立体几何新题型

1、立体几何新题型11 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC 二 AD 二 CD AB = 2 , AB/DC , AD _ CD , PC _ 平 2面 ABCD.(1) 求证：BC _平面PAC ；(2) 若M为线段PA的中点，且过C,D,M三点的平面与线段 PB交于点N，确定点N的位置，说明理 由；并求三棱锥 A-CMN的高.2 在四棱锥P -ABCD中， ：PAD为正三角形，平面PAD _平面ABCD， AB /CD， AB _ AD， CD =2AB =2AD =4 .(I)求证：平面 PCD _平面PAD ；(n)求三棱锥 P - ABC的体积；(川)在棱PC上是否存在点E，使得BE

2、 / /平面PAD ?若存在，请确定点 E的位置并证明；若不存在, 说明理由.3 .如图， ABCD是边长为3的正方形， DE I平面ABCD , AF I平面ABCD , DE = 3AF = 3.EFC(1) 证明：平面 ABF /平面DCE ；(2) 在DE上是否存在一点 G ,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上下两部分的体积比为 3:11 ?若存 在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由.4.如图，在四棱锥 P -ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD /BC， ADC = 90，平面PAD -1 底面ABCD , Q为AD的中点， M是棱PC上的点， PA = PD , BC

3、AD .2(I)求证：平面 PQB _平面PAD ;1(H)若三棱锥 A-BMQ的体积是四棱锥P - ABCD体积的，设PM =tMC，试确定t的值.65.已知四棱锥P -ABCD中，底面为矩形，PA _底面ABCD , PA二BC = 1 , AB = 2 , M为PC上一点，M为PC的中点.p(1 )在图中作出平面 ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置(不要求给出理由)； (2)求平面ADM 将四棱锥P-ABCD分成上下两部分的体积比.6 .如图，四棱锥 PABCD的底面为菱形 且/ ABC= 120 ° , PA丄底面ABCD AB= 2, P4 J3 ,(1) 求证：平面

4、 PBDL平面PAC(2) 求三棱锥 P-BDC的体积。(3) 在线段PC上是否存在一点 E,使PCL平面EBD成立.如果存在，求出 EC的长；如果不存在，请说明 理由。7在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB = 3, AD = 2.2 , . ABC = 45 , P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE =2 ,BE =2EA，M在线段 CD 上，且 CM 二? CD 3D(I)证明： CE _平面PAB ；(H)在线段 AD上确定一点F,使得平面PMF丄平面PAB并求三棱锥P-AFM的体积.8如图，五面体 ABCDE中，四边形ABDE是菱形，ABC是边长为2的正

5、三角形， DBA = 60 ,(1)证明：DC _ AB ；(2)若C在平面ABDE内的正投影为H，求点H至序面BCD的距离.9.如图，在四棱锥P - ABCD中，侧面PAD _底面ABCD ,底面ABCD是平行四边形， ABC二45 ,AD =AP =2 , AB 二 DP =2、. 2 , E 为 CD 的中点，点 F 在线段 PB 上.(I)求证： AD _ PC ;1PF(H)当三棱锥 B - EFC的体积等于四棱锥 P - ABCD体积的一时，求的值.6PB10.如图，在四棱锥 P - ABCD 中， O AD , AD / BC , AB _ AD , AO = AB = BC =

6、 1, P0*2 , PC = 3(1)求证：平面POC _平面PAD ；若CD2，三棱锥P -ABD与C -PBD的体积分别为 乂 V2，求V的值.11 .如图,在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是正方形，PA _底面ABCD , PA二PB , E, F分别是PA,PB的中点.(1)在图中画出过点E,F的平面：，使得II平面PCD (须说明画法，并给予证明)；(2)若过点E, F的平面II平面PCD且截四棱锥P- ABCD所得截面的面积为 乞2，求四棱锥2P - ABCD的体积.使DP /1平面ABC ?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由参考答案1.（ 1）详见解析（2）

7、.2【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面 垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点N的位置，再利用等体积法进行求解 .试题解析：（1）连接AC，在直角梯形 ABCD中， AC = :AD2 DC2 =2、2，BC =J（ABCD 2 +AD2 =2屈，所以 AC2 +BC2 = AB2，即 AC 丄 BC .又 PC _ 平面 ABCD , PC _ BC，又 AC 一 PC = C，故 BC _ 平面 PAC .（2） N为PB的中点，1因为M为PA的中点， N为PB的中点，所以 MN /AB，且MN

