2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(文科)(一)(3月份)

1、（一）2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）i是虚数单位，复数z满足（1 i）z 1 3 ,则z （）A. 1 2iB. 2 iC. 1 2iD. 2 i2. （5 分）已知集合 A x|y lg（x 3）, B x|x, 5,则 AUB （）A. x|3 x, 5 B. x|x- 5C. x|x 3D. R3. （5 分）设 x R,则“ x-O'是 " |x 1|, 1" 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C

2、.充要条件D.既不充分也不必要条件4. （5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年 1月份的平均值第3页（共21页）5.（5分）在递增等比数列aj中，a1

3、 a 10, a-4,6.A. 219B.220C. 29D. 210(5分)r r ,平面直角坐标系 xOy中，i、j分力1J是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向,以下说法正确的是（）rA. |a| |b|r r r B. (a b) bD.r ra / /b7. （5分）已知sin3-,且 为第二象限角，则tan（254)19A .55B.19C.-117D.17-18. （5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为10. （5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2020C.D.B.D.220201A. 240B. 264C. 274D. 282F22 X11. （5分）

4、已知Fi , F2分别为双曲线 E:-2 a2y-r 1（a 0,b 0）的左，右焦点.过右焦点 b的直线l:x y c在第一象限内与双曲线 E的渐近线交于点P ,与y轴正半轴交于点 Q,且点P为QF2的中点， QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为（）2 x A . 22x 2B. y 1222xyC. 14412. (5 分)若f（x）函数满足f（x2)2 f (x),当 x (0,2)时,22x yD. 1431f (x) lnx ax(a ),当x ( 4,2）时，f（x）的最大值为,则实数a的值为（二、填空题:B. eC. 2D. 1本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填

5、在答题卡中对应题号的横线上.113. （5分）曲线y 1在点（1,1处的切线方程为 .14. （5分）在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1, 2, 3, 4, 5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 .15. （5分）记&为数列a。的前n项和.若& 2an 1,则& .16. （5 分）平面四边形 ABCD 中，A 60 , AD DC, AB J3 , BD 2 ,则 BC 的最小长度为.三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要

6、求作答 .（一）必考题：共 60分.17. (12分)2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15, 35)和35, 75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有 40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”白人数之比是2:1 .(I )求图中

7、a , b的值；(n )现采用分层抽样在 25 , 35)和45 ,55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人,求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少?(m)根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并根据此统计结果判断：能否有 99.9%的关注不关注合计青少年人中老年人合计把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？2(参考公式：K2皿M,(a b)(c d)(a c)(b d)其中n a b cd)nn 1n 1 ,2an)2 (n(1)求a- a2和，的通项公式;(2)记数列 kn的前n项和为Sn ,若Sn,对任意的正整数n恒成立，求实数 k的取第7页(共21页)值范围.19.

8、 (12分)如图，在四B隹P ABCD中，PC 平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD为梯形，AB/CD, AD CD, AD CD PC -AB . 2(1)证明CM /平面PAD .(2)若四棱锥P ABCD的体积为4,求点M到平面PAD的距离.产20. (12 分)已知函数 f(x) ex m ln(x 2) ax(x 2) m ,(I)若a 0,且f( 1)是函数的一个极值，求函数f(x)的最小值；(n)若 a 0,求证： x 1, 0, f(x> 0.22.一 x y121. (12分)已知椭圆E:E：f 2T 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1 , F2,离心率为一，

9、 a b2动点P在椭圆E上， PF1F2的周长为6.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PF?与椭圆E的另一个交点为 Q,过P, Q分别作直线l：x t(t 2)的垂线， 垂足为M , N, l与x轴的交点为T .若四边形PMNQ的面积是 PQT面积的3倍，求直 线PQ斜率的取值范围.刀，(二)选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程 xa cos .,22. (10分)在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数万程为(a b 0, 为y bsin ,参数)，且曲线C上的点M(2,J3)对应的参数,以O

10、为极点，x轴的正半轴为极轴建3立极坐标系.(1)求曲线C的普通方程和极坐标方程;AB交AB于点M ,求证：点M(2)若曲线C上的A , B两点?黄足 OA OB,过O作OM在以O为圆心的定圆上.选彳4 4 5:不等式选讲(本小题满分。分)23. 设f(x) 3| x 1| |x 1|的最小值为k .1m2(1)求实数k的值;(2)设 m , n R, m 0, m2 4n2 k ,求证:2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（文科）（一）（3月份）参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）i是

