一元二次方程讲义

1、实用文档一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次 方程。 (2)一般表达式：ax2+bx+c =0(a #0)注：当b=0时可化为ax2+c=0这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2; (3)是整式方程.要 判断一个方程是否为一元二次方程， 先看它是否为整式方程， 若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2 +bx+c=0(a*0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax2 +bx+c=0时，应满足(aw0)(4)难点：如何理解“未知数的最高次

2、数是2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()211222A 3x1=2x1 B 2 -2=0 C ax bx c = 0 D x 2x = x1x x变式：当k 时，关于x的方程kx2+2x = x2十3是一元二次方程。例2、方程(m+2 xm +3mx+1 =0是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的行概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2 + y 3的值为2,贝Ij4y2 +2

3、y+1的值为。例2、关于x的一元二次方程(a-2*2+x+a2-4 = 0的一个根为0,则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+ c = 0(a # 0)的系数满足a + c=b,则此方程必有一根为 o说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1”巧解代数式的值。标准文案实用文档例4、已知a,b是方程x2 4x+m = 0的两个根，b,c是方程y2-8y +5m = 0的两个根，则 值为。例 5、已知 a¥b, a2_2a _1=0, b22b-1=0,求 a + b =a b变式：右 a

4、 2a1=0, b 2b 1 =0 , WJ +的值为。b a6、方程（ab卜2+© _c x+c _a =0的一个根为（）A -1B 1 Cb -cD -a7、若 2x+5y 3 =0，贝U 4x 32y =。考点三、方程解法(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程 (2)方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如x2 = m(m20 )其解为：x = ±Vm对于(x + a 2 = m , (ax + m f = (bx + n f等形式均适用直接开方法典

5、型例题：例 1、解方程：(12x28=0;(2) (3x + 1)2=7(311 xf 9 = 0;（4） 9 x -1 2 -16 x 2 22（5） 9x 24x+16=11例2、解关于x的方程：ax2 b =03.下列方程无解的是（）A. x2 3=2x2-1 B. x -2 2 =0 C. 2x 3 = 1 - x D.x2 9 = 0标准文案实用文档类型二、配方法基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题： 例1、

6、试用配方法说明x2-2x+3的值恒大于0, 10x2 +7x-4的值恒小于0例2、已知x、y为实数，求代数式x2 +y2+2x-4y+7的最小值变式：若t=2-J-3x2 +12x-9,贝t的最大值为,最小值为例3、已知x2 +y2 +4x6y+13=0, x、y为实数，求xy的值。变式 1:已知 x2+2 x 14=0,则 x + 1=.x xx变式 2:如果 a +b + Jc -1 -1 =4ja -2 +2Vb +1 -4 ,那么 a +2b 3c的值为例4、分解因式：4x2+12x+3类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一

7、次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一 次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法(x x1 jtx x2 )= 0 = x = x1，或x = x2标准文案实用文档方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,方程形式：如(ax + m 2 = (bx + n 2 , (x + a jx +b )= (x + a jx + c ) , x2 + 2ax + a2 = 0分解方法：提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法 针对练习：例 1、2x(x3) = 5(x3 的根为()x1 = 5, x2 = 3 D28x4y+6x3y

8、2 2x3y (提公因式).5_一 一Ax= B x=3 C2例 2.(1) 4a2169b2(平方差)(2)，一22.(3) (m+n) 4(mn)(平万差)2 一 一 、.一 、-(4) a +6a + 9 (元全平万式)(5 ) 12xy+x2 +36y2 (完全平方式)(6) (a+b)2+5(a + b)+4 (十字相乘法)23 (8) 5n(2m n) 2(n 2m)(提公因式)则4x+y的值为22. 一(7) p 7pq+12q (十字相乘法)例 3、若(4x + y f +3(4x + y ) 4 = 0 ,例4、方程x2 + x -6 = 0的解为(A. x1 =-3,x2

9、= 2 B.x1=3,x2=-2C. x1 =3,x2 =-3D.x1=2,x2= -2例 5、解方程：x2 +2W3+iX+2V3+4 = 0标准文案实用文档例6、已知2x2 3xy2y2 =0，贝的值为。x-y变式：已知 2x2 -3xy -2y2 =0,且 x a 0, y a0 ,贝U x * y 的值为例7、解下列方程(1) (2x - 3) 2 = (3x- 2) 2(2)x-y4x+14x-525- T = 3 x+2(4) 5m 2 - 17m + 14=0(5) (x2+x+1)(x2+x + 12)=42类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别

10、式大于等于零时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式，就可得到方程的根。条件：(a = 0,且 b2 4ac 之 0 )(2)公式：x = b - % b 4ac , (a 0 0, Jib2 - 4ac 0 )2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 3(1+xf=6.(x+3 jtx +6 )=8. x24x+1=0 3x2 -4x -1 =03 x -1 3x 1 = x-1 2x 5标准文案实用文档说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般 不选择配方法。类型五、“降次思想”的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组 典型例题：例

11、1、已知 x2 3x+2=0,求代数式鼻卫的值例2、如果x2 +x 1 = 0 ,那么代数式x3 +2x2-7的值例3、已知a是一元二次方程x2 -3x +1=0 的一根，求a2 1的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候， 要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的 变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次幕，最后求解。例4、用囱和丕同的方法解方程组2x-y = 6, x2 -5xy+ 6y2 = 0.说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元标准文案实用文档但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题

12、 考点四、根与系数的关系I当满足a#0、至0时，才能用韦达定理前提：对于ax2+bx+c = 0而言，主要内容： Xi +X2 =-b,XiX2 =£ a a应用：|整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. .3B.3C.6 D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a + b、a-b、 ab、a2+b2之间的运算关系例2、解方程组:(1)x + y = 10, xy = 24;x2 + y2 =10, x + y = 2.说明：一些含有x+y、x2 + y2、xy的

13、二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程k2x2+(2k1X+1=0有两个不相等的实数根X1,X2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请 说明理由。标准文案实用文档例4、当k取何值时，方程x24mx+4x+3m2 _2m +4k = 0的根与m 土匀为有理数?例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为 1)时，小明因看错常 数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-

14、1。你知道原来的方程 是什么吗？其正确解应该是多少？例 6、已知 a=b, a22a1=0, b22b-1=0,求 a + b =变式：若 a22a1=0, b22b1=0,则 a+b 的值为b a例7、已知5P是方程x2 -x-1 =0的两个根，那么a4 +3P =.测试题目：一、选择题1 .解方程：3x2+27=0 得().(A)x= 土 3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个2 .方程(x-1) 2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2二、填空3 .方程9x2=25的根是.4 .已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=,另

15、一个根是5 .关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为.标准文案实用文档6 .关于x的方程(m2-m-2)x 2+mx+n=QH一元二次方程的条件为 .7 . 方程 (x+2)(x-a)=0 和方程x2+x-2=0 有两个相同的解, 则 a=.三、用适当的方法解下列关于x 和 y 的方程(x+2)(x-2)=1.(3x-4)2=(4x-3) 23x2-4x-4=0.x2+x-1=0.x2+2x-1=0.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法9解关于x 的方程：x2-2x+1-k ( x2-1 ) =010已知 |2m-3|=1 ，试解关于x 的方程3mx( x+1) -5( x+1) ( x-1 ) =x2标准文案实用文档11、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克