8、AB = 2 .2又 AB/CDMN /CD，所以 M , N,C, D 四点共面， 所以点N为过C,D,M三点的平面与线段 PB的交点.1因为BC _平面PAC , N为PB的中点，所以N到平面PAC的距离d BC =.2又 Saacm =2s 也CP =22汉 achpc=J2，所以 Vncm =3过血汇 J2 = 3由题意可知，在直角三角形 PCA中，PA二，AC2 PC2 = 2、3 , CM,在直角三角形 PCB 中，PBBC2 PC2 =23 , CN 3，所以 Sqmn 2.A_Q设三棱锥 A -CMN 的高为 h , Vn cm 二Va_cmn = 12 h 二一，解得：h =

9、 - 2 ,33故三棱锥A-CMN的高为 2 .2. （1）证明见解析；（2）； （ 3）存在，证明见解析.3【解析】试题分析：（I）先证明 CD _ AD，再根据面面垂直的性质定理可得CD _平面PAD ,再利用面面垂直的判定定理可得结论；（n）先根据面面垂直的性质定理可得PO -平面ABCD，再根据棱锥的体积公式可得结果；（川）E为PC的中点时，BE/平面PAD , 根先证明平面 BEF L平面PAD，从而可得结果.试题解析：（I）因为 AB/CD , AB _ AD ,所以CD _ AD .因为平面PAD _平面ABCD，平面PAD *平面ABCD = AD ,所以CD _平面PAD .

10、因为CD 平面PCD ,所以平面PCD _平面PAD .(n)取AD的中点O,连结PO.因为 PAD为正三角形，所以PO _ AD .因为平面PAD _平面ABCD ,平面PAD -平面ABCD 二AD ,所以PO _平面ABCD ,所以PO为三棱锥P - ABC的高.因为l PAD为正三角形， CD =2AB =2AD =4，所以 po = 3.所以_ 1VP_ABC S ABC PO3J 122亠厶33 2(川)在棱PC上存在点E当E为PC的中点时,BE /平面 PAD .分别取CP,CD的中点E,F连结 BE,BF,EF .所以 EF/PD.因为 AB/CD , CD=2AB , 所以

11、AB/FD,AB 二 FD .所以四边形ABFD为平行四边形所以 BF LlAD .因为 BF " EF = F , AD " PD = D ,所以平面BEFLI平面PAD .因为BE 平面BEF ,所以BE U平面PAD .3. (1)见解析(2)存在点G且EG =1满足条件.【解析】试题分析：(1)根据DE /AF, AB/CD，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；(2)先求出整个几何体的体积.假设存在一点G，过G作MG/BF交EC于M ,连接BG, BM ,设EG二t,求得几何体GFBME的体积，将其分割成两个三棱锥B - EFG,B - EGM ,利用t表示出两

12、个三棱锥的高， 再利用体积建立方程， 解方程组求得t的值试题解析：解：(1 ). DE _ 平面 ABCD , AF _ 平面 ABCD , DE /AF , AF / 平面 DCE ,/ ABCD 是正方形，AB/CD , AB/ 平面 DCE ,/ AB - AF =A , AB 二平面 ABF , AF 二平面 ABF，平面 ABF / 平面 DCE .21(2)假设存在一点G，过G作MG /BF交EC于M，连接BG,BM ,VABCDEF =VB-ADEF ' VB -CD33设 EG = t,则 Vgfbme二 Vb 上fg Vbgm212 14S.egm设M到ED的距离为h

13、，则-EM , h=3t ,3 EC 3 1213 2 13 9- 3 t2 3 t，解得t =1，即存在点G且EG =1满足条件3432 4点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交 直线和另一个平面的两条相交直线平行即可第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G的位置的值4.( I)见解析；(n) t =1.【解析】试题分析：(I)由平面PAD 平面ABCD ,且平面PAD -平面ABCD = AD ,QB _ AD

