一元二次方程的正整数解拔高题

1、训练专题三元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分,满分25分）1. （5分）若关于x的方程（6-k） （9-k） x2- （117-15k） x+54=0的解都是整数， 则符合条件的整数时 k的值有 个.2. （5分）已知关于x的方程（a-1） x2+2x- a- 1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数 a有 个.3. （5分）已知方程 x2 - 1999x+m=0有两个质数解，则 m=.4. （5分）给出四个命题：整系数方程ax2+bx+c=0 （a沌）中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程 ax2+bx+c=0 （a沟）中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理

2、数 系数方程ax2+bx+c=0 （a为）的根只能是无理数；若 a、b、c均为奇数，则方程 ax2+bx+c=0没有 有理数根，其中真命题是.5. （5分）已知关于x的一元二次方程 x2+ （2a-1） x+a2=0 （a为整数）的两个实数根是 x1、x2,二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6. （4分）已知a, b为质数且是方程 x2T3x+c=0的根，那么上卡的值是（）A. 127B.挚C. 123D.2222五22三、解答题（共12小题，满分91分）7. （8分）试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+ （r+2） x+r - 1=0有根且只有整数根.8. （8分）当m为整

3、数时，关于 x的方程（2m-1） x2- （2m+1） x+1=0是否有有理根? 如果有，求出 m的值；如果没有，请说明理由.9. （8分）若关于x的方程ax2-2 （a-3） x+ （a- 13） =0至少有一个整数根，求非负整数a的值.10. （8分）设m为整数，且4V m<40,方程x2-2 （2m-3） x+4m2- 14m+8=0有两个不相等的整数 根，求m的值及方程的根.11. （7分）已知关于x的方程a2x2- （3a2-8a） x+2a2- 13a+15=0 （其中a是非负整数） 至少有一个整数根，求 a的值.12. （6分）求使关于x的方程kx2+ （k+1） x+ （

4、k-1） =0的根都是整数的k值.13. （6分）当n为正整数时，关于 x的方程2x2-8nx+10x - n2+35n - 76=0的两根均为质数, 试解此方程14. （6分）设关于x的二次方程（k2-6k+8） x2+ （2k2-6k-4） x+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值15. （6分）已知a是正整数，且使得关于 x的一元二次方程 ax2+2 （2a-1） x+4 （a-3） =0 至少有一个整数根，求a 的值16. （6分）已知p为质数，使二次方程 x2-2px+p2-5p-1=0的两根者B是整数，求出 p的所有可能值.17. (12分)已知方程 x2+bx+c

5、=0与x2+cx+b=0各有两个整数根 x1, x2,和x1' , x2 且 x1x2>0, x1' x2' >0.(1)求证：x1<0, x2<0, x1' <0, x V0；(2)求证：b - 1 <b+1;( 3)求b， c 的所有可能的值18. （10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2-2x-m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由05 讲： 一元二 次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分,满分25

6、分）1. （5分）若关于x的方程（6-k） （9-k） x2- （117-15k） x+54=0的解都是整数，则符合条件的整 数日k的值有5个.考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：计算题；分类讨论。分析：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种 情形讨论，这样确定的值才能全面而准确.解答：解：当6- k=0 ,即k=6时，则原方程为一（117- 15>6） x+54=0 ,解得x=2 ;当9 - k=0,即k=9时，则原方程为一（11715刈）x+54=0 ,解得x= -3;当6-k4、9-k用时，即k用且k为时，当6一k=±,

7、i3,为时，x是整数，此时 k=7、5、3、15、3;当 9-k=小、立、七、=6 时，x 是整数，此时 k=10、8、11、7、12、15、3.综合知，k=3、15、6、7、9时，原方程的解为整数.故答案为：5.点评：本题主要考查了 一元二次方程的整数根与有理根.在解答此类题目时，系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨 论.6. （5分）已知关于x的方程（aT） x2+2x-a-1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有5个.考点：一元二次方程的整数根与有理根。分析：首先利用当a=1时，得到一个一元一次方程，直接得出根，当a

