数列通项公式常见求法

1、数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一 .公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列a

2、n满足a2=0, a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；解： （ I ）设等差数列an 的公差为d,由已知条件可得a1 d 0, 2a1 12d10,解得 1 d 1.故数列an 的通项公式为an2 n.2、等比数列公式例 2.（ 2011 重庆理）设an 是公比为正数的等比数列，a1 2， a3 a2 4。（I）求an的通项公式2解：I）设q为等比数列an的公比，则由ai2, %a2 4得2q 2q 4,2即 q q 20，解得 q 2或 q 1 （舍去） ，因此 q 2.n1 n所以an 的通项为an 2 2n 1 2n（n N*）.3、通用公式若已知数列的前n 项和Sn 的表达式

3、，求数列an 的通项an 可用公式Snn 1an求解。一般先求出 a1=S1,若计算出的an中当n=1适合时可以n Sn Sn 1 n 2合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。2例 3、已知数列an 的前n 项和sn n2 1 ，求 an 的通项公式。解：a1s10 ，当 n 2 时由于ai不适合于此等式0。：. an2n(n 1)(n 2)二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即:an和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法一般地，对于型如 an 1 an 较好求，我们可以采用此方法来求f(n)类的通项公式，且f(1)f(2)f (n)的和比即：an (

4、an an 1) (an 1an 2an。)Lai) ai (n 2)；例4、(2011四川理8)数列an的首项为3,bn为等差数列且bn an 1 an(n N*).若则b32,b1012a8A. 0B. 3C. 8D. 11解：由已知知bn2n 8,anan 2n8,由叠加法例5、已知数列an满足a1an求数列 an的通项公式。解：(1)由题知：an 1an1 n(n2、叠乘法般地对于形如“已知a1, JeLa_L=f (n)an乘法求数列的通项公式。即:ananan 1an 1an 21)(f(n)a2a1例6、在数列 an 中,a1 =1,(n+1) an解：由(n+1) an 1 =

5、nan得an 1ana2 a3a4an为可求积的数列)”的形式可通过叠aNn 2)；an ,求an的表达式。a1a1 a23、构造法a3an 12-1所以an - n当数列前一项和后一项即 an和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列)具体有以下几种常见方法。(1)、待定系数法、一般地对于 an =kan- 1 +m(k、m为常数)型，可化为的形式an +入=k( an新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求入，然后再求例7、(2011广东理)设b>0,数列an满足a1=b,an

6、nban 1an i2n 2(n1 +入).重an °2)(1)求数列an的通项公式;后刀anban 1/曰n解：-u,得一nan 1 2(n 1)anan 12(n 1)ban 1an 1设bn,则bn an1b(n2),当b 2时,bn是以11为公差的等差数列,2即bn12 (n 1) an 22时，设bn则bnbn 11),人 2令(1)bbn2(bn 1 b1 r)(n2)，,1知 bn2-是等比数列, bbnb ± (2)n A n 2 b b 2 b(bibn厂，an)(少1，又6bnbn(2 b)2nbn.、对于an 1 pan f (n)(其中p为常数)这种

7、形式，一般我们讨论两种情况:i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为an 1 Aan Bnan 11n 2 A an1 (n 1)2的形式来求通项。例8.设数列an中，a11,an 1 3an 2n 1,求an的通项公式。解：设 an 1 A(n 1) B3(an An B)与原式比较系数得:2A 2 A 12B A 1即 an 1 (n 1) 13(an n 1)令 bn an n 1,贝1Jbn+1=3bn且 b1=a1+1+1=3ii、当f（n）为指数哥时，即数列递推关系为an 1 Aan B Cn （A、日C为常数，）型，可化为an 1 Cn 1 = A(anC n）的形式.构

8、造出一个新的等比数列,然后再求an例9. （2003年全国高考题）设ao为常数，且 an 3n1 2an 1( n N*),证明：又任意n> 1, an13n (51) 2n(1)n 2n ao解：证明：设an t 3n2(an1t 3n 1)用 an 3n 1 2an1代入可得t3n是公比为2 ,首项为ai3的等比数歹U,5an325(1 2ao3n 1 ,7) ( 2)( n5*N ),3n ( 即：an 3(n 1 n1)25(1)n 2n ao当然对于an 1 Aan B Cn这种形式递推关系求an时，当A=C时,我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数

