一元二次方程根与系数的关系典型例题

1、一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】1 .本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系学习目标1 .熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）；2 .灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值； 根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。3 .在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；4 .提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5 .体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣, 及树立勇于探索规律的精神。2 .重点、难点：1 .教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不

2、解方程，用两根和与积或各系 数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。2 .教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将 系数代入。【典型例题】例1.已知方程2# +iz-3=0的一个根是 2 ,求它的另一个根及 b的值。分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根, 并确定字母系数的值。解：（方法一）设方程的另一根为 11,则由方程的根与系数关系得：<1 ><2>（方法二）由题意： 2/12,解得：-1根据韦达定理设另一根为x,则_3=2= Xj = 3f 4 = -5点拨：解法一较简单，主要原因

3、是突出了求解的整体性。例2.已知方程 中 +2x-3=0的两根为11' h ,求下列代数式的值:221 r T（1）再+,；（2）丸与；（3）人人：分析：若方程口耳+占彳+。=。（弓4。对称式的值，只须将其配成含有再+跖、的两O解：由已知，根据韦达定理则不解方程，可求出关于小占的-11 111万+与3 2：二,.二I(3 二-,+与一"!.%点拨：体会配方思想，将代数式配成含有瓦十年彳也的形式，再代系数即可。例3.已知：，1、是两个不相等的实数，且满足 元；+3-2=0,只+3/一2二0,那么求 d- lh3-l）的值。分析：由两个条件可得出 工1、颔为方程/+3工-2:0的

4、两不等实根，再对所求代数式 配方变形。解：由题意，1'为/+3工一2二0的两个不等实根因而有： 一 ,山二 '又. 1 一 1 '： 一二-我啊-1)=2点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。例4.已知关于x的一元二次方程 / -41+上=。与2/ 31+上=0有一个相同的根，求k的值。解：(解法一)设方程/ 41+七二0两根“、3,方程2 3工+七二0的两根僚 了， 则有：尸=4< 1 >矽=k <2>3af+ X = -<3>2< 1 > - <3> ：户一” g <5>由 J -.二二

5、I -当比二o时，代入<2>! i=0当叱0时，由<&> : E二2yc 5<5> ： y =-代入一则二-代入1：食二-1把口二、口二一1代入<2>中，k = -5; k =。或 k = -5(解法二)将 41+上=0与2 %+上=0相减得:/ + 1二 0此时方程根为0或-1 ,即题中两方程相同根为 0或-1(1)若是0则k二0；(2)若是-1,则比二一5;: k = U或 k = -5点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了 “若方程/(或二口与加)二0 有公共根，则公共根必满足方程 /W-g(x) = O”的结论。例

6、5.已知方程/ +3X+上=0(1)若方程两根之差为 5,求k。(2)若方程一根是另一根 2倍，求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数 字母的值。解：(1)设方程两根 田与11+5,由韦达定理知：J +(/ +5)= -3,= -4又；- -/： = -4 x 1 = -4(2)设方程两根 瓦，2石，由根系关系知：/+2占=-3.1.Aj = - 1:.上二=2点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。例6.已知方程X,+m+占=0两根之比为1: 3,判别式值为16,求a、b的值。分析：必用判别式&二-4b=16 ,又韦达定

7、理知a二-Am, b =,显然可求a、bo解：设已知方程的两根为 m, 3m由韦达定理知：- 一.即 _；：一,1,A = J - 48 = 口相 - 4 乂 3溺'=4/ = 16:加= ±2把加±±2代入。=-4然,b二物点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。例7.已知年X?是关于X的一元二次方程£ +"祖+加+.+1)=0的两个实数根。(1)用含m的代数式表示 勺十工3 ；(2)当工1 +勺=15时，求m的值。分析：应注意工:+工；二 昌+工，-24,即可用根系关系。解：(1)由题意：+=一(2加+1)二 +10工；

8、+工；二（应+勺）2次内二-（2加+以-+1）=2 加 +4/W-1（2）由（1）得：_,.,1 ：. 一一一解得：, , 1'1 -检验：当 阳二-4时，原方程无实根。，舍去. - -当加匚2时，原方程有实根。点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。例8.已知方程2/6彳+3:0的两根为'1'求一个一元二次方程，使它两根为1 122的值即汇和石。y - +* - =u分析：所求方程器”/ 心 ,只要求出可，转化成例2类型了。解：设所求一元二次方程为®和工？为方程-6i + 3= 0的两根由韦达定理32-2x-2 _ 8<

