郭新柱理论力学(第五章)

1、第五章第五章 点的运动点的运动第六章第六章 刚体的运动刚体的运动绪绪 论论一 运动学 研究物体机械运动的几何性质，包括研究物体机械运动的几何性质，包括运动规律、轨迹、速度、加速度。运动规律、轨迹、速度、加速度。不考虑力和不考虑力和质量，点和几何体。质量，点和几何体。(一一).运动学任务运动学任务 1.点和刚体运动的描述(运动方程); 2.点的运动特征量(轨迹, 速度和加速度); 3.刚体运动特征量(角速度和角加速度)。 动点动点 选择参考坐标系选择参考坐标系 运动方程运动方程 轨迹方程轨迹方程 速度方程速度方程 加速度方程加速度方程 对时间对时间 t 求导求导 对时间对时间 t 求导求导 消去

2、时间消去时间 t (二二). 明确两个基本概念明确两个基本概念 1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言的； 2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。矢量分析与微积分。矢量分析与微积分。二 理论基础三 内容线索 刚体简单运动点的运动运动学基础刚体上两点运动关系用复合运动研究刚体平面运动 参考系运动量关系动点相对两个点的复合运动 四四. 要求要求 1.能能选用合适的方法选用合适的方法描述描述点的运动点的运动和和刚体的基本刚体的基本 运动运动。能熟练的计算。能熟练的计算速度和加速度速度和加速度,角速度和角角速度和角 加速度加速度; 2.能正确的分析刚体的平面运动能正确的分析刚体的平面

3、运动,能熟练地能熟练地确定速确定速 度瞬值，计算刚体角速度度瞬值，计算刚体角速度,熟练的熟练的选用不同的方选用不同的方 法求平面图形上各点的速度和角速度法求平面图形上各点的速度和角速度; 3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法 求点的速度和加速度。求点的速度和加速度。 建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。运动学研究的对象：运动学研究的对象：运动学学习目的：运动学学习目的：五研究方法 几何法:矢量方法，形象直观，瞬时分析解析法: 微积分，便于计算机，过程分析六难点，难点，重点（1）点的合成运动；（）点的合成

4、运动；（2）刚体的平面运动）刚体的平面运动一、两类物理量一、两类物理量直角坐标系直角坐标系x、y、z正向单位矢用正向单位矢用 表示表示 kji, 二、矢量的表示二、矢量的表示的单位矢的单位矢 ， , 矢量矢量 写成写成 AAAA0A0AAA 如如: 等BEaF,v标量标量 用数字和单位就可表示的量用数字和单位就可表示的量矢量矢量 有大小又有方向的量有大小又有方向的量书写书写 字母上加箭头字母上加箭头 印刷印刷 用黑体字用黑体字单位矢量单位矢量 模（或数值）为模（或数值）为1 1的矢量的矢量n,自然坐标中切向和法向单位矢用自然坐标中切向和法向单位矢用 表示表示 矢量及其运算矢量及其运算 矢量相减

5、矢量相减四、矢量的分解 平行四边形法平行四边形法:ABABCABABD平面矢量的分解平面矢量的分解三、矢量的合成三、矢量的合成 作图法作图法 正交分解正交分解空间矢量的分解空间矢量的分解 的大小A的方向AxyAAtan的大小 A22yxAAAjAiAjAiAAyxsincoszxyzAopA kA iA jA k 222zyxAAAAAxyoyAxAxzoyAzAxAyApp五、矢量的运算五、矢量的运算1. 1. 两矢量的和与差两矢量的和与差kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(2. 2. 两矢量点乘两矢量点乘( (标积）标积） 性质：性质： 已知已知: ， kAjAiAAzyxkBj

6、BiBBzyx 结果为一标量结果为一标量。 是 与 的夹角ABA BAB 0BAABBA)(3BA)(2cosABBA定义定义:A)(1B单位矢量的点乘单位矢量的点乘 1kkjjii0ikkjji标积的坐标分量式标积的坐标分量式 zzyyxxBABABABA3、两矢量叉乘（矢积）、两矢量叉乘（矢积） sinABC 的大小 C结果为一矢量。令该矢量结果为一矢量。令该矢量为为 ， CCBA 的方向垂直的方向垂直 与与 构成的平面，构成的平面，指向由右手螺旋法则确定指向由右手螺旋法则确定CABABC 性质：性质： 单位矢量的叉乘单位矢量的叉乘ABBA)(3BA)(2ABC 0kkjjiikijjii