11、虚数单位，复数z满足（1 i）z 1 3 ,则z （）A. 1 2iB. 2 iC. 1 2iD. 2 i【解答】解：由（1 i）z 1 3i ,得 z S （1 3i）（1 i） 2 i , 1 i （1 i）（1 i）故选：B .2. （5 分）已知集合 A x|y lg（x 3）, B x|x, 5,则 AUB （）A. x|3 x, 5 B. x|x- 5C. x|x 3D. R【解答】解：集合A x|y lg（x 3） x|x 3nB x|x, 5,则AUB R.故选：D .3. （5 分）设 x R,则“ x-0” 是 “ |x 1|, 1" 的（）A .充分不必要条件B

12、 .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：Qx R,由x-0,不一定得到|x 1|,1;反之，由|x 1|, 1 ,得1娥1 1,即Cf lx 2 .“x-0”是“ |x 1|, 1"的必要不充分条件.4. （5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统 计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息 关注度也越高.如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的 走势图.A.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度

13、不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年 1月份的平均值【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年 1月份的平均值，故D正确.故选：D .5. （5分）在递增等比数列an中，3 a 10, a3 4,则加 （）A.

14、 219B. 220C. 29D. 210【解答】解：根据题意，数列an为递增等比数列，设其公比为 q,42右现 a5 10, a34,则有4q 10,q解可得：q2 2或1,2又由数列an为递增等比数列，则 q2 2,故选：D .r r6. （5分）平面直角坐标系 xOy中，i、j分别是与x轴、y轴正万向同向的单位向量，向r r r r r量a 2i , b i j ,以下说法正确的是 （）r rA. |a| |b|B.r r r (a b) bC. a* 1r rD. a/b解：平面直角坐标系xOy 中,r r , 一， i、j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,向量ar 可得a(2,

15、0)(1,1),所以|1| 2,r|b|A不正确;r ra b (1, 1)r(1,1)，(ar rb)力0 ,所以r(ar rb) b正确;r r -ag) 2 ,所以r r a/b不正确；C不正确;7. （5分）已知sin3日5'且为第二象限角,tan(2 -)(costantan 2tan(21958.519C.311717D.31解：Q sin1 sin3日5'且45，为第二象限角,sincos2tan1 tan22477)tan 2117一 ,1 tan2 31第11页（共21页）8. （5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. 220191B. 220192C

16、. 220202D. 220201【解答】解：函数y 3cosx e|x|是一个偶函数,且当 x 0时，函数值为2,故可排除C ,环结构计算并输出变量【解答】 解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循S 2 22 2322019 的值，20192320192(12)2020由于 S 2 222 22 .1 2故选：C .1x1 一9. （5分）函数y 3cosx e的图象可能是（又当x 0时，y 3sinx ex 0,即函数在（0,）上是减函数，由此排除 AD ,故选：B .10. （5分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）第13页（共21页）A. 240D. 282【解

17、答】解：几何体是以俯视图为底面的五棱柱,底面看作是边长为6的正方形与一个所在组成，如图:则该几何体的表面积为： （10 6 6 3 5）4 264.2分别为双曲线E：与 a2与 1(a 0,b b0）的左，右焦点.过右焦点 F2的直线l:x y c在第一象限内与双曲线 E的渐近线交于点P ,与y轴正半轴交于点 Q,且点P为QF2的中点， QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为（）22A. L L 1 B.222【解答】解：双曲线E:x2a2 x22 y b2l(a10,b0）的一条渐近线方程为22D.工 上 143by -x,a第15页（共21页）代入直线x y c,可得P（上，X）, a

18、b a b且 Q(0,c), F2(c,0),2ac 2bc点P为QF2的中点，可得c a b a b可得a b ,， _ 1 QFi F2 的面积为 4,即-g2ccc 4 ,2解得c 2, a b 盘,22则双曲线的方程为上上1.2212. (5分)若f (x)函数满足f(x2) 2 f (x),当 x (0,2)时,1f (x) Inx ax(a ),当x ( 4, 2)时，f(x)的最大值为1-,则实数a的值为(4A. 3B. eC. 2D. 1故选：A.1 1【解答】解：由已知得：f(x) - f(x 2) 1f(x 4),2 41 当 x (0,2)时，f (x) Inx ax(a

