向量基础知识及应用

1、向 量 基 础 知 识 及 应 用基本知识：1 .向量加法的定义及向量加法法则(三角形法则、平行四边形法则)；2 .向量减法的定义及向量减法法则(三角形法则、平行四边形法则)；3 .实数与向量的积 入£.向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人，使得b =入a。-k * fc-T-4 .向量a和b的数量积：a b =| a | | b |cos6 ,其中日为a和b的夹角。向量b在a上的投影：ibicose,其中8为a和b的夹角f-9-a ± ba ' b =0I+i5 .向量的坐标表示：0A=xi+yj=(x, y)；若向量 a =

2、(x, y ),则 |a |=Jx2 +y2 ；若 pi(x1，yi)、P2(x2,y2),则PIP?= 8 -xi,y2 yi)| P1P2 |= . (x2 一 xi)2 - ( y2 - yi )26 .向量的坐标运算及重要结论：若a = ( xi, y)，b= (x2, y2),则。 a +b = % +x2,yi +y2 ）a -b =3-x2, yi y2 ）a 工a =。凶，必） a b = xix2 + y1y abu x1y2_x2y =0a _L bu xi x2 + yi y2 =0 cos 6=x»2 +丫。2（ 0为向量的夹角）.xi2 . V； , x；

3、- y2一 一PiP7 .点P分有向线段PP2所成的比的九：PiP =PP2 ,或九PP2P内分线段PiP2时，儿0；P外分线段PP2时，九0.8.定比分点坐标公式:x1? X2x 二；一）,yiy2y 二1 1中点坐标公式:xix2x 二yiy229 .三角形重心公式及推导(见课本例2):三角形重心公式：(% +X2 +X3y +y2 + y3)10 .图形平移：设F是坐标平面内的一个图形， 将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量a平移),平移公式:x'= x + h -或y'= y + k得到图形F',我们把这一过程叫做图形的平移。x' h 平移向

4、量 a = PP'= (h, k) y' -k应用：1.利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例 1 已知向量 OP,OP2,OP3 满足条件 OP +OP2 +OP3 =0, OP1 = OP2 = OP3 =1,求证：APP2P3是正三角形解：令 O 为坐标原点,可设 IP(cos01,sin01 )巴(8582发冶82 )P3(cos-,sin83)由 OP +OP2 =-OP3 , 即 cos -1, sin 1 i. cos2 ,sin ,2 二 - cos33 - sin 3 ,i cos91 +cos4 = -cos3 <sin91

5、+sin62 =sin日3 两式平方和为1 2 cos-1211 , cos(911一82 )= 一一，由此可知2与OF2的夹角为120°,同理可得 OR与OF3的夹角为120°, OP2与 的夹角为1200,这说明P,F2, F3三点均匀分部在一个单位圆上，所以P1P2P3为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设 A(2a,0 )B(0,2a ),则D(a,0 )C(0,a卜斗%的最小正角为1200,即OPOF?从而可求:AC =(-2a,a)BD =(a-2a ),cos

6、 =竺整-2a, a i i a, -2aAC BD% 5a . 5a-4a2 5a24.二-arccos52.利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知1 rrABC , AD 为中线，求证 AD2 = (AB2 + AC2 )2BC "2i2 2 J证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为X轴建立如图2直角坐标系，设 A(a,b)C(c,0 ), D.lc,0 ,则2AD2<2c-a i +<2)2(0 - b f = - - ac + a2 + b2,4- 2AB + AC但)。从而ADa)2+b2.f】42_22 _ C=a +b -ac +, 4一 2

7、AB + ACBCo 1 o -AD2 AB2 AC2 -22BC、2 2)3.利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例 4 已知点 O 是 AABC 内的一点，/AOB =150。，/BOC=900,设 oa =a,OB=b,OC=c,且 口=2,=3,试用a,和b表示c.解：以O为原点，OC, OB所在的直线为 x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.由 OA=2 , NAOx=1200,所以 A(2cos1200,2sin1200 )即A(-1,Q),易求 B(0,-1) C(3,0),设OA = %OB +A2OC,即(-1,J3 )= £1(0,-1 计九2(3, Q-1 =