7、jkkjjkiikBA)(10Ckij矢量叉乘可以写成行列式矢量叉乘可以写成行列式 zyxzyxBBBAAAkjiBA六、矢量的微商和积分（略）kBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()()()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyx矢积的坐标分量式矢积的坐标分量式( (一一).).参考体参考体: : 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不变形的物体作为参考体参考体. . 如:书和黑板擦放在讲台上,书在运动,选黑板擦为“参考体”.( (二二).).参考坐标系参考坐标系: : 如将坐标系固连于参考体上,就构成参考坐标系.若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标系来说

8、,物体静止;反之运动。( (三三).).静坐标系静坐标系: :一般固连于地球上的坐标系为参考坐标参考坐标系系, , 通常称为静坐标系。说明一点：古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。一一 基本概念基本概念第第五五章章 点的运动点的运动5.1 5.1 点的运动和刚体的基本运动点的运动和刚体的基本运动( (四四).). 瞬时瞬时：对应于某一事件对应于某一事件发生发生或或终止终止的时间。如上课开始时。( (五五). ). 时间间隔时间间隔: : 两个瞬时之间的时间数。如得开始与结束之间的时间数50分钟。( (六六). ). 轨迹轨迹: : 点在空间运动所经过

9、的路线。直线运动, 曲线运动。点的运动主要分析以下四个点的运动主要分析以下四个方面：方面： 运动方程运动方程, 轨迹轨迹，速度速度，加速度。，加速度。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。决定表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。决定点的运动点的运动, 就是确定动点在参考系中

10、的每一瞬时的位置。本章研究的内容为就是确定动点在参考系中的每一瞬时的位置。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。基本方法基本方法: 1.: 1.自然法自然法; 2. ; 2. 直角坐标法直角坐标法; 3. ; 3. 矢径法矢径法。一一 自然法自然法 设点的运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置: 1.轨迹方程 ; 2.每一瞬时在轨迹曲线上的位置。 （1 1）沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴； （2）选定一点O为弧的起点，O到动点M的弧长OM=S； （3）规定起点O的一边弧长为正。二二 点的运动方程点的运动方

11、程 S是代数量，称为动点 M 的弧坐标或自然坐标。这样，动点沿已知轨迹的运动可用一时间 t 的连续函数来表示： S = f ( t ) 即为轨道运动方程。二二 直角坐标法直角坐标法 点在空间的任一瞬时的位置由 x , y , z 来确定。 SM(+)(-) 三三 矢径法矢径法 选O为原点r=OM当动点运动时，则矢径的大小及方向均随时间而变。 r = r ( t )r = r ( t ) 矢径的运动方程 运动时，矢径端点所抽绘的曲线动点轨迹 x z yOMyx z r平面：动点M始终在平面 oxy 内运动。则, 运动方程 x = f1( t ) , y = f2 ( t ) 轨迹方程F (x,y

12、) = 0MxyOrz 直角坐标运动方程（一般含时间 t ) （在方程中消去时间 t） 动点的轨迹方程（不含时间 t )()()(321tfztfytfx空间：)(trr 设有一点设有一点M沿曲线沿曲线AB运动，在运动，在任一瞬时任一瞬时t，该点之位置可由如下矢该点之位置可由如下矢径确定径确定显然，当动点显然，当动点M沿沿 AB 运动时运动时，r是一变矢量。是一变矢量。1. 位移位移 从瞬时从瞬时 t 到到 t +t ，动点位置由动点位置由M改变到改变到M，其矢径分，其矢径分别为别为r和和r。在时间间隔。在时间间隔t内内，r 之变化量为之变化量为rMMrrrr)()(ttt它表示在它表示在t时

13、间内动点矢径之改变，称为动点在时间内动点矢径之改变，称为动点在t时间内的时间内的位移。BMOr0ABM0Mrrr一、矢量法一、矢量法5.1.1 5.1.1 点的运动描述方法点的运动描述方法2. 点的运动方程( ) trr选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即MrO3. 点的速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r0limttt ddrrv运动