14、可证得BQ _平面PAD，进而平面 PQB _平面PAD ；(n)(n )由PA P , Q为AD的中点，可得PQ _ AD .由平面PAD _平面ABCD ,1可得PQ_平面ABCD.设PQ二h,梯形ABCD面积为S ,贝卩Sbq=' S ,31VP从BCD - 3 Sh，利用Va _bqm =Vm从BQ即可求得3“A,MCPC为PC中点，所以t .5.N为PB中点，(2)V2试题解析:1(I)证明： AD/BC , BC AD , Q 为 AD 的中点,2四边形BCDQ为平行四边形， CD/BQ , . ADC =90. AQB =90，即 QB _ AD .又.平面PAD _平面

15、ABCD，且平面PAD *平面ABCD二AD , BQ _ 平面 PAD , BQ 平面PQB，平面PQB _平面PAD .(n)T PA 二 PD , Q 为 AD 的中点， PQ_AD ,平面PAD 平面ABCD，且平面PAD _平面ABCD =AD , PQ _ 平面 ABCD .设PQ =h，梯形ABCD面积为S，则三角形 ABQ的面积为-S ,3_1VP 山BCDSh .31 1又设M到平面ABC的距离为h'，则Vaqm = Vmbq二-Sh',3 3iiii根据题意Sh'Sh, 3 36 3h' 1h 2，【解析】试题分析：(1 )由BC平行AD,可

16、由线面平行判定定理得 BC平行平面ADM，再由线面平行性质定理得 BC平行MN，而M为PC中点，因此N为PB中点，(2)上部分为四棱锥，下部分体积为大四棱锥减去上四棱锥： 上部分四棱锥的高为 AD,大四棱锥的高为 PA,再根据棱锥体积公式得四棱锥P-ADMN的体积V- H5 2 1,而四棱锥38 V5412P - ABCD的体积V 2 1，进而可得比值33试题解析：解：(1) N为PB中点，截面如图所示.(2)因为MN是PBC的中位线,BC =1，所以 MN且 AN AD ,所以梯形ADMN的面积为111= '5 ,2 12 丿 2 8P点到截面ADMN的距离为P到直线AN的距离d =

17、 2 ,所以四棱锥PADMN的体积站二1英 A,38 V54而四棱锥PABCD的体积V 2 1=-所以四棱锥被截下部分体积3 312故上，下两部分体积比考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行 求解.(2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等 方法进行求解.(3 )若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条 件求解.2用6. ( 1)见解析；(2) 1; ( 3)5【解析】试题分析：(1) 要证

18、面面垂直，一般先证线面垂直，也即要证线线垂直，由菱形可得BD _ AC，又 由PA _平面ABCD得PA _ BD，从而可得直线与平面 PAC垂直，从而得证面面垂直；(2) 三棱锥P -BDC的底面是ABDC，高为PA，由体积公式可得体积；(3) 假设存在，由线面垂直可得线线垂直， 设AC - BD = 0，则EO _PC ,在=PAC中 由相似三角形可求得 EC长，反之只要有E0 _ PC，就可得PC _平面EBD .试题解析： (1) 略证： 通过证 BDLAC,BDL PA,得出 BDL平面 PAC又BD在平面PBD内 ,所以平面 PBDL 平面PAD L - 二假设存在，设，则1 s

19、CPA ,ce357. （ i）见解析；（n）【解析】试题分析：（I）根据余弦定理结合勾股定理可得 BE _ EC ,由PE _平面ABCD , 得PE _ EC。从而由线面垂直的判定定理可得结果； （n）取F是AD的中点，先证明CE _ 平面PAB，即可证明FM _平面PAB，然后根据棱锥的体积公式可得结果 .试题解析：（I）证明：在 BCE中，BE =2, BC=2j2 , . ABC = 45，由余弦定理得EC =2 .所以 BE2 EC2 =BC2，从而有 BE _ EC .由 PE _ 平面 ABCD，得 PE _ EC .所以CE _平面PAB .（n）取F是AD的中点，作AN /

20、 /EC交CD于点N，则四边形AECN为平行四边形， CN = AE =1，则 AN /EC .在.'AND中， F , M分别是AD , DN的中点，贝U FM /AN，所以FM /EC. 因为CE _平面PAB，所以FM _平面PAB .又FM二平面PFM，所以平面 PFM -平面PAB .1L 11sin45 =2SlafmV = 3Safm PE 匚.【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论a L b,a 一 b - - ； （3）利用面面平行的性质 a

