圆锥曲线地第三定义

1、实用标准圆锥曲线的第三定义及运用椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆22x y在椭圆Ci+gnlaAb。）中，a B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于 A B的一点,2.b2右 kPA、kPB 存在，贝U有：kPA*kPB=e -1=- a2 b2证明：卞造 PAB的PA边所对的中位线 MQ kpA = kMO,由点差法结论：kMO *kPB =e2 - =a知此结论成立。2.双曲线2 X在双曲线C：2 ab2=1中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于 A、B的一点，若kpA、*文案大全2b2存在，贝U有： kPA *kPB=e -1 = a证明：只需将椭圆中的 b2全部换成-b2就能将椭

2、圆结论转换成双曲线的结论。实用标准与角度有关的问题22例题一:已知椭圆C：x2+%=1（ab0）的离心率e =，a b是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲a b2线解答:令PBx=由椭圆第三定义可知：tana *tan /=e2 -1=-4cos：_ costi cos cos： 1 sin sin - _ 1 tan - * tan _ 3cos 2：:cosi： r工 i cos cos，sin sin：1tan： *tan 5点评:其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为

3、正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点文案大全实用标准变式1-1 :(石室中学2015级高二下4月18日周末作业)已知双曲线 C： x2y2 =2015的左右顶点分别为 A、B, P为双曲线右支一点，且 /PAB=4/APB,求 / PAB =.解答：令ZPAB=a 0,1, /PBA=Pw 1。,21 ,则P =5a ,由双曲线的第三定义知：_ 2_ 2tan- *tan: =tan- *tan5- =e2 -1=11二一二 一二tan - =tan 一-5- = 一 =一一5- = -=tan5：2212点评:与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为

4、1即表示sin=cos 3 , cos a =sin 3 =两角互余,则可解出a的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题22例题2：已知A、B是椭圆、2+y2=1(ab0 )长轴的两个端点，M N是椭圆上关于x轴对称的两点， a b直线AMBN的斜率分别为k1、k2,且k1k2#0。若kj+|k2的最小值为1,则椭圆的离心率为.文案大全实用标准解答一(第三定义+均值)：由题意可作图如下:kAM连接MB由椭圆的第三定义可知:*bn= . kik2 = b2 aki + k2 - 2y1 ki *|k2 =b 1 v

5、3一二：e=a 22解答二(特殊值法)： 1这道题由于表达式(ki + kz| )min =1非常对称，则可直接猜特殊点求解。 佃=k2 =-时可取最值,则M N分别为短轴的两端点。此时：k1 = k2 =b=- e=Y3。a 22点评:对于常规解法，合理利用 M N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了 “一正”，又构造了 “二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将ki、k2前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1 。22变式2-1 ：已知A、B是椭圆与十4=1(ab 0 )长轴的

6、两个端点， M N是椭圆上关于x轴对称的两 a2 b2点，直线 am bn的斜率分别为kp k2,且k1k2=0。若J21kl +2衣|k2的最小值为1,则椭圆的离心率文案大全实用标准解答:人2人2连接MB由椭圆的第三定义可知：kAM，kBM =e2 -1=-,而kBM = - kBN= .卜水2=二aaV2|ki +2夜收加,网=4b - 1=1 -: - = - -: e=a a 415422变式2-2 :已知A B是椭圆 t +1=1初-0 ）长轴的两个端点，若椭圆上存在Q,使/AB a b则椭圆的离心率的取值范围为解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线 QA的倾斜角为口 w h

7、7T I直线QB的倾斜角为Pw广，nl 一 2_2tan : - tan ;/AQB=|, n , tan ZAQB = tan( P -a )=21 tan - tan 二b2由椭圆的第三定义：tan二 tan ：二 2 ,则tan := ab22 , Ta tan -带入可得:tan : -tan 二 _1 tan ： tan 工b2.2- tan -a tan ;ab2-+tan&、a tanaa_2ba_二 -2ab_比 一 a2 -b2ab（取等条件：tana =,即Q为上顶点）a2而tanx在I,n 单增，则Q为上顶点时（/AQB）max,所以此时上AQB之一五2m3.一示,故e匚