14、轨迹t : Mt + t : M 当当 t 0 MM = MM)()(trttrrMMtrv*平均速度速度对于时间的变化率加速度a* = d tvMMvaavvv 动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数.动点的瞬时速度 单位单位 : m/s , cm/s , km/h .dtdrtrvvttlimlim00*t : v t + t :v4. 加速度（1 1）、平均加速度）、平均加速度220ddlimddtttt vvra点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 有时为了方便

15、，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。 avr（2 2）、瞬时加速度）、瞬时加速度 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。 速度矢端曲线速度矢端曲线OM1M2M3vv1v2a加速度的方向确定加速度的方向确定这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。123( )( )( )xf tyf tzf txyzrijk如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r

16、可表示为：MrOkijyyxxzz1.1.运动方程运动方程二、直角坐标法二、直角坐标法xyzxyzvvvvrijkijk 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。2.点的速度若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为cos( , ), cos( , ), cos( , )xyzvvvv iv jv k,xyzxxyyzzaaaavxavyavzaijk 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。3.点的加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx 其方向余弦为cos( , ), cos( , ), cos(

17、, )xyzaaaa ia ja k解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ，自水平位置开始以匀角速度w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 将j =wt带入上式，得M点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄连杆机构是由曲柄、

18、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w 绕O轴转动，即jwt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过 t 秒后，此时B点的坐标为：ABOClxwxj整理可得B的运动方程：lrtltrxww22sin1cosCBOCOBx22sincosjjrlr由此可得滑块B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 将右边最后一项展开：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111

19、sin1sinsin28tttwww tltrxww22sin1cos例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式对t求一阶导数，得 M 点的速度为:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx)(tfs 这就是自然坐标形式的点的运动方程。1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨

20、迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 三、自然法三、自然法 利用点的运动轨迹建立弧坐标，用来描述和分利用点的运动轨迹建立弧坐标，用来描述和分析点的运动的方法叫析点的运动的方法叫自然法自然法。 弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：2、有、有正、负方向正、负方向(一般以点的运动方向作一般以点的运动方向作为正向为正向)；1、有、有坐标原点坐标原点(一般在轨迹上任选一参考一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点点作为坐标原点)；3、有、有相应的坐标系相应的坐标系(自然轴系自然轴系)。 在图中点在图中点M趋近于趋近于M，即即 趋近于零的过程中，包括直线趋近于零的过程中

21、，包括直线 MT 和和MT1的平面，将绕的平面，将绕MT转动而趋近于某转动而趋近于某一极限位置；在这极限位置的平面称一极限位置；在这极限位置的平面称为曲线在点为曲线在点M的的密切面或曲率平面。TMTMsT1 密切面密切面”指向“方向沿切线1limlim00srsrss= 单位矢量单位矢量 0MMrsMrrovs 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲

22、线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用曲率，用1/ 表示。表示。 比值比值 可用来表示弧可用来表示弧MM的平均弯曲程度，并称为的平均弯曲程度，并称为平均曲率平均曲率。sskt0lim 当点当点M趋近于点趋近于点M时，平均曲率时，平均曲率的极限值称为曲线在点的极限值称为曲线在点M处的处的曲率曲率，用用k 表示，有表示，有TMTMsT1 （取绝对值取绝对值）称为曲线对称为曲线对应于弧应于弧 MM的的邻角邻角，可用来说明该可用来说明该曲线的弯曲程度。曲线的弯曲程度。2. 曲线的曲率 曲线在点曲线在点M的曲率的倒数，的曲率的倒数，称为曲线在点称为曲线在点M的的曲率半径曲率半径，用用表表示，有示，有

23、k1TMTMsT1skt0lim曲曲 率率 通过点通过点M而与切线垂直的而与切线垂直的平面，称为曲线在点平面，称为曲线在点M 的的法面。 法面主法线副法线M法面法面 法面与密切面的交线法面与密切面的交线MN称为称为主法线。 法面内与主法线垂直的法面内与主法线垂直的直线直线MB称为称为副法线。密切面密切面3 自然轴系 即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即密切面法面切线主法线副法线Mnb bnMn 1 1 M1在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为 和 1，其

