一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用

1、学习必备欢迎下载一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1 .掌握一元二次方程根的判别式的应用.2 .掌握一元二次方程的根与系数的关系.【主体知识归纳】1 . 一元二次方程的根的判别式：b24ac叫做一元二次方程ax2+ bx+ c=0 (aw0) 的根的判别式.通常用符号来表示.2 .对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0),当A 0时，方程有两个不 相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当 A0,不要丢掉等号.5 .利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：(1)二次项系数aw0,即保证是一元二次方程；(2)由于我们目前只研究实数根的问题， 故还要考

2、虑实数根存在的前提，即:2b -4ac06 .判别式有以下应用：学习必备欢迎下载(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明.根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。【例题罗列】根的判别式类型1:不解方程，判别下列方程的根的情况：(1) 3x2 2x1 = 0;(2) y2= 2y 4;(3) (2k2+ 1) x2 2

3、kx+1 = 0；(4) 9x2 (p+7) x + p 3 = 0.(系数中有字母的情况)解：(1) =公二(-2) 2-4X3X (1) =4+120,原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程就是 y2 2y+4=0. = A = (-2) 2 4X 1X4=4160, .原 方程无实数根.(3) v2k2+ 1*0, 原方程为一元二次方程.又= = (2k) 2 4 (2k2+1) X1 = 4k2 40,即 A 0,原方程有两个不相等的实数根.升级：如果关于x的方程x2+2x = mn 9没有实数根，试判断关于y的方程y2 + my- 2mH 5 = 0的根的情况.学习必备欢迎下载这是

4、一类需要自己找出隐含条件的题解： 2+ 2x- nn- 9=0 没有实数根，. Ai = 22 4(mi- 9)=4mH 40 0, 即 m 10.又 y2 + my- 2mH 5 = 0 的判断式 A 2,卜2= n2-4(-2nm- 5)=m2+ 8m- 20当 m0,即0.方程y2+my-2m 5= 0有两个不相等的实数根.类型2:1 .已知关于x的一元二次方程(k1)x2+ 2kx+k + 3 = 0. k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3)方程没 有实数根？解：A=(2k)2 4 (k-1) (k+3) =8k+12.当一8k+120,

5、且k1金0,即k：且kw1时，方程有两个不相等的 实数根；(2)当一8k+12=0,且k1 即k=:时，方程有两个相等的实数根；(3)当一8k+12：时，方程没有实数根.说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数 不等于零.2 .已知a、b、c是4ABC的三边，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相 等的实数根，则此三角形为()A、等腰三角形B 、等边三角形C、直角三角形 D、斜三角形看到有两个相同的实数根立即判断应用根的判别式解：原方程可化为(a+c) x2+2bx+a-c = 0, A=(2b)2 4 (a+c) (a-c)= 0得到a2=b2+

6、c2,因此此三角形为直角三角形。升级：已知关于x的方程x2+(2m+1)+m+2=0有两个不相等的实数根，试判断直线y=(2m-3)x-4m+7能否通过点(-2 , 4),并说明理由这是与一次函数相结合的题目解：一元二次方程有两个不相等的实数根 A = (2m+1)2 4 (m2+2) =4m-60,学习必备欢迎下载即 m 3 o293如果直线 y=(2m-3)x-4m+7 能通过点(-2 , 4) m=- 0, (b-c)20, (c-a)20.A =8 (a b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 0方程必有实数根.(2)已知方程x2+2x=k-1没有实数根。求证：方程 x2+kx=1-

7、2k有两个不相等的 实数根。也是一类需要自己找出隐含条件的题解：第一个方程 A =22 4X(-k+1) 0 即 k 0第二个方程 A=k2 4X(-1+2k)= k2-8k+4= (k-4) 2-16 在 k 0的情况下必大于0根与系数的关系类型1;如果x =2是方程x2 - kx - k -5 = 0的一个根，求k的值，并求出方程另一个根。解：设另一个根为B,据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组22 -2k -k -5 = 02P = -k 5,(或2 + P = k)即有学习必备欢迎下载解这个方程组，得kJ33类型2求作以方程3xi 2 -x-i =0的两根的负倒数为根的一个一