8、为，把x=1,代入方程，得出a的取值.解答：解：当a=1时，x=1；当a力时，易知x=1是方程的一个整数根，一.9 一 .再由1+x=且x是整数，知 1 - a=± 或立，rl-aa= - 1, 0, 2, 3;由、得符合条件的整数 a有5个.故填：5.点评：此题主要考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单.7. （5分）已知方程 x2- 1999x+m=0有两个质数解，则 m=3994 .考点：质数与合数；解一元二次方程 -因式分解法。专题：探究型。分析：先设出方程的两根，再根据根与系数的关系得出两根之和，再根据1999是奇数得出必有一根为2,求出方程的另一根，再根据方程

9、根与系数的关系即可求出m的值.解答：解：设方程x2- 1999x+m=0的两根分别为x1、x2,由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=1999 ,. 1999是奇又xi、x2是质数，xi、x2必有一个等于 2,设 xi=2,则 x2=1997, xi?x2=2M997=m,m=3994.故答案为：3994 .二次方程根与系数的关系，熟知2既是偶数又是质数的点评：本题考查的是质数与合数的概念、 知识是解答此题的关键.8. （5分）给出四个命题：整系数方程ax2+bx+c=0 （a用）中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程 ax2+bx+c=0 （a用）中，若方程有有理数根，则

10、为完全平方数；无理数系数方程ax2+bx+c=0 （a加）的根只能是无理数；若 根，其中真命题是.a、b、c均为奇数，则方程 ax2+bx+c=0没有有理数考点：元二次方程的整数根与有理根；命题与定理。分析：运用二次方程求根公式，以及根的判别式与完全平方数可知，正确，利用数据的奇偶性得出方程根的情况.解答：解：整系数方程ax2+bx+c=0 （a为）中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根;.方程的根为x="匕土心Tec,只有为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根.故：正确;整系数方程ax2+bx+c=0 （a%）中，若方程有有理数根，则为完全平方数;方程的根为x=,方程

11、若有有理根，只有能够开完全平方，方程有有理数根.故：正确；无理数系数方程 ax2+bx+c=0 （a为）的根只能是无理数;方程的根为x=,若方程的根是有理数，则2a与/9-4也 是同类二次根式，当a二9丞,即 a2=b24ac, a (a+4c) =b2,当 a=/3b=/7, c=y值时，又因为 a, b 也应是同类二次根式，出现矛盾，此时原方程它的根是无理根;故：正确.证明： 设方程有一个有理数根 工（m, n是互质的整数）.IT那么 a (卫)2+b () +c=0 ,即 an2+bmn+cm 2=0TTTT把m, n按奇数、偶数分类讨论， m, n互质，不可能同为偶数.当m, n同为奇

12、数时，则 an2+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数为；当m为奇数，n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数+偶数+奇数=奇数用；当m为偶数，n为奇数时，an2+bmn+cm 2是奇数+偶数+偶数=奇数电综上所述不论 m, n取什么整数，等式a （三）2+b （-） +c=0都不成立.H IT即假设方程有一个有理数根是不成立的.当a, b, c都是奇数时，方程 ax2+bx+c=0 （a4）没有有理数根故：正确故填：.点评：此题主要考查了一元二次方程整数根的求法以及完全平方数和数据的奇偶性，题目难度不大.9. （5分）已知关于x的一元二次方程 x2+ （2a-1） x+a2=0 （a为整

13、数）的两个实数根是 xi、x2,则考点：根与系数的关系。专题：综合题。分析：因为原方程又两个实数根，那么根据根的判别式=b2- 4ac,可求出a的取值范围a2 ,而arfl为整数，那么就有 a<0,再根据根与系数的关系可得 xi+x2=-上=1 - 2a，xix2=a2，所求 的式子直接求不好求，就求它的平方，展开后，再把代入，计算即可.解答:解：根据题意得xi+x2= -=1 - 2aCD, xix2J=a2， aaH =b2- 4ac=- 4a+i 池即a，4又二 a为整数, a5s0)又(亚小？ 2=xi+x2-2j“ ,=12a-2符,而 a磷,(在短 2=1 - 2a- 2 (

