希尔伯特几何公理

1、实用标准文案希尔伯特几何公理佛山石门中学高二（2）邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D来表示；直线用a,b,c,d 来表示；平面用a, B , 丫，8 来表不。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系点A在直线a上：点A在平面a上：直线a在平面a上：（直线的每一点都在平面上）点B在点A与点C之间：（我自己规定的符号）线段AB与CD相等：（原书是用 号的，不过对于我们不常见，所以我用了 二号）/ 与/ 相等：/等等（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理的时候再说）在

2、希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的文档大全实用标准文案最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对（x,y）,定义线是其实在这个定义下，“几何”已经失去了 “直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号，并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观地几何语言（欧氏几何）抽象

3、成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几 何）公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或 平面）I 1：对于两点A和B,恒有一直线a,使得（存在性）；I2：对于两点A和B,至多有一直线a,使得（唯一性）；（对于1,2,我们可以说两点确定一直线）%: 一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；14：对于不在同一直线的三点 A,B和C,恒有一平面 ,使得；（存在性）对于任一平面，恒有一点A,使得 ；I 5：对于不在同一直线的三点 A

4、,B和C,至多有一平面,使得；（唯一文档大全实用标准文案性）（对于4,5 ,我们可以说三点确定一平面）I6：若且，则 ；I 7：若两平面, （3有一个公共点 A,则他们至少还有一个公共点 B;I8：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以 放弃了 。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了 “在之间”这个关系。根据这个概念，直线上的, 平面上的，空间上的点才有顺序可言。也成II 1：对于点A,B,C,如果，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，立；（如图）ABCII 2：对于点，恒有一点，使得 ；（如上图）II 3： 一直线的任意

5、三点中，至多有一点在其他两点间；文档大全实用标准文案根据上面，我们就可以定义线段了：对于直线a和直线上的两点A,B;我们把这一点对A,B称为线段，用AB或BA表 示。在A和B之间的点叫做 线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。II 4：设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABCfi不经过点A,B,C的直线a,若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段 AC或CB的一点（如图）以上。接下来定义射线A A1OB先定义同侧：设A,A' ,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A'之 间，则A和A'称为在a上点。的同侧，而A,B两点称为异侧。文档大全

6、实用标准文案那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如与上图关于点 O与B同侧 的射线我们记为OB （虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）公理III合同公理本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。III 1：对于线段AB和一点A',恒有一点B',使得线段AB与线段A B'相等，记 为因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同： ， ， ，III 2：若 且，贝U ''；（根据1,2,我们才能得到线段AB与自己相等，才能得到与等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。 总而言之根据1,2我们才能得到

7、线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这 才说明这是一个等价关系。）III 3：线段AB, BC在同一直线a上，且无公共点；线段 A B', B' C'在同一直线a'上，且也无公共点。如果且 ，则 这条公理还要求线段能够相加，可以定义 AB+BC=AC其中A,B,C共线）相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。文档大全实用标准文案我们先定义角的概念：对于不同一直线的三点O,A,B,射线OA和射线OB勺全体我们称为角，记为/。O称为/的顶点，射线OA和射线0琳为/的边。同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。

8、III 4：对于/ ,和一条射线O A',在射线O A所在的一个平面内，有且只 有一条射线O B,使得/ 与/ '''相等，记为/ / '''。而 且有/ /。如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的 ' ' / / / / / / / / ，/ / / / / '''然后先定义三角形：线段 AB,BC,CA所构成的图形，记为 。III 5：若 与，有下列等式'' ''/ / '''则有/ / ， ， ， / ，这条公理可以理解为三角形全等（S

9、AS,事实上SAS这个公理的直接推论。公理IV平行公理这条公理显得很苍白，但在历史上很重要先定义平行：对于同一平面上的两条直线线 a和b, a与b无公共点，则称a与b平行，记为.文档大全实用标准文案IV （欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A 所决定的平面上，至多有一条直线 b,使得 且 。根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。公理V连续公理Vi （阿基米德原理）：对于线段AB,CD则必定存在一个数n,使得沿着射线 AR 自A作首尾相连的n个线段CD必将越过B点。在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,b,必存在正整数n,使n