24、指向与弧坐标正向一致。将 1平移到点M，则 和 1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与 、 n构成右手系。自然轴系的自然轴系的特点特点 跟随动点在轨跟随动点在轨迹上作空间曲线迹上作空间曲线运动。运动。MrsABMOrrsv()()O1tddrv M点的速度点的速度（矢量矢量）为为设已知点设已知点M的运动轨迹和运动方程的运动轨迹和运动方程)(tfs ttvtrr0lim

25、ddtssssttt.limlim00rrtst0limvtsdd) 1lim (0str由于dtdsvv4.点的速度点的速度MrsABMOrrsv()()O1 方向沿轨迹在方向沿轨迹在M处的切线处的切线et 并并指向弧坐标增加的一方。指向弧坐标增加的一方。et 可见，点可见，点M的速度是沿轨迹切的速度是沿轨迹切线，并可表示为线，并可表示为 ttddeevvtstsvdd即：即：动点的速度在切线上的投影，等于它的弧坐标对时间的一阶导数。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。又沿轨迹切线，所以它在法线上的投影恒等于零。其中其中v 是速度矢量在切线正向的投影，是速度矢量在切线正向的投影，大小

26、等于大小等于MrsABMOrrsv()()O1t tttddeevvts46切向加速度切向加速度 -表示速度大小的变化22dtSddtdva5、点的加速度、点的加速度法向加速度法向加速度 -表示速度方向的变化nvdtdvan2nvtvaaan2dddtdvdtdvvdtdtva)(dd上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。2ddvvtan全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：22tnaaa大小：方向：

27、tnaaatn|tanaa200t12ssv ta tttddacva t 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。 如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。 tavt0v例4 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在t4s时的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此时M点的切向加速度为：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s当t=4 s时速度为：d

28、4dSvttM点的法向加速度为：2216/nvacmsRM点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图1-17所示。在M1、M2点的曲率半径分别为1=600m, 2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。M1M2V2V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv200t12ssv ta ttavt0v求列车经过M1和M2时的法向加速度为：221

29、110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列车经过M1时的全加速度为：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .5naa列车经过M2时的加速度为：55 5-6已知v0，求滑块A的速度和加速度与距离x的 关系式。xlv0AOB解：设 t =0 时，AB=a2202)(ltvax00)(22vtvaxx等式两边求导：22000)(lxxvxvtvax5600)(22vtvaxx20vxxxx x

30、xvx220 xlxxvv)(22220203220 xlv 例例7 7 如图所示，固定圆圈的半径为R，摇杆O1A绕O1轴以匀角速度 转动， 。轴固定在圆周上，小环M同时套在摇杆和圆圈上。运动开始时， ，摇杆O1A在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法写出小环M的运动方程，并求出其速度和加速度。wtwj0j解解 直角坐标法直角坐标法：以圆心O为原点建立直角坐标系，如图所示。任一瞬时动点M的位置用坐标 x、y表示。由于 ，而圆心角 ，于是以直角坐标表示的小环M的运动方程为twjtwj22tRytRxww2sin2cos 将运动方程分别对时间求一阶导数和二阶导数，分别可得速度和加速度在直角坐标轴上

31、的投影： tRtyvtRtxvyxwwww2cos2dd2sin2ddtRtyatRtxayxwwww2sin4dd2cos4dd222222速度的大小为速度的方向为wRvvvyx222cos()sin2cos()cos2xyvvitvvvjtvww ，加速度的大小为加速度的方向为2224wRaaayxcos()cos2cos()sin2xyaaitaaajtaww ， 弧坐标法弧坐标法： 动点M的运动轨迹是圆弧，在轨迹上取水平直径的端点O2为弧坐标的原点，并规定O2点的上方为正，则任一瞬时动点M的位置可用弧坐标S表示，显然 这就是小环M以弧坐标表示的运动方程。 将弧坐标表示的运动方程分别对时