9、列,来求 ano例10、（2007天津理）在数列an中，a1 2, an1 an(2)2n(n N ),其（I）求数列an的通项公式;解：由an 1an(2n /)2 (nN ),0,ann所以a为等差数列,其公差为0,故且nn 1 ,所以数列an的通项公式为an(n1) n 2n（2）、倒数法般地形如anan 1； T、an an kan 1 b1 an 1an等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。an 1,例11.已知数列 an满足：ai l,an ,求 an的通项公式。3an i 1.,1 3an 1 11解：原式两边取倒数得：- 3 -an an 1an 1

10、r1即an 3n 21例12、(北京龙门育才学校 2011届局三上学期第三次月考)在数列 an中，a1 -,并且3对任意n N ,n 2都有an an 1an 1 an成立，令bn1(n N ) . an(I )求数列 bn的通项公式；， 一， 1解：(1)当 n=1 时，b1 一 3,当 n 2时,a1由 an an 1 an 1 an,等式两边取倒数得:11anan 11,所以 bnbn 1所以数列bn是首项为3,公差为1的等差数列,所以数列bn的通项公式为bnn 2(3)、对数法当数列an和an-1的递推关系涉及到高次时，形如： anp = mO-1q (其中m、P、q 为常数)等，我们

11、一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行 求解。例13、(2006山东)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1, 2, 3,(1)证明数列 lg(1 + an)是等比数列；2.解：(1)由已知 an 1 an 2an ,an 1 1,两边取对数得lg(1 an 1) 2lg(1 an),即 1g(1 an"2lg(1 an)lg(1 an)是公比为2的等比数列.例14、若数列 an中，a1 =3且an 1an2(n是正整数)，则它的通项公式是an =(2002年上海高考题).解 由题意知an >0,将an 1 an

12、2两边取对数得lg an 12lg an,即蚂a口 2,所lgann 12n 1以数列lg an是以lg a1 =lg 3为首项，公比为2的等比数列，lgan lg a1 2 lg3 ,on 1即 an 32 .(4)、特征方程法、一般地对于形如已知 ai mi,a2 m2,an+ 2=A an+1 +B cni (A、B是常数)的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程 当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q时，有：anc1pnc2qn,其中ci与c2由已知ai m1 ,a2 m2,确定。(ii)当方程有唯一的实

13、根p时，有an(c1nc2)pn,其中ci与c2由已知a1m1 ,a2m2,确定。法二：可构造成 an 2 x1an 1 x2(an 1 x1an),则an 1 x1an为等比数列，进而 求通项公式，这种方法过程较为繁杂。例15、已知a i =2, a 2=3, an 2 2an 1 an ,求通项公式。解法一：特征方程的根为 1,所以an = (ci n+c2)x inc1 c22由：得 G = c2 = 1,所以 an = n + 1。2c1 c2 3解法二：设 an 2 xi an i x2 (an i xian),可得 x i = x 2 = 1,于是an+i an 是 公比为1的等比

14、数列，an+i an = 1,所以an = n + 1。例16.已知数列an满足ai 2,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N ),求数列an的通项an。解：其特征方程为x2 3x 2 ,解得x1 1,x2 2,令an g in 5 2n,aG2c22/曰 °1n 1由，得 1 ,an 1 2n1.a2G4c23 c222例 17、(2009 陕西卷文)已知数列an满足，a1=i，a2 2,an+2=an an1,n N*.2令bn an i an,证明：bn是等比数列;(n)求an的通项公式。解：(1)证明：b1 a2当 n 2时，bn an 1所以bn是以1为首项,ai