8、 3九 2I ?3 =-11a - - 3b -c.3例5如图,OA = OB =1,OAfOB的夹角为 120°,OCTOA的夹角为 30°, OC = 5,用OAQB表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A1,0),由/COA =30°,所以 C(5cos30°,5sin30°，即C/5/3 5、I 2 2 '03=匹0；+区3方.4.利用向量的数量积解决两直线垂直问题 例6求证：三角形的三条高交于同一点分析如图，已知AABC中，由AD1BC, BE1AC,AD Q BE = H,要证明C

9、H-LAB,利用向量法证明 CH_LAB,只要证得CH AB = 0即可；证明中， 要充分利用好 AH Be =0 , BH ca =0这两个条件.证明：= AD-LBC, H 在 AD 上，AH BC =0 而 AH =cH -ca , (CH -ca) BC = 0 ,即CH BC -CA BC =0又丁 BH_lAC,BH =CHCB, BH Ac0 即(CH -CB) AC =0.CH AC-CB AC:0_-得：CH BC -CH aC=0,即 CH (BCAC)=0从而 CH BA=0, J.CH_LAB,，CH_LAB.5.利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的

10、距离，点的线的距离，点到面的距离, 线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离例7求平面内两点 A(x1, y1), B(x2, y2)间的距离公式分析已知点 A(x1, y1), B(x2, y2)求A, B两点间的距离| AB |,这时，我们就可以构造出向量AB ,那么AB=(x2 -不芈一必),而 |AB|=| AB|,根据向量模的公式得| AB |= J(x2 x1)2 + (y2 y1)2 ,从而求得平面内两点间的距离公式为| AB |=、；(x2 -xi)2 (y2 -y1)2解：设点 A(x1, y1), B(x2, y2), , AB = (x2x1 ,y2 - y1)二| AB

11、 |=J(x2 xi)2 证3)2，而 | AB |=| AB |22二点 A与点 Bn 间的距离为：| AB |= q(x2 x)+(y2yi)6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题例 8 证明：cos(ot P) = cos a cos P + sin a sin P分析如图，在单位圆上彳J取两点 A,B,以Ox为始边， 了“OA,OB为终边的角分别为 民ct ,设出A, B两点的坐标，取ss&mbK*二即得到OA,OB的坐标，则a P为向量OA,OB的夹角；利/.，吗,sin 用向量的夹角公式，即可得证.r a j ;证明：在单位圆 O上任取两点 A, B ,以O

12、x为始边，以、JOA,OB为终边的角分别为Pa ,则 A点坐标为十(cos :, sin ：), B 点坐标为(cos a ,sin a)；则向量 OA = (cos P, sin 口)，OB = (cosot ,sin a ),它们的夹角 为 ct 一 P ,| OAH OB | = 1, OA OB =cosa cosP + sin a sin P，由向量夹角公式得：OA OB二.：八一,cos(a -P)=；-=cosa cosP +sina sin 户，从而彳#证.|OA|OB|注：用同样的方法可证明 cos(二：；，：1) = cos： cosB-sin -： sin 一：7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题 22222例9证明柯西不等式(x1 + y1 ) (x2 +y2 )(x1x2 + y1y2)2证明：令a Kx.yjb一区坐)(1) 当5 = 0或b =0时，a b = x1x2+y1y2 = 0,结论显然成立; (2) 当a#0且b #0时，令e为a,b的夹角，则8W0产丁 a b =x1x2 +y1y2 =|a |b |cos日.又 |cos日 |<1二|5 b |35|b | (当且仅当5b时等号成立)22222, 一， ， x1*2 ,乙，一，(xi +y1)(x2 +丫2 )