勾股定理及其逆定理复习典型例题

1、勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、 b 的平方和等于斜边c的平方。 （即：a2+b2=c2）2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、 b、 c 有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。3. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系4. 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是 判定定理5. 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与 直角三角形有关。6. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角 形7. （1）首先确定最大边（如：C,但不要认为最大边一定是 ）8. （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=

2、a2+b2,则4 ABC是以/ C为直角的三角形。（若c2>a2+b2则AABC是以/ C为钝角的三角形，若 c2<a2+b2则4ABC是以/ C为锐角三 角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4,斜边长是20,求 此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：（3x） 2+ （4x） 2=202化简得x2=16;直角三角形的面积=-X3xX4x=6x2=962注：直角三角形边的有关计算中， 常常要设未知数，然后用勾 股定理列方程（组）求解。例2、等边三角形的边长为2,求它的面积。解：如图，等边 ABC彳AM BC于D则：BD=1

3、BC （等腰三角形底边上的高与底边上 2的中线互相重合）AB=AC=BC=2等边三角形各边者B相等）.BD=1在直角三角形 ABD中 A臼=a6+b6,即：AD2=AE2BD=41=3AD= 3SaABC=1BC- AD= 3 2注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为-3a4例3、直角三角形周长为12cmn,斜边长为5cmi求直角三角形 的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x, y 根据题意得：x y 5 12(1)222X y 5(2)由(1)得：x+y=7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y2=49 (3)(3) (2),得：xy=12直角三角形的面积是 1xy

4、=1 x 12=6 ( cm) 22例4、在锐角 ABC中，已知其两边a=1, b=3,求第三边的变 化范围。分析：显然第三边ba<c<b+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定A是一个锐角三角形，为此，先求 ABC /为直角三角形时第三边的值。/3 X解：设第三边为c,并设 ABC是 B 1 C直角三角形当第三边是斜边时，c2=b2+a2, c=j10当第三边不是斜边时，则斜边一定是b,b2=a2+c2, - c=2v2 （即西）ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使/ABC<为锐角（如图）， 但当移动到点A2位置时/ ACB成为直角。故点 A应

5、当在A1 和A2间移动，此时2T2<AC<10注：此题易忽视或中一种情况， 因为假设中并没有 明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 8, 15, 17 R 4, 5, 6 C 5, 8, 10 D 8, 39,40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2= (c a) (c+a)来判断。 例如：对于选择支 D, .82# (40+39) X (40 39), .以 8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。答案：A例 6、四边形 ABCD, /B=90 , AB=3

6、 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCM面积。解：连结AC./ B=90 , AB=3, BC=4.AC=AE2+BC=25 （勾股定理）AC=5 AC+CD=169, AD2=169. aC+cD=aD./ACD=9 0 (勾股定理逆定理)S 四边形 abcd=Sxabc+Saacd=AB- BC+-AC- CD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求n分析：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=

7、 (n+3) 2化简得：n2=4. .n=±2,但当 n= 2 时，n+1= 1<0, . n=2三、练习题1、等腰三角形的两边长为 4和2,则底边上的高是 ,面 积是。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为O3、一个直角三角形一条直角边为 16cni它所对的角为60° ,则 斜边上的高为。4、四个三角形的边长分别是 3, 4, 54, 7, 87,24,25231,4 1,5 1其中是直角三角形的是()222A、B、C、 D5、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是()A 1: 2: 4 B、！： 3: 5C、3: 4: 7 D 5: 1

8、2: 136、已知：如图，四边形ABCM, AB=2Q BC=15 CD=7 AD=24/B=90 ,求证：/ A+/ C=1807、已知直角三角形中，两边的长为 3、4,求第三边长8、zABC中，/C=90 , a=5, c b=1,求 b, c 的长9、如图： ABC中，AD是角平分线，AD=BD AB=2ACA求证：4ACB是直角三角形。三、练习题解答1、/5, V152、6, 8, 103、8cm6,需连结AC证出 ACD&是直角三角形,4、D5、D6、本题类似于例从而/ 1 + 2 2=90 , / 3+/ 4=90 ,./ DAB廿 DCB=1807、解：设第三边长为x,当第三边是斜边时：x2=32+42=25,即x=5当第三边不是斜边时，则斜边长为4: x2=4232,即x=<78、此题类似于例3解：根据题意得:a2 c2 b2 (c b)(c b) 25 . c b 25 .c b 1c b 1c 13b 129、证明：作DJ AB于EAD=BD,DEAB.2AE=AB（等腰三角