8、，1I 3解答二（极限法） _ 冗当Q趋近于A、B两点时，/AQBT （此时Q点所在的椭圆弧趋近于以 AB为直径的圆的圆弧, 2文案大全实用标准NAQB相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时NAQB （Q在以AB为直径的圆内部，/AQB直径所对的圆周角=90。），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时（/AQB）max。由于：椭圆上存在 Q使ZAQB =飞-，那么q为短轴端点时（/AQB ）max 2 三a -6取临界情况，即Q为短轴端点时 NAQB =，此时一 =J33 e =；当椭圆趋于饱满（e-* 0） 3 b3时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90。，不满足；当椭圆趋于

9、线段 （eT 1 ）时,“AQBmaxT n, 满足。故e三|,1 |。_ 3当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，/AQBt?”时能会颠覆“NAQBt冗”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况, 而不是角最大的情况。 要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二： 与第三定义发生联系tanx在上，n1单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。四、总结归纳1.上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2,对于均值不等式，注意取等条件是

10、“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23,极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如： 变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变 化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。4,做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2文案大全实用标准5 .常以正切值刻画角度大小。6 .在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。7 .8 .五、方法链接针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。例题3:在平面直角坐标系 XOY中，给定两点 M (-1

11、,2 )和N(1,4 )，点P在X轴上移动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标为 .解答一(正切+均值)：已知：M(1,2)、N(1,4), Imn ：y = x + 3与 x轴交于 3,0)24令 P(t,0 )，则：kMp = 2 , kNp = 4 , /MPN=8-1 -t1 -t当t=3时，日二0文案大全实用标准当t3时，Imp的倾斜角较大,tan二小一小1 kMP * kNP2t 6t2 7令 x=t +30,则 tane = 226= 2 2x=2 0)t 7 x -6x 16 v 16 c16x - -6 2, x 6x x此日x =4 , t =1 , 0maX =4 当t

12、0)1此日x=4, t = 7, tan(9max )=-由于日w 10, n ),且tan e在日w 0, n)上单增，tan日w 01 -max = 4 ,此时 t - 1解答二(圆周角定理)：证明：以与x轴切于P2点的圆满足所求最大角为例:文案大全实用标准由于Imn： y = x+3是过M N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在l: y = x + 3上随着圆心横坐标从 0开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点 马、R。此时：根据圆周角定理：ZMP3N =/MP4N /MQN=/MP2N ,可知：圆与x轴相

13、切时,MPN max。R 较小的情况（圆与 x轴相离）R 较大的情况（圆与 x轴相交于p3、R）所以：过M N的圆与x轴切于R、P4点时，分别有（ZMPN 需二只需比较/MPN与/MP2N ,哪一个更大。令与x轴相切的圆的圆心为（x, y）,则切点P（x,0）,半径为y 222x 1 ：I r y - 2 ）: = y 2、圆满足：_= x 6x + 7 = 0= x =7or1 （消去 y）222x-1 y-4 =y比较可知：当x=1时，（NMPN Lax点评:常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均

14、值。用圆周角角的性质解答， 只要转化为切点,解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径文案大全实用标准越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。变式3-1 :若仃为 ABC的重心，且 AG _L BG ,则sin C的最大值为解答一（余弦定理+均值）：% = 1 Xa Xb Xc令G(0,0), A(a,0 ), B(0,b),则由 3=c(a,b)1 yGyAyB yc由点间的距离公式：AB = Ja2 +b2 , AC = J4a2 +b2 , BC = Ja2+4b2由余弦定理：cosC =2,2,2.2.22 .22 . 2AC| +|BC| -|AB| _(4a +b )+(a +4b )-(a +b )2M AC x BC2、4a2 b2a2 4b24 a2 b22 a2 b22、4a2 b2a2 4b2, 4a2 b2a2 4b2由于：.ab b1 )上一点P引圆Q x2+y2=1的两条切线PA b aPR其中A、B为切点，直线 AB与x轴、y轴分别相交于 M N,则 OMNT积的最小值