圆锥曲线的切线

1、圆锥曲线的切线问题“方向比努力更重要” ！对于圆锥曲线与直线的位置关系的考查，历来都是比较综合的。这类题往往集函数、方程、向量、不等式等知识点于一体。 有变量多，关系复杂，运算量大，思维量大等特点。虽说“条条大路通罗马”，但如果解题方向不对，方法笨重，不仅耗时费力，问题得不到解决，而且极容易打击自己的自信心。 所以方法的选择尤为重要， 这就要求我们通过解一题探索出解一 类题的万用方法。下面通过五个题，简单介绍一下处理“过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线”（为了方便，简称为圆锥曲线的双切线问题）的比较实用的两种方法。例1、（2013广东卷）已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点F 0,c C 0到

2、直线3.2l : x y 2 0的距离为 .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线2PA, PB，其中A,B为切点.（I ）求抛物线C的方程；（II）当点P X0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程;数思想）。再看抛物线方程很容易转化为函数，且直线 AB与切点A、B息息相关，所以此 题用切点表示切线更为方便快捷！解:（I） x2 4y.1 O1（n ）抛物线C的方程为x 4y ,即y - x ,求导得y x4222xx9设A x1， , B X2K2 （其中y1 一，y2 工），则切线PA, PB的斜率分别为44-xi , -X2 ,所以切线PA的方程为y yi22XiX 2y

3、2yi 0同理可得切线PB的方程为x?xX- 一 X22yXi2包yi ,即22y2因为切线PA,PB均过点P Xo,yo ，所以XiXo 2yo 2y0 , X2X02 y02 y20所以Xi, yi , X2,y2为方程XoX 2y0 2y 0的两组解.所以直线AB的方程为x0x 2y 2y0 0.(m)由抛物线定义可知 AF yi i, BF y2 i,所以 AF BFyi i y2 i yiy2 yi y2 i、，%x 2y 2% 0联立方程 2，消去x整理得y2 2y0 x02 y y02 0x 4y由一元二次方程根与系数的关系可得yi y2 x02 2y0, y1y2 y02所以

4、AF BF yy2 yi y2 i y02 址2 2y i又点P X0, y0在直线l上，所以X0 y0 2,2222i 9所以 y X0 2y i 2y0 2y0 5 2 y022所以当y01时，AF BF取得最小值，且最小值为9.练习i、椭圆22xy2.2abi （a尸b六0）的一个焦点为F为i,0）,已知椭圆的短轴的两个22三等分点与一个焦点构成正三角形（D求椭圆方程（2）已知Q （x0,y0 ）是椭圆上任一点，求以Q点为切点的切线方程（3）设P是直线x=4上一动点，过 P作椭圆的两切线 PA PR 求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标。2 X (i)7（哈半i设P（4,t）,切点A（

5、xi, yi）,B（X2, y2）,则以A、B为切点的椭圆的切线方程分别为:汹+型九丝+也4，又P点在两切线上，所以：43434xl + M = i,4+ty2=i,所以直线ab的方程为：4343仝+ ty = i,即：ty（X i）,所以直线AB恒过定点（i, 0）433练习2、A B、C是长轴为4 过椭圆中心O,且AC BC0, BCE （焦点在x轴上）的三点，点 A是长轴的右端点， BC2 A，（i）求椭圆E的方程（2）在椭圆E上是否存,22在Q使得QB QA 2?若存在，有几个（不必求出Q的坐标）（3）、过椭圆E上异于其顶点的任一点P作圆O：x2y2-的两切线，切点分别为 MN,若直线

6、MNB x轴、3，、11y轴上的截距分别为 m n,求证： 7 ） 为定值。3m2 n2分析:第（2）问用化归思想，解决这题的关键要理清 Q点的来源，一是来源于椭圆，二是来源_2_2 一于|QBQA 2?,这个式子表示的什么曲线弄清楚了，问题就解决了。问题实际转化为椭圆与某曲线的交点个数。对于第（3）问，关于圆的问题，用几何法是往往是最简洁的。22上工1443(2)两个（x1,y1）、N （x2,y2）,则以M、N为切点的圆的切线方程(3)法一:设 P(x,y),M4分别为：xx yy产一，xx23VV2 1,又P点在两切线上，所以:4W，x2% V2Vo3(x-x0)x (y yo)y。，即

7、：x2 y2 xx。yy0 。，有M、N在圆x2xx。44 人yy。一,令y 。，则m ,，令乂33x。y2 4上，所以直线MN的方程为：3一 4。，则n=，又P （x。4。）在椭圆上，所以:3Vo22x。y。441,所以93m2工?(定值)n2 42 x 例2: （2。14广东卷）、已知椭圆C：-2a2_yr1（a b 。）的一个焦点为（J5,。），离心率b2为15,（1）求椭圆C的标准方程；（2）3若动点P（x。，y。）为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程分析：这题同样是研究圆锥曲线双切线问题,但与上面几个题又有所不同，上面几个题侧重44-,所以直线MN方程为

8、：x0x + y0y -33法二：设P（xo,y。）,由题意：M、N、O、P四点共圆，且以OP为直径，其方程为:于两切点的关系，且后续部分是研究由两切点产生的直线问题。而此题更侧重于两切线的关系，讨论的是两垂直切线的交点问题，所以再用上面的方法就不太好操作了。我们还是顺从出题人吧，老老实实把切线用P点表示，再耐心地算下去。注意：点斜式适用范围。然后呢？你懂的22解：(1) 土 1（2）当两条切线的斜率存在时，设过P(%, y0)点的切线为y y k x94依题意得k1 k2y2 4x2 9221,即 xo yo 13当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得P是直线x3, x 3, y2,y的

9、四个交点，也满足xo y2 13,故点P的轨迹方程为x2 y2 132x 2练习、如图（6）,设点F1（ c,。）、F2（c,o）分别是椭圆C : -y y 1（a的左、右焦点， p为椭圆c上任意一点，且 pf1 pf2最小彳1为o.（1）求椭圆C的方程；1)（2）若动直线l1/2均与椭圆C相切，且I1/I2,试探究在x轴上是F1F2y yo k x xo联立x22消去 y 得 49k2x218ky0kx0x 9y0kx02 36 0一 y- 1942 2222判别式 二18 k y0 kx036 4 9k y0 kx040化简得y0kx029k24 0,即x29k22x0y0ky24否存在定

10、点B,点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在，请求出点 B坐标；图（6）若不存在，请说明理由.分析：这个题第（2）问似乎比高考题更为复杂，两切线不是相交，而是平行，还得考虑特殊情形：重合。而且参数多，参数之间的关系不是一两句话就能说清楚的别急，套路就是出路，选好参数，设出方程，联立方程，寻找关系，消参按套路来，准没错！2解：（1） y212（2）当直线11, l2斜率存在时，设其方程为 y kx m, y kx n把11的方程代入椭圆方程得 （1 2k2）x2 4mkx 2m2 2 o;直线11与椭圆C相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化简得22 一 .2222m 1 2k 同理，n 12k . .m n ,若 m n ,则 11,12重合，不合题意，m n设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线11,12的距离之积为1,则1萼岑J 1,即 |k2t2 m2| k2 1,k2 1 ,k2 1把1 2k2 m2代入并去绝对值整理，k2(t2 3) 2或者k2(t2 1)