14、 - a) =1 ,点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号 的变化关系.二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）2. （4分）已知a, b为质数且是方程 x2T3x+c=0的根，那么日卡的值是（）A. 127B. 125C. 123D. 12122222222考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：由韦达定理得出关于 a, b的关系式，结合质数性质求出a、b、c的值即可.解答：解：:a, b是方程x2- 13x+c=0的根，a+b=13, ab=c,又; a, b为质数，1. a=2, b=11 或 a=11, b=2 , c=22,.也

15、科因+上=,挚.色工2 11 22a, b为质数直接得出a, b的值.故选B.点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据 三、解答题（共12小题，满分91分）3. （8分）试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+ （r+2） x+r - 1=0有根且只有整数根.考点：一元二次方程的整数根与有理根。分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论.当r4时，由根与系数关系得到关于 r的两个等式,消去r,利用因式（数）分解先求出方程两整数根.解答.解：（1）若r=0, x=工，原方程无整数根;2(2)当 r0 时，x1+x2= -,x1x2 =消去 r 得：4xix2-2 (xi+x2)

16、 +1=7, 即(2xi 1) (2x21) =7,7=1 X7= ( - 1) X( 7),2xr- 1=12 X 2 -解得x 2一4r=2口 一7 2i2- 11同理得：r=使得关于x的方程rx2+ （r+2） x+r - 1=0有根且只有整数根的点评：本题主要考查了二次方程的整数根与有理根.在解答此题时，利用了二次方程的根与系数的关系.4. (8分)当m为整数时，关于 x的方程(2m-1) x2- (2m+1) x+1=0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由.考点：根的判别式。分析：先计算出并且设 =(2m+1) 2-4 (2m - 1) =4m2-4m+5= (2

17、m T) 2+4=n2 (n 为整数)，整系数方程有有理根的条件是为完全平方数.解不定方程，讨论m的存在性.变形为(2m- 1)2-n2=4, (2m- 1-n) (2m-1+n) =4,利用m, n都为整数进行讨论即可.解答：解：当m为整数时，关于 x的方程(2m-1) x2- (2m+1) x+1=0没有有理根.理由如下：当m为整数时，假设关于x的方程(2m- 1) x2- (2m+1) x+1=0有有理根，则要=b2-4ac为完全平方数，而4 = (2m+1) 2-4 (2m-1) =4m2 - 4m+5= (2m-1) 2+4,设 =n2 (n 为整数),即(2m T ) 2+4=n2

18、 ( n 为整数),所以有(2m - 1 - n) (2m - 1+n) = - 4,2m - 1与n的奇偶性相同，并且 m、n都是整数，所以102或心” n己，2mT+n=-2 2ib _ l+n=2解得m=1或m=-(都不合题意舍去).222m-1=0时，m=(不合题意舍去).r恸所以当m为整数时，关于 x的方程(2m-1) x2- (2m+1) x+1=0没有有理根.点评：考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a为)根的判别式为 =b2- 4ac. 4加2 - 4ac为完全平方数是 方程的根为有理数的充要条件.同时考查了不定方程特殊解的求法.考点： 卜析:点评:5. (8分)若关于

19、x的方程ax" 2 (a-3) x+ (a- 13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值.一元二次方程的整数根与有理根。因为根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去 a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于 a的一次方程.1316K13 - 6x解:a=x2-2x+1 (x-1 ) 2解得：-6寂磴且x月，x=-6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 2分别代入式得：a=1,堂，里，W1,坐，13, 1.3 25 1 94因为分数不合题意舍去，故a=1, 13.a与x之间的函数关系.非负整数a的值是1, 13.此题主要考查了一

20、元二次方程整数解的有关知识，关键是确定10. (8分)设m为整数，且4V m<40,方程x2-2 (2m-3) x+4m2- 14m+8=0有两个不相等的整数 根，求m的值及方程的根.考 一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-公式法。点：专计算题。"II分_ b+厂二析：根据求根公式可知：x=二四三二（2m-3） 电薪T,根据4vmv40可知m的值为122a或24,再把m值代入求解即可.解 解：解方程 x2 - 2 （2m 3） x+4m214m+8=0 ,得答：.i金2 （加一3）+VC-2（2d-3） 2-4xix （4 it2 - 14nri-8）/力 小.f 泰

