的化简结果为x2 ?求出所有满足条件 的k的值.

11、若不能，请说明理由.25. 十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把X项系数a分解成两个因数ai, a2的积，即a=ai?a2,把y2项系数c分解成两个因数ci,c2的积，即c=ci?c2,并使ai?c2+a2?ci 正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2(aix+ciy)(a2X+C2y). 例：分解因式：x2- 2xy- 8y2.解：如图 1,其中 1=1 X 1，- 8= (- 4)X 2,而-2=1 X 2+1X( - 4). x2 - 2xy- 8y2= (x- 4y) (x+2y)而

12、对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x, y的二元二次式也可以用十字相乘法来分 解，如图2,将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分 解成jk乘积作为第三列，如果 mq+np=b, pk+qj=e, mk+nj=d，即第1, 2列、第 2, 3列和第1, 3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j) (nx+qy+k);例：分解因式：x2+2xy - 3y2+3x+y+2解：如图 3,其中 1=1X 1,- 3= (- 1)X 3, 2=1 X 2;而 2=1 X 3+1X( - 1), 1= (- 1)X 2+3 X 1, 3=1 X 2+1 X 1 ；

13、 x2+2xy- 3y2+3x+y+2= (x- y+1) (x+3y+2)请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1) 分解因式： 6- 17xy+12y2= 2 - xy- 6y2+2x+17y- 12= x2 - xy - 6y2+2x - 6y=(2) 若关于x, y的二元二次式x2+7xy- 18-5x+my- 24可以分解成两个一次26. 通过对因式分解的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式 分解.如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别 为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2= (a+b) (a+2b)的分 解结果吗？

14、请在画出图形.27. 把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数， 叫做第一次运 算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数， 叫做第二 次运算，如此重复下去，若最终结果为1,我们把具有这种特征的自然数称为 快 乐数”例如：323+22=1312+32=1012+02=1,70 72+02=4942+92=9792+72=13012+32+02=1012+02=1,所以32和70都是 快乐数”(1) 写出最小的两位 快乐数”判断19是不是 快乐数”请证明任意一个 快 乐数”经过若干次运算后都不可能得到 4;(2) 若一个三位 快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三

15、位 快乐数”与它的 各位上的数字相加所得的和被 8除余数是2,求出这个 快乐数”28. 村料一：我们可以将任意三位数记为 卞：，(其中a、b、c分别表示该数的百 位数字，十位数字和个位数字，且 a0).显然命c=100a+10b+c.材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由 123可以产生出132，213、231、312、321这5 个新原始数，将这6个数相加，得到的和1332称为由原始数123生成的终止数. 问题：(1) 分别求出由下列两个原始数生成的终止数：247，638;(2) 若由一个原始数生成的终止数为1110,求满足条件的所有原始数.29. 大家一定熟知杨辉三角(I ),观察下列等式(n )(e?+= 口十】加占 + 0：根据前面各式规律，则(a+b) 5=_ .30. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一 个数学等式.例如图1可以得到(a+2b) (a+b) =aF+3ab+2b2.请解答下列问题：(1