21、L ： 一 a ： ； （4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.& （1）见解析（2）'26【解析】试题分析：（1）取AB的中点O，连GCCD，得到AB_OC，进而得出AB _ 0D ,利用线面垂直的判定定理，证得AB _平面DOC，即得到AB _ CD ；（2）取0D的中点H，连结CH，由（1）证得CH _平面ABD，所以点H是D在平面ABD内的正投影，设点 H到平面BCD的距离为d，在 BCD中，求解面积S bcd，在OCD中，得Socd，利用Vo _bcd二Vbqcd，即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，取 AB的中

22、点O，连OC,OD因为 ABC是边长为2的正三角形，所以 AB _OC,OC = .3又四边形 ABDE是菱形， DBA =60，所以 DAB是正三角形所以 AB _OD,OD =、3而OD - OC = O，所以AB _平面DOC所以AB _CD（2）取OD的中点H，连结CH由（1）知 OC = CD，所以 AB _ ODAB 平面DOC，所以平面 DOC丄平面ABD而平面DOC丄平面ABD，平面DOC与平面ABD的交线为OD , 所以CH 平面ABD，即点H是D在平面ABD内的正投影 设点H到平面BCD的距离为d，则点O到平面BCD距离为2d 因为在:BCD 中，BC 二 BD =2,CD

23、 二、.3，得39在lOCD中,OC = OD = CD = 3，得 S ocd=卞,；3-扌3 sin60"2所以由Vo_BCD/曰1=Vb qcD 得S BCD3d =3SocdOB即丄卫2d34解得d工26所以H到平面BCD的距离3.13269. （I）见解析；（n）BC丄AC，可得AD丄AC ,【解析】试题分析：（I）根据余弦定理及勾股定理先证明再由勾股定理得 PA _ AD，进而可得结论；（n） F至呼面 ABCD的距离为h,由11 1S BEC hSABCD PA,可得结果36 3试题解析：（I）证明：在平行四边形 ABCD中，连接AC ,因为 AB=2、2, BC =2

24、 ,ABC =45：,由余弦定理得 AC2 =8 2 2 2 2 cos45二4,得 AC =2 ,所以.ACB = 90：，即 BC _ AC，又 AD / BC ,所以AD _ AC ,又 AD =AP =2 , DP = 2、2，所以 PA _ AD , AP - AC 二 A , 所以AD _平面PAC，所以AD _ PC .1(n)因为E为CD的中点， S-BECS四边形ABCD，_4侧面PAD _底面ABCD，侧面PAD -底面ABCD二AD,PA_ AD,.PA_ 平面 ABCD.设F至序面ABCD的距离为h,+ VB _EFC =Vf6,2 PF h PA,所以 -3PB1 1

25、 1-ABCD ,3 Sbec 6 3 Sabcd pa,13.10. （1）见解析（2） 2【解析】试题分析：（1）先根据正方形性质得 OC _ AD，再根据勾股定理得 OC _ PO , 根据线面垂直判定定理得 OC _平面PAD ,最后根据面面垂直判定定理得面面垂直，（2）由锥体体积公式得体积之比为也二3Sah二，再根据面积之比可得VV2 S/BcDh ©BC。V23的值. 试题解析：(1)在四边形 OABC 中，t AO / BC， AO = BC， AB _ AD，四边形OABC是正方形，得 OC _ AD .在 POC 中， PO2+OC2=PC2，二 OC 丄 PO，又 POCAD=O, OC 丄平面PAD ,又OC 平面POC，二平面POC _平面PAD .由（1）知，四边形OABC为正方形，二OC二AB=1， OC_OD，二 OD = ' CD2 -OC2 -1，从而 AD =2 ,设点P到平面ABCD的距离为h，平行线BC与AD之间的距离为1，1AD 1 An_ S. Abd _ 2、_ AD _ 2一厶S BCD 丄 BC 1 BC.v 3sbd hV2 gs 庄CD h11. (1)见解析;【解析】试题分析：（1 ）分别取AD,BC的中点H,G，连接EF, EH, HG, FG, 可证