21、工=（2m - 5 ） 土 也/ 1，.原方程有两个不相等的整数根，2m+1为完全平方数，又m为整数，且4vmv40, 2m+1为奇数完全平方数， .2m+1=25 或 49,解得 m=12 或 24.，当 m=12 时，i=24 - 3+12+1=21 土 5 , X1=26 , x2=16;当 m=24 时，产48-3土寸而亦=45± T,工式52, x2=38 -点 本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程.方程ax2+bx+c=0的解为x=12m.要注意根据实际意义进行值的取舍.2a11. （7分）已知关于x的方程a2x2- （3a2-8a） x+2a

22、2- 13a+15=0 （其中a是非负整数）至少有一个 整数根，求a的值.考占、7L二次方程的整数根与有理根；解7L二次方程-公式法。题:分析:探究型。由题意 至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根， 另一种是一个是整数根， 一个不 是整数根.我们也可以把它的两个根解出来.解解：因为a肛所以x1,答:2=（3a2一以）±J （3”一苑）（2/一13a+E2a2所以x1 =3a2 - 2a+ ( a2+2a)=23x2=3a2- 8a- ( a2+2ai2=1所以只要a是3或5的约数即可，即 a=1, 3, 5.点此题只要根据二次方程的求根公式求出方程的解的表达式，逐步试解

23、即可得到正确答案，此评：题重在考查学生的探究意识.12. (6分)求使关于x的方程kx2+ (k+1) x+ (k-1) =0的根都是整数的k值.考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：分k=0和k为两种情况讨论.当k=0时，所给方程为x - 1=0,有整数根x=1 .当k4时，所给方程为二次方程，根据根与系数的关系即可求出 是否符合题意即可.k的值，然后用4> 0验证k解答：解：分k=0和k为两种情况讨论.当k=0时，所给方程为x - 1=0,有整数根x=1 .当k4时，所给方程为二次方程.设两个整数根为X1和x2,则有由-得x1+x2-x1x2= - 2? (x1-1) (x2-1

24、) =3.=1 >3= (T) X ( 3).町 一1二1叼一L 二 3二-12一1二一3故 X1+X2=6 或 x1+x2= -2,即-1 -=6 或-1 - = - 2.解得k=-工或k=1.= (k+1) 24k (k1) =- 3k2+6k+1 ,当 k=,或 k=1 时，都有> 0.所以，满足要求的 k值为k=0 , k=",k=1 .点评：本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是运用根与系数的关系根据题意进行求解，不要 忽视考虑k=0的情况.13. (6分)当n为正整数时，关于 x的方程2x2-8nx+10x - n2+35n - 76=0的两根均为质数，试

25、解此方考点：一元二次方程的整数根与有理根；质数与合数。专题：特定专题。分析：利用根与系数的关系，得出两根的关系，利用特殊值求出方程的根.解答：解：设两质数根为 x1, x2,则x1+x2=4n - 5为奇数，x1, x2,则必一奇一偶,不妨设x1=2,代入原方程得：n2- 19n+48=0,解得：ni=i6, n2=3,当 n=16 时，X2=57；当 n=3 时，X2=5 .点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及指数的定义，综合性较强.14. (6分)设关于x的二次方程(k2-6k+8) x2+ (2k2-6k-4) x+k2=4的两根都是整数.求满足条 件的所有实数k的值.考点：

26、解一元二次方程-公式法。分析：，、.2- k b-u1? . 求出一根 xi=x2=,从中消去 k得xix2+3xi+2=0,分解得 xi (x2+3) =-2.借助方k-42-k程组得k=6, 3,3解答:解：原方程可化为(k4) (k2) x2+ (2k26k4) x+ (k 2) (k+2) =0, (k 4) x+ (k-2) (k - 2) x+( k 4) ( k 2)(k+2) =0. xi= - 1 - k - 4'_.4x2= 一 1-；k - 4=(xi#i)k- 2=由消去k,得xi?x2+3xi+2=0.xi (x2+3) = - 2.由于xi, x2都是整数.