32、间求一阶和二阶导数，可得速度与切向加速度的大小为tRRRswj220dd2dd22tsaRtsvw 因为切向加速度等于零，故全加速度即为法向加速度，其大小为： 即，速度的大小为 ，方向与 相同(与矢径 r 垂直)。加速度大小为 ，方向指向圆心(与矢径r反向)。 以上两种方法求得的结果完全相同。由于运动轨迹已知，因而用自然法求解显然更加方便。 224wRvanwR2 24wR例例5-85-8 已知：半径为已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一如图

33、所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( tjw wMMjRoj M点作曲线运动，取点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。直角坐标系如图所示。OCMCrr tjw由纯滚动条件由纯滚动条件)sin(sin1ttrMOOCxwwjtrMOCOywjcos1cos11从而从而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrtwwww)202sin2)cos1 (222wwwwwttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrtwwww222wraaayx00d2sind4 (1cos

34、)(02)22ttttsv trtrtwwww又点又点M的切向加速度为的切向加速度为2cos2ttrvaww 2sin22t2ntraaaww两类问题由运动方程，求 微分av, 5-2. 连杆结构，已知 求：点M运动方程、速度、加速度。 tjwyxjaMlwllcossinxlat ylatww2222cossinxyaxla t x ayla t y sincosxy vxla t vyla t 22221xylala轨迹yxjaMlwll由速度，加速度，求运动方程积分。5-4 凸轮机构。已知 ，使顶杆AB匀速 上升一段，设计凸轮轮廓线。wuOBAwtavtvadddd tttavv00d)

35、(tvxtxvdd dd tttvxx00d)(初初始始位位移移时时 ,00 xxt 初初速速度度时时 ,00vvt 质点作直线运动，是一维运动，则各运动量可作为标量处理：由速度，加速度，求运动方程积分。例：设质点沿x轴作直线运动，a=2t，t =0时 x0=0， v0=0 试求: t =2s时质点的速度和位置。解：加速度a不是常量，将a=2t写成 ：ttvd2d 对两边积分： txttxttx0202dd;dd;d2d00 tvttv) 1 (dd2ttxv )2(313tx 把t =2 s 分别代入(1)、(2)得：mxsmv67. 238;/4 指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作

36、何种运动作何种运动? , , , 0na常数a0a常数0a0na常数va, 0常数常数naa, 00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动匀变速直线运动)(匀速圆周运动匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止匀速直线运动或静止)(直线运动直线运动)(匀速运动匀速运动)(圆周运动圆周运动)(匀速运动匀速运动)(直线运动直线运动)(匀速曲线运动匀速曲线运动)(匀变速曲线运动匀变速曲线运动)72指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动? , , , 0na常数a0a常数0a0na常数va, 0常数常数naa, 00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动匀变速直线运动)(匀速圆周运动

37、匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止匀速直线运动或静止)(直线运动直线运动)(匀速运动匀速运动)(圆周运动圆周运动)(匀速运动匀速运动)(直线运动直线运动)(匀速曲线运动匀速曲线运动)(匀变速曲线运动匀变速曲线运动)73 点作曲线运动点作曲线运动,判断下列情况下点的运动判断下列情况下点的运动判断下列运动是否可判断下列运动是否可 能出现能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动? ?(加速运动加速运动) (不可能不可能) (匀速曲线运动匀速曲线运动) (不可能或改作不可能或改作 直线加速运动直线加速运动) (不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动)(不可能不可能) (减速曲线运

38、动减速曲线运动)M1 1点作匀速运动点作匀速运动M2点作加速运动点作加速运动M3点作减速运动点作减速运动刚体的平行移动和定轴转动大量存在于工程实际，而且刚体的任何运动都可以看成是这两种运动的组合。他们是研究点的复杂运动和刚体的复杂运动的基础。刚体的运动平行移动定轴转动平面运动定点运动一般运动刚体的基本运动刚体的复杂运动.2 刚体的平移及运动特征刚体的平移及运动特征刚体的基本运动刚体的基本运动例 是指刚体的平行 移动和转动基本运动基本运动 一一.刚体平动的定义刚体平动的定义: 如果在物体内任取一如果在物体内任取一条直线，在运动过程中这条直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位条