19、 -),2设 x ( 4, 2)时，则 x 4 (0,2), f(x 4) ln(x 4) a(x 4)x ( 4, 2)时,1 .11f(x) f (x 4) ln(x 4) a(x 4) 444f (x)1 a4(x 4) 41 a(x 4)4(x 4)11(x 4 -) aa4(x 4)Qa21(4-)2 ,a,1一，、一、，当4 x 4时，f (x) 0 ,函数f(x)单倜递增, a2时，f (x) 0 ,函数f (x)单调递减,f(x)max,1f(- 4) a一1n(一)1 1 ag-4 a二、填空题:本大题共线上.113. （5分）曲线y 在点（1,1处的切线万程为 _x y 2

20、 0 x【解答】解：由题意得，y :， x在点（1,1处的切线斜率k 1,则在点（1,1处的切线方程是：y 1 （x 1）,即x y 2 0.故答案为：x y 2 0.14. （5分）在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1, 2, 3, 4, 5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为2 .5 -【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2, 3, 4, 5的五本书，某同学从中任意选出 2本书,基本事件总数n C2 10,选出的2本书编号相连包含的基本事件有：（1,2）, （2,3） , （3,4） , （4,5）,共 4 种，选出的2本书编号相连的概率为

21、p 2 .10 5故答案为：2 .515. （5分）记&为数列a。的前n项和.若& 2， 1,贝U & _ 63【解答】解：Sn为数列an的前n项和，Sn 24 1,当 n 1 时，a1 2a1 1 ,解得 a11 ,当n2时，& 1 2, 1 1 ,，由可得an 2an 2an 1 ,an 2an 1 ,an是以1为首项，以2为公比的等比数歹U,S61 (126)1 263 ，故答案为：6316. （5分）平面四边形 ABCD中,A 60 , AD DC , AB 73 , BD 2 ,则 BC 的最小长度为【解答】解：在 ABD中，由正弦定理得:即马一史，解

22、得$所adb 3 ,3 sin ADB42又 ADC 90 ,BD AB , sin A sin ADBsin BDCcos ADB过B作BH CD , H为垂足，则BHBD sin BDCBC的最小值为2 .第19页(共21页).第17-21题为必考题,三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17. （12分）2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人 民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开.为了了

23、解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在 1575岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15, 35）和35, 75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21.其中“青少年人”中有 40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和 不关注“两会”白人数之比是 2:1 .（I ）求图中a , b的值；（n）现采用分层抽样在 25, 35）和45, 55）中随机抽取8名代表，从8人中任选2人， 求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？（出）根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并根据此统计结果

24、判断：能否有 99.9%的关注不关注合计青少年人中老年人合计2(参考公式：K2 (a b)(； d)(a c)(b dn a b C d)(b 0.03) 10【解答】解：(I)由题意得(a 0.02) 1040 ,解得21400.03250.0175(n)由题意得在25, 35)中抽取6人，记为 A , B , CD , E , F ,在45, 55)中抽取2人，记为12.则从8人中任取2人的全部基本事件 (共28种)列举如下:AB, AC, AD , AE, AF ,记2人中至少有CF,C1 , C2, DE , DF , D1 ,E2 , F1, F21个是“中老年人”12,1328(m

25、) 2 2列联表如下关注不关注合计青少年人405595中老年人7035105合计11090200-22200(40 35 55 70)K 12.157 10.82895 105 110 90所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”18. (12 分)已知数列 满足 1(ai 2a22n 1aJ 2n 1(n N*).n(1)求a1 , a2和an的通项公式;(2)记数列a。kn的前n项和为0 ,若Sn, S4对任意的正整数n恒成立，求实数 k的取值范围.【解答】解：(1)由题意得a1 2a22n 1an ng2n 1 ,所以：01 1 22 4,3a1 2a2 2

26、23.解得：a2 6. n 1n 1由 a 2a22 an n求，所以 a1 2a22n 2an 1 (n 1)求n(n2),相减得 2n1an ng？n1 (n 1)。，得an 2n 2, n 1也满足上式.所以an的通项公式为an 2n 2 .(2)数列an kn的通项公式为：an kn 2n 2 kn (2 k)n 2说以：该数列是以4 k为首项，公差为2 k的等差数列，若Sn, &对任意的正整数n恒成立，等价于当n 4时，&取得最大值，所以 a4 2k 4(2 k) 2 0a5 2k 5(2 k) 2, 0解得 121(Jk .52所以实数k的取值范围是5.5 ,219