10、a>bV2 （直线完备公理）：将直线截成两段a,b（不是直线），对于任意的AS a, B6 b,则总存在一个点C, C6 AR也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理IIV的（书上的描述太笼统，我还是用我自己的话说了）要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！:、公理的相容性文档大全实用标准文案这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理 推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事 情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这 是根据哥德尔不完全定理得到

11、的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向 了 “数"我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似我们考虑的是实数域R点我们用实数对来表示：；直线我们用来表示:O平行，当且仅当点在直线上：点 在点与点 之间:两条直线，共线；对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达:，其中然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。（PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了）那么用以上规定几何对象文档大全实用标准文案公理I （关联公理）显然都是成立的，只需要用到规定。公理II （顺序公理）显然也都是成立的，再加上规定。公理III （合同公理）也是成立的，加

12、上规定。需要一点点论述，就是点与直线在经过的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说x' ,y '都还是实数，其实就是要说明形的数还是实数，这是显然的）公理IV （平行公理）在直线的这种规定下是成立的。公理V （连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接 得到。也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何”的性质的，我们便可以将这些实 数，实数对作为几何对象。那么这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。那么只 需要证明算术的相容性就可以了。关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自身证明（这是个 完备的公理系统）。但是按照希

13、尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容性， 不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理内是无法自证的，只能根据另外一个跟 更强的公理系统（比如说集合论 ZFC公理）来证明，可是这“另外一个公理系统”的 相容性，又不能用自身证明了 =（根茨（G.Gentaen, 1909-1945） 1936年使用超限归 纳法证明了算术公理系统的无矛盾性）。简短提一下的是，这个几何公理系统不仅是相容的，而且是完备的（就是这个公理的任一语句都能在这个公理系统内证明，即确定其真值）文档大全实用标准文案三、平行公理的独立性（非欧几何）我们知道了公理的相容性之后，其实还有一个有趣的问题是公理的独立性，虽然这并不影

14、响论证（多些方便的公理还方便于论证呢），但是数学家们总喜欢简洁的东西额不说了。什么是独立性？就是一个公理不能是其他公理的逻辑推论。如何证 明这里某个公理独立性？ 一个办法就是剔除掉这个公理，然后根据其它公理构建一个 新的模型，使得被剔除掉的公理不满足于这个模型。历史上最令人争议的就是平行公理了，也就是用欧几里得提出的公理来证明平行 公设当然都失败了。之后，人们就发现了非欧几何。什么是非欧几何学？其实就是满足以上除了平行公理的所有公理的几何模型。既 然有了非欧几何，那么平行公里的独立性就不证自明了。现在主要是分成两种，一个 是黎曼几何，一个是罗氏几何。然而黎曼几何我不清楚（手头的书也没有），所以

15、我不提对于罗氏几何，来代替原来平行公理的公理描述如下：如果b是任一直线，且A是不在b上，则过点A有不在同一直线的两条射线日, 32,它们与b都不相交，而且在ai, a2所成角内的任一射线都与b者湘交。文档大全实用标准文案那么a1，&所在的直线称为与b平行然后非欧几何学最简单的一个特例就是球面几何，连高中选修都会讲到只需要定义“直线”为大圆便好 我就不深入了。四、合同公理的独立性文档大全实用标准文案相对平行公理来说，合同公理的独立性并没有在历史上并没有引起太大的争议。因为合同公理14并没有什么卵用，所以我们只需要说明公理 35（可以说是三角形全 等的SAS）M有独立性就好。一般来说，我们

16、定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比如对，的长度就为，这个可以在前面在规定坐标变换中得到。接下来我们便抛弃这个“长度”的设定（就是抛弃上面规定中线段相等的定义）， 噢，要保留原来角相等的设定。我们新定义一个长度：对于 ，的长度就为规定线段相等就是长度相等。在这个规定下验算公理I,II,III 14,IV,V都是成立的。只不过唯独对于 35就不一 定成立了。举一个反例：文档大全实用标准文案显然/ /, OA=OC=O皿照公理35有/，但是在这种规定下显然/ /。从而证明了公理 川5的独立性。五、连续公理的独立性这是我们要叙述独立性的最后一组公理（其他的没必要）。同上