39、直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平置平行，这种运动称为平行移动，简称平动。行移动，简称平动。刚体的平行移动刚体的平行移动( (平动平动) ) 刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体的两种简单的运动 平移和定轴转动平移和定轴转动。这是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。刚体的基本运动刚体的基本运动例 是指刚体的平行 移动和转动基本运动基本运动 1.1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，并且位置平行。并且位置平行。证明证明：A1B1A2B2二、二、平移的特点平移的特点 2.2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相

40、当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相 等，各点的加速度也相等。等，各点的加速度也相等。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点1 1可由图说明。可由图说明。 刚体作平移时的特点刚体作平移时的特点2 2可证明如下：可证明如下：AOrBrABxzyBvAA由A,B 两点的运动方程式: 而)()(trr ,trrBBAAABABrrr即constrABBAABrrr AB为刚体上任意一矢量，则有为刚体上任意一矢量，则有AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A刚体平移时，刚体内任一线段刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。的长度和方向都保持不变。0ddABt因而因而)d(d

41、d)(ddddrvtrrrttrvAAABABB0dtABAAABABBatrrrttra222222dd)(dddd:同理即即: :平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A 刚体平移时，其上各点轨迹形状相同且相互平行，刚体平移时，其上各点轨迹形状相同且相互平行，任一瞬时各点速度相同、各点加速度也相同。任一瞬时各点速度相同、各点加速度也相同。定理定理: 应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲不一定保持在平面内运

42、动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。线。 由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须给出刚体内任意一点的运动给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的就可以完全确定整个刚体的运动。运动。 这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。 如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特殊情形称为这些特殊情形称为平面平移或直线平移平面平移或直线平移。 综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论： 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。刚体上的各点具有形

43、状相同的运动轨迹。 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意 一点的运动分析。一点的运动分析。1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移?否。BA2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗?不一定。可是平行曲线。 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。OABO1O2ll（+）例例 题题 5-1MM 由于

44、两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。 为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为tlls4 sin0jj将上式对时间求导，得A点的速度tltsv4 cos4dd0j解：AOBO1O2ll（+）M再求一次导，得A点的切向加速度代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：tltva4 sin16dd02tjA点的法向加速度tllva4co

45、s16 22022njOABO1O2ll（+）0002 （铅直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04jl016jl20216j一一. .刚体绕定轴转动的特征及其简化刚体绕定轴转动的特征及其简化 当刚体运动时，刚体内某一直线上的所有各点始终保持不动-称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动刚体的转动。 不动的直线称为转轴转轴。5.1.3 5.1.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 当刚体作定轴转动时，转动轴以当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴内作圆周运动，

46、圆心在该平面与转轴之交点上。之交点上。 二二. .刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点: : 定轴转动定轴转动实例实例定轴转动-刚体运动时其上或其延展部分有一根不动直线。1.指出下列物体是否作定轴转动?轮 否。定义定义: :w是车厢是Rw( (一一).).转角和转动方程转角和转动方程 j -转角,单位弧度(rad) j= f(t)-为转动方程 方向规定: 从z 轴正向看去, 逆时针为正 顺时针为负2.物体螺旋运动时，是否有不动直线?轴线升降。 刚体的位置可由角刚体的位置可由角j完全确定。角完全确定。角j也称为也称为角坐标角坐标，当刚体转动，当刚体转动时，角坐标时，角坐标j随时间随时间t而变化，

47、因而可表示为时间而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数的单值连续函数.三、转动规律三、转动规律（1）、角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。单位时间内转角的变化。jjw)(ddtft 转角转角对时间的导数，称为对时间的导数，称为刚体的角速度刚体的角速度，以以表示。表示。故有故有1. 角速度（2）、当转角当转角随时间而增大时，随时间而增大时，为正值，反之为为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。 (二二). 定轴转动的角速度和角加速度定轴转动的角速度和角加速

48、度 和和正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。时间而减小，即刚体作减速转动。jjw )(dddd22tftt 角速度角速度对时间的导数，称为对时间的导数，称为角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示单位时间内角速度的变化。它表示单位时间内角速度的变化。2. 角加速度的单位的单位: rad/s 的单位的单位:rad/s2与与w w方向一致为加速转动方向一致为加速转动, 与与w w 方向相反为减速转动方向相反

49、为减速转动 3.匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动工程中常用单位：n = 转/分(r / min)则则n与与w w的关系为的关系为:)nnn(rad/s1030602w（1）匀速转动）匀速转动 当w =常数,为匀速转动时。有j = j 0+ w t 这里j 0是 t = 0 时转角j 的值。)(22102022000jjwwwjjwwttt(2) 匀变速转动匀变速转动当 =常数,为匀变速转动时。有这里j 0和w 0是t = 0 时转角和角速度。 在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角 以rad计。若初瞬时 ，其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈（ ）时其顶端 P 点的速度。 20.