9、;3?3;2/11 工;卜+勺2与W 君 M3 Ma又1 1 _ 1 _ 1 _4丁工帚百二§所求一元二次方程为, 丁 ：即：,：点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根总 那么方程为 户一（戊+*+侬=0,当窗+a磔!为分数时，往往化成整系数方程。总结扩展1 . 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和 与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟 记，为进一步使用打下基础。2 .以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提 倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳

10、的能力及推理论证的能力。3 .本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程4 .通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培 养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】（答题时间:一.选择题。40分钟）1.已知工二根分别为（A. 2, -1- 3是关于x的）B. -1 , 2二次方程+2/+3=0的一个根，则k与另C. -2, 1D. 1 , -22.已知方程A. 43尸 + （幽+ 4）/ + （加+ 1）= 0B. -4C. 13.若方程X' +1+上=0有两根，一

11、根大于的两根互为相反数，则 m的值是（）D. -11, 一根小于1.则k的取值范围是（）A. ； C： 一D.0 <k<-424 .若方程X +pX+<?二°的两根中，只有一个是0,那么（A.C.D.不能确定X 一/ 十5 .方程的大根与小根之差等于（A. _LB.C. 1D.6.以 22A.I 二 1 - I）C. 二一次方程是（）为根的，且二次项系数为1的B. .一D. !.：-.填空题。7 .关于x的一元二次方程/ +2（阳+ 1）工+附=0的两根互为倒数，则 m=8 .已知一元二次方程=0两根比2： 3,则a, b, c之间的关系是 。9.已知方程/ 一倒的

12、（陋+4）- 0r3 1 的两根A跖，且hi 一 2）（两-2” 9 ,则阳二 Oio.已知此E是方程29-51-2二0的两根，不解方程可得：?+=,1 1 _苏+/一匹。11 .已知"+ f=13, （1-碗-商二2,则以2/为根的-元二次方程是 三.解答题。12 .已知方程2/ +31+濯=0的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。13 .已知方程37-74+ 3=0的两根工4（而 >不解方程，求+ J石和工;一君的值。14 .已知方程2/-%+7=0的两根aF,求作以5+2瓜2窗+/为两根的方程。15 .设工1、工2是方程工一 （2陋+ 1）<+加二

13、6;的两个实根，且两实根的倒数和等于3,试 求m的值。【试题答案】一.选择题。1. A2. B3. D4. B5. C6. B.填空题。2（附 +1）2 - 4> > 07.8.设Q二2G13二攵，则r_ b9.=必=25ac 6?=-a+方二腑1/ 八了/口二号制（附+ 4）G1- 2）（勺-2）= 9fn>- -2 => 加= 1w - ±1=（施（冽+4）-2那二5nM -2?«-15= 0n潴二5或幽二一3掰工5时，原方程< 0,故舍去，海二-310.2度=-1+l+ - 2曲,+2 q5 25 , 白 口2k4,_ 185”1 =23

14、8W =二加7AJM +式=13J空，+ 厅=1311.1次则=2 =11-(h+侬=2J" + f=13由此a + j5=g(胃+4 =+伊+2的=13+2的邰川="，_2磔+=>4厅-4 矽-12 = 0=>侬=6或第二-2J值+/=5 Ja+卢=一3W=6 或1周3=-2所求方程- - 5x + 6=0或/+3工-2=0 三.解答题。12.解：设方程的一个根为 x,另一根2x，3z + 2x =<1 >2由根系关系知:2T * 2x= < 2 >213 二 一一2m = 1-解得:.1.掰=17313.解：由题设条件=J/+通 +277了；-*二（再+行1-心卜？Q+ 6=-产2心7 的=14.解：由题意29即.一1一， (白+ 2现2国+同9=8? 9x -x + 8 = 0. 3.故所求方程是 2，即2# 91+16=0<1><2 >石孙=m1 1 ,<4 >I= 315.解:由1：4用+12 0二洲之4由431瓦+马二3/勺12冽+1=3毋二- 2冽- 1 = 0(m - 1)(+1) = 0, 1二购=1，13不符合题意,74舍去【励志故事】果断有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