27、勺二X 23-11=1广 3二-22+3=-l二-5二 1x1 =2町二-4k=6, 3,经检验，k=6, 3,也满足题意. 点评：本题方程整理成关于 x的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为0是隐含的条件，应考虑.将参数k用方程两根表示并最终消去参数k是解题的关键.15. (6分)已知a是正整数，且使得关于 x的一元二次方程 ax2+2 (2a-i) x+4 (a-3) =0至少有 个整数根，求a的值.考点：一元二次方程的整数根与有理根；解一元二次方程-因式分解法。分析：首先将原方程变形为(x+2) 2a=2 (x+6),进而分析x+2,以及a的取值，得出所有的可能结果.解答：解：将原方

28、程变形为(x+2) 2a=2 (x+6).显然x+2加，于是a手*+6)Ck+2) ”由于a是正整数，所以am,即二D 夫Cx+2) 3所以x2+2x - 8知，(x+4) (x-2)4，所以-4a磴(xA 2).当 x= -4, 3, 1, 0, 1, 2 时，得 a 的值为 1, 6, 10, 3,包，19a=1, 3, 6, 10说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4, 2;当a=3, 6, 10时，方程只有一个整数根.综上所述，当a=1, 3, 6, 10时，关于x的一元二次方程ax2+2 (2a- 1) x+4 (a-3) =0至少 有一个整数根.点评：此题主要考查了在关于

29、 x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解，题目比较典型.16. (6分)已知p为质数，使二次方程 x2-2px+p2-5p-1=0的两根者B是整数，求出 p的所有可能值.考点：根的判别式。专题：计算题；分类讨论；判别式法。分析：由于二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两根都是整数，所以其判别式为完全平方数，然后利用完全平方数的性质和整数的性质进行分析，也结合p为质数分析得出p=3或7,然后即可得到方程的形式，利用方程分析所求p值是否成立即可解决问题.解：已知的整系数二次方程有整数根，.=4p2- 4 (p2-5p-1) =4 (5p+1)为完全平方数，从而，5p+1

30、为完全平方数设5p+1=n2,注意到p或，故nN,且n为整数5p= ( n+1) (n T),则n+1 , n- 1中至少有一个是 5的倍数，即n=5k土(k为正整数) . 5p+1=25k2±10k+1 , p=k (5k,由p是质数，5k受 1,k=1 , p=3 或 7当p=3时，已知方程变为 x2- 6x- 7=0,解得x1= - 1, x2=7;当p=7时，已知方程变为 x2- 14x+13=0 ,解得x1=1 , x2=13所以p=3或p=7.此题主要考查了一元二次方程的判别式及方程的整数根的性质，比较难，对于学生分析问题, 解决问题的能力要求比较高，是一个竞赛题，平时注

31、意训练.17. (12 分)已知方程x2+bx+c=0 与 x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2,和x1',x2',且x1x2>0,x1' x2' >0.(1)求证：x1<0, x2<0, x1' V0, x V0；(2)求证：b - 1 <b+1;（3）求b, c的所有可能的值.考点：一元二次方程的整数根与有理根；根与系数的关系。专题：计算题；分类讨论。分析：（1）分类讨论，根据 X1X2>0, X1' X2' >0知道X1与X2同号，然后利用根与系数的关系求出 矛盾，得到正确的结果；（2

32、）分别证明b - 16和c巾+1,利用根与系数的关系和整数根；（3）根据（2）中b- 16。+1,分别另c=b+1、b、b-1进行求解，从而得到所有正确的结果.解答：解：（1）由X1X2>0知，X1与X2同号.若 X1>0,贝U X2>0,这时b=X1+X2>0,所以b<0,此时与b=Xf X2' >0矛盾，所以 X1V0, X2<0.同理可证X/ v 0, X2' V 0.（2）由（1）知，X1 v 0, X2V0,所以 X1<- 1 , X2<- 1 .由韦达定理 c- （b- 1） =X1X2+X1+X2+1=（X1 + 1）（X2+1）可，所以c巾-1 .同理有 b - （c 1） =X1 z X2&