8、元二次方程。解设方程3x2 - x-1 = 0的两根为xi, x2,则i1x1 +x2 =，x1 . x2 =33.所求方程两根为Xi1 Ox2xix2xx2x1x2xiX2xx2设方程4x2 7x3 = 0的两根为 x1, x2,不解方程，求下列各式的值:(xi -3)(x2 -3)(2)xi3 x；(3) x1 1x21(4)xi - x2其关键是将它们用xi+x2,xi x2表示出来，如何表示呢？常用的变形有:解(1)x12 +x； =(xi +x2)2 -2xix2;(x -x2)2 =(x1 +x2)2 -4x1x2；学习必备欢迎下载工;2；XiX2X1X22(4)( Xia)(x2

9、a) = X1X2 a(xX2) a (5)x33 X3 =(X1 X2)(X2 X1X2 X2)=(X3 X2)(X3 X2)2 -3X3X23(X1 X2 )- 3X3X2 ( X1X2)由根与系数的关系可得：73X3 +X2 = 一， X3X2 =-44(X3 - 3)(x2 - 3) = X3X2 - 3(X3 X2) 93 c 7 c=3 X 494 4=3(2)X33 X3 =(X3X2)3 -3X3X2(X3 X2)7 3,3、7=(一)3X()X -444595一赢(3) X2X3= X2(X21) X3(X3 1)x3 3x2 1(x3 1)( x2 1)(Xi X2)2 -

10、2x3X2 (X3 X2)X1X2 (X1 X2)3(：)2 -2X($+7 _ 444二 10132(4)x3 -X2 = J(x3 -X2)2= V(x3 +X2)2 -4x3X2学习必备欢迎下载= 1 J974类型41 .已知关于x的一元二次方程：x2 +2(m -2)x +m2 +4 = 0的两个实数根的平方和比这两根的积大84 ,求：实数m的值。这一块很容易和根的判别式结合在一起解设方程两根为x1，x22 .x +x2 = -2(m -2), x x2 = m2 +4由题意可得：x2 + x2_ x1x2= 84 即：(x1+x2)2- 3x1 x2=84-2(m -2)2 -3(m

11、2 +4) =84. 1Tli =20, m2 = -4 22- =2(m2) -4(m +4) = 16m20 . . m 0,. 4(m + 1)2 +12 0此方程有两个不相等的实数根。(2)设：方程的两根为 x1，x2,则x1+x2=2mx1 x2 = -2m -4,又|x1 -x2| = %/(x1 + x2)2 -4x1x2= 2.(m 1)2 3 : 4得（m +1）2 =1,解得 D = 0, m2 = -2 ,故学习必备欢迎下载当m = 0或m = 2时，方程两根之差的绝对值等于 4。升级：已知：关于x的方程：x 13. : k 一 8；k的整数值为0, 1类型5已知x1,

12、x2是关于x的一元二次方程 4x2 +4(m - 1)x + m2 = 0的两非零实数根，问x1与x2能否同号？若能同号，请求出相应的 n的取值范围；若不能 同号，请说明理由。解：因为关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x + m2 =0有两个非零实数根，则有 = I4(m-1)2 -4x4m2 =-32m+160, _3x + 2k -1 = 0的两个实数根的平方和不小于这12k两个根的积，且反比例函数y=1；2k的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，求满足上述条件的 k的整数值。与反比例的结合解关于x的方程x2 _3x +2k -1 = 0有两个实数根。13. . . ：

13、= -32 -4(2k-1) -0,解得 k 三13 8设方程两根 x1, x2, ： x1 + x2 = 3, x1 x2 = 2k - 1.222. x1 + x22 x1x2 (x+ x2)- 3x1x2 0,k 0,即k a 2学习必备欢迎下载又x1, x2是方程4X2 +4(m 1)x +m2 = 0的两个实数根，所以由一元二次方程 一 -12根与系数的关系，有：x1 +x2 = -(m-1), x1 - x2 = m。4假设x1、x2同号，则有两种可能：(1)xi 0, x2 0, x2 0若x1 0, x2 0,贝|J有x1x20x1x20-(m-1) 0即有f 1 2解这个不等

14、式，得m1且mw0m 04即：当mW二且mw0时，原方程两根能同号。2若x1 0, x2 0,贝U有x1x2 : 0xx20千(m-1):二 0 即有1m2 .0解这个不等式，得： m 1o而mM1时方程才有实数根，所以此种情况不存在。2综上所述：当m0,得 me 2 .学习必备欢迎下载(2); Xi, X2为 x2 + 2 (mi- 1) x + m= 0的两根，1 y = xi + X2 = - 2m+ 2 ,且 me 2 .1因而y随m的增大而减小，故当m= 2时，取得最小值1.2 (2001年湖北省荆门市)已知关于x的方程x2_(k+2)x+2k=0 ,(1) 求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形 ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求 A