17、面的方法一样，我们又得找一个数学对象只满足公理 IIV 了。我们又是要把 研究的方向转向了数。其实在说明五组公理的相容性的时候我们是用了实数域R来构建几何，其实域有许许多多，而实数恰好又满足众多域不满足的性质：完备性，阿基米德原理。那么其 实我们只要找一个域不满足这两个性质的就好，然而这样的域又有许许多多。（域通俗来说就是满足加减乘除的东西的集合，当然还要满足乘法交换率）首先我们很容易就构建一个域 F,从1开始，其加减乘除，还有 3 （3是经文档大全实用标准文案过这五种运算的结果）的彳#到的所有结果都放在F里。那么这个域的数字构造的几何对象满足公理 IIV ,但是因为其自身并不满足完备 性（也

18、就是画出来的数轴有“洞”），比如说兀，也就从而说明了完备性的独立性。题外话，这个域F其实挺重要的，在证明尺规作图的可行性就是基于这个域。然后是非阿基米德域，也就是不满足阿基米德原理的数域，举个最简单的例子，一个集合一一，可以验证其加减乘除都在一里，所以这是一个域。这是实数的一个子集，我们一般描述这个集合里这些数的序关系是最简单的 大小关系，比如说 一一。然后我们要构建一个新的描述这些数的序关系， 在这个序关系下一是一个非阿基米德域。定义序关系举个例子 一等等。也就是优先比较 一的大小.那么在这个顺序关系下，一并不满足阿基米德原理（由读者自己验证），所以这是一个非阿基米德域。当然非阿基米德域还有

19、好多好多，比如说上面的域F,也可以找一个类似的序关系 来代替掉大小关系（这种序关系），使得F是一个非阿基米德域。再构造几何对象，那 就是一个除了连续公理（完备性和阿基米德原理两个个都不满足）的几何体系了。不过值得注意的是同 时满足阿基米德原理和完备性的就只有实数R了。这点也说明了希尔伯特几何的唯一性。文档大全实用标准文案六、一些补充皮亚诺算术公理1.0不是任何数的后继数2.x与y的后继数相等，则x与y相等3. ,为算术公理的任一公式这个就是数学归纳法4.存在零元和幺元5.加法的定义6.乘法的定义这里就是后继数，比如1的后继数就是2.这里的公理3,5,6决定了皮亚诺公理的不完备性，具体怎样就不说

20、了，哥德尔不完备定理的证明用的是递归函数，然后递归函数又是以公理3,5,6所定义的。实数公理文档大全实用标准文案约定，所有实数记为？，一部分实数X,记为 ？;X中存在实数x,则记为1 .加法公理1)零元存在性2)存在相反数3)加法结合律4)加法交换律2 .乘法公理1)幺元存在性2)存在倒数3)乘法结合律4)乘法交换律3 .乘法对加法的分配率1)4 .序公理1)文档大全实用标准文案反身性2)反对称性3)传递性4)任意两个实数都能比较大小5 .加法和乘法与序的关系1)不等式两端同时加上一个实数，不等号方向不改变2)正数之积为正数6 .完备公理1)对于任意的两部分实数 X,Y,满足对于任意实数， ，

21、有 ，则存在一个实数c,使得。对于完备公理，要说明一下，这里用的是二阶逻辑来写的。还有只有？才满足。举个例子。如果自然数 ？，满足完备公理，我把自然数分成两部分：，,那么不存在一个数(，)，这个数就是一这里对应的就是直线的完备公理。文档大全实用标准文案关于公理系统什么是公理系统？一个公理系统可以这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表（比如几何公理 中用A, a, 口表示的点线面），形成规则（逻辑公理，就是推理的规则，还有非逻辑公 理，就是我们给出的公理，比如说完备公理），还有公式（按照形成规则构成的字符串） 组成。他们没有任何含义，就像一部按规则摆弄拼凑字符的机器罢了，它们给出的只是语法。而给出一个公理系统实际意义的，称为模型。比如实数1,2,3等等还有其加法