15、 1,an 1 ananan21 ，一一为公比的等比数列211(anan 1)bn 1,22(2)解由(1)知 bn an 1当 n 2时，an a1 (a2当 n 1时，5 2( I)1 13 3 2所以 an 5 2( 1)n 1(n3 32本题也可以用特征方程来证明1、n 1an ( 2) ，a1)(a3 a2)L(an an1)1 a。*N )o，同学们不妨自己试试。11 ( 2)L(2)n2一 a a b、一般地形如：an 1 (a、b、c、d为常数)c an dax b2可得到相应的特征万程：x ，再将其变为cx2 (d a)x b 0,通过该方程的根cx d的情况来重新构造数列。

16、(i)如果方程cx2 (d a)x b 0有两个相异的实根，则有数列a一p是以包一p为an qa1 q首项，a一cp为公比的等比数列；a cq11(ii)如果万程cx2 (d a)x b 0有两个相同的实根， 则数列 是以为首an Pa1 P2c项，上J为公差的等差数列。a da,a2 b ,且对?黄足m n p qapaq(1 ap)(1 aq)例18、(2009江西理22)各项均为正数的数列an , a1的正整数m, n, p, q都有 一°n(1am)(1 an)1 .4 一(1)当a -, b 时，求通项an; 25解：(1)由 一am 曳得(1 am)(1 an)(1 ap

17、)(1 aq)an_也一 .将a1 l,a2 4代人化简得(1 4)(1 an)(1 a2)(1 an1)25ax bc构造方程 x - (a=2,b=1,c=1,d=2)化简彳导:x2=1解得x=1和-1.所以数列13为等比数列，1 an所以L31 an1 1an 13 1an11 an从而：n1 an13n 1，即 a3一13n, an3n 1可验证，an3n1 升 z 、3一1满足题设条件.3n1例19已知数列烝满足ai 24an 12 ,(n2an 112),求数列an的通项an解：其特征方程为x -2x 1化简得2x20 ,解得为1死 1 ,令an 11an 11由ai2,行 a24

18、,可得c5an 1ai 1ana11为公比的等比数歹I，3an 1an 1an3n ( 1)n3n ( 1)n、当题中给出的是Sn和an的关系时，我们一般通过作差法结合 an = Sn Sn 1这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到an和an+ 1的递推关系，或消掉 an得到Sn和Sn-1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。例20、(2007湖北理19)已知数列 an的前n项和为8，且满足：a1 a (a 0), an 1 rSn(n N*, r R,r 1).(I )求数列 an的通项公式;解：(I)由已知an 1 rSn,可得an 2 rSn 1,两式相减可得即 an 2 (r 1

19、)an 1,又a2 ra ra，所以r=0时，数列an为：a, 0,，0,； *当r 0,r1时，由已知a 0,所以an 0 (n N ),于是由 an 2 (r 1)an1,可得a r 1(n N ),an 1a2,a3,L ,an L成等比数列，当 n 2 时，an r(r 1)n 2a. ann 1,综上，数列an的通项公式为ann 2r(r 1) 2a,n 2 an的前n项和满足Sn1 ,且例21: （2007重庆理）已知各项均为正数的数列（1）求 an的通项公式;1斛：由 a1 S1 (a1 1)(a1 2),斛得 a1=1 或 a = 2,由假设 a1=S1>1,因此 a=2

20、。 6 一 一 1又由 an+1 = Sn+1- Sn= (an 11)(an 12)6住F an+1 - an-3 = 0 或j an+1 = -an因an>0,故an+1 = -an不成立，舍去。因此an+1- an-3=0。从而 an是公差为an=3n-2。1，-(an1)(an2),3,首项为2的等差数列，故an的通项为例22. （2009全国卷n理）设数列an的前n项和为Sn,已知 a11, Sn 14an（I ）设bn an 1 2an ,证明数列bn是等比数列（II ）求数列an的通项公式。解：（I）由a11,及 Sn1 4an 2,有 a a? 4a12, a?3al 2 5, b1a22 al 3由 Sn 1 4an2时，有&4%1得an 14an 4an 1, an 12an 2(an 2am)又Q bnan 12an,bn 2bn1bn是首项b13 ,公比为2的等比数歹U.(II )由(I )可得 bn an 1 2an3 2n 1 an 1an33 2? n