27、. (12分)如图，在四B隹P ABCD中，PC 平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD1为梯形， AB/CD, AD CD , AD CD PC AB.2(1)证明CM /平面PAD .(2)若四棱锥P ABCD的体积为4,求点M到平面PAD的距离.【解答】 证明：(1)如图，取PA中点E,连接DE , ME .QM是PB中点，一1，一1ME/AB, ME AB.又 AB/CD, CD AB, 22ME/CD, ME CD .四边形CDEM为平行四边形.DE/CM .Q DE 平面 PAD , CM 平面 PAD ,CM /平面 PAD .(2)设 AD x,贝 UCD PC x, AB

28、 2x,Q底面ABCD为直角梯形，PC面 ABCD ,四棱锥P ABCD的体积为2(x2x)gx2由CM / /面PAD知，点M到平面PAD的距离等于点C到平面PAD的距离.过C作CF PD ,垂足为F ,由PC 平面 ABCD,得PC AD ,又 AD CD , AD 面 PCD,Q CF 平面 PCD, AD CF , CF 面 PAD .Q PC CD 2 , PC CD , CF 72 .点M到平面PAD的距离为五.AR20. (12 分)已知函数 f(x) ex m ln(x 2) ax(x 2) m ,(I)若a 0,且f( 1)是函数的一个极值，求函数f(x)的最小值;(n)若

29、a 0,求证： x 1, 0, f(x> 0.第23页(共21页)【解答】解：(I)f(x) ex m ln(x 2) ax2 2ax m ,定义域为(2,),1f (x) ex m 2ax 2a ，x 2由题意知f ( 1) 0,即em(x0 1)2可知 f(x)minf(%) e"ln(5 2) m x 0,x02x0 2所以f(x) 0 ;综上得：x 1 , 0, f(x)-0. 1 0,解得：m 1,所以 f(x) ex1 ln(x 2) ax(x 2) 1 ,_x 11_f (x) e 2ax 2a ,x 2又 y ex1、y> y 2ax 2a(a 0)在(2

30、,)上单调递增，x 2可知f (x)在(2,)上单调递增，又f ( 1) 0,所以当 x ( 2, 1)时，f (x) 0 ;当 x ( 1,)时，f (x) 0,得f(x)在(2, 1)上单调递减，f (x)在(1,)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f( 1) 1 a 1 a;1(II )若2 0,得 f(x) exm ln(x 2) m, f (x)ex m , x 2由f (x)在(1,0)上单调递增，可知f (x)在(1,0)上的单调性有如下三种情形：当f (x)在(1,0)上单调递增时，可知f (x) -0,即f ( 1)-0,即em 1 10,解得： 叶1,m 1m 1m 1

31、f( 1) e m,令 g(m) e m ,则 g (m) e T 0 ,所以 g(m)单调递增，g(m)- g (1)0 ,所以 f(x)W( 1) g(m) 0；当f(x)在(1,0)上单调递减时，1可知 f (x), 0,即 f (0), 0,即 em ，0,解得：m,ln2,2得 f(0) em ln2 mem ln2 ln2 em 0 ,所以 f(x) -f(0) 0；当f (x)在1, 0上先减后增时，得 f (x)在1, 0上先负后正，1所以x0( 1,0), f(x0)0 ,即e",取对数得x0mln(x?2),x 22221. (12分)已知椭圆E:E:x2 与1(

32、a b 0)的左、右焦点分别为Fi , F2 ,离心率为-, a b2动点P在椭圆E上， PF1F2的周长为6.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线PF2与椭圆E的另一个交点为 Q,过P, Q分别作直线l:x t(t 2)的垂线,垂足为M , N, l与x轴的交点为T .若四边形PMNQ的面积是 PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围.【解答】解：(1)因为P是E上的点，且F- F2为E的左、右焦点，所以|PFJIPF2I 2a,又因为|F1F2 | 2c, PF1F2的周长为6,所以2a2c 6,又因为椭圆的离心率为1 ,所以£E的方程为22上匕1.43(2)依题意，直线(4分)PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为22 y 1由 43,消去 x 得：(3m2 4)y2 6myx my 10,设 P(X,y),Q(x2,y2)则有0且yV26m薪1耿9 3m2(7分)设四边形PMNQ的面积和 PQT面积的分别为则S1 3S2 ,又因为_1Si 2(t Xi) (t X2) |y1y2 |,S2i(t1) I Y1V2 |.所以1Kt2Xi)(t1 X2) |y1 y2| 3 2(t 1)