50、2/rad s000,6/rad sw4 radP例例 题题 6-2dddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwwwPsBAOMvR 半径R=20 cm的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有物块A，设物块A从位置B出发，以匀加速度a =4.9 ms2向下降落，初速v0=4 ms1，求当物块落下距离s =2 m时轮缘上一点 M 的速度和加速度。例例 题题 6-3根据 v2 v02 = 2as，得M点的速度M点的法向加速度M点的切向加速度 M点的总加速度12

51、0sm 96. 52vasv.ddtatvaRvasva202n222n2tsm 178aaa解:sBAOMvR200t12ssv ta ttavt0vM0MvsdtdRdtdSvjwRv 一一、速度、速度5.1.4 5.1.4 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度RvzjRS 各点速度分布图各点速度分布图 当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。用自然法， 点在 t时间内，走过的弧长为 s=j R（1 1）刚体内在平行于转轴）刚体内在平行于转轴z的任一直线上，各点具有相等的的任一直线上，各点具有相等的

52、速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆速度和相等的加速度，又各点的轨迹为同样大小的圆周，其圆心都在转轴心都在转轴z上。上。2. 定轴转动刚体内各点的速度的特点（2 2）在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转）在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的速度与各点的转动半径成正比。动半径成正比。方向沿着点轨迹圆周的切线，指向转动前进方向沿着点轨迹圆周的切线，指向转动前进的一方。的一方。wRv 即即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积径与刚体角加速度的乘积。式中。式中和和at具有相同的正负号具有相同

53、的正负号。tRRttvadd)(ddddtwwRa t 点点M的加速度包含两部分：的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量。或或OaMvanat1. 1. 切向加速度切向加速度二.定轴转动刚体内各点的加速度不难看出，当不难看出，当和和正负相同时，切向加速度正负相同时，切向加速度at和和速度速度v有相有相同的指向，这相当于加速转动；当同的指向，这相当于加速转动；当和和正负不相同时，则正负不相同时，则at与与v有相反的指向，这相当于减速转动。有相反的指向，这相当于减速转动。 OaMvanatOaMvanat即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半即，定轴转动刚体内任一

54、点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中恒向轨迹的曲率中心即圆心心即圆心O，因此也称为因此也称为向心加速度向心加速度。 RRva22n)(w2nwRa 2.2.法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2twRRaaa42w Ra3.3.总加速度总加速度它与半径它与半径MO的夹角的夹角（恒取正值恒取正值）可可按下式求出按下式求出2nttanwRRaa2tanw或 显然，当刚体作加速转动时，加速度显然，当刚体作加速转动时，加速度a偏向转动前进的一偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度方；当减速转动时，加速度

55、a偏向相反的一方；当匀速转动时偏向相反的一方；当匀速转动时a指向轴心指向轴心O。 OaMvanat 但是，总加速度但是，总加速度a与转与转动半径所成的偏角，却与转动半径所成的偏角，却与转动半径无关，即动半径无关，即在任一瞬时，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速定轴转动刚体内各点的加速度对其转动半径的偏角度对其转动半径的偏角 都都相同相同；平面上各点加速度的；平面上各点加速度的分布如图。分布如图。 , 42w Ra 由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加由上式可见，在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的切向加速度、法向加速度和总加速的大小都与各点的转动半径成正比。速度、法向加速度和总加速

56、的大小都与各点的转动半径成正比。2tanw4.4.加速度的分布规律加速度的分布规律5.5.速度与加速度分布图速度与加速度分布图vRw2tantnaaw2224tnaaaRw结论结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。 （2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方向与半径间的夹角 都相同。 速度分布图加速度分布图 试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO 例例1卷带盘。已知v常数，带厚a，求。arwv例例2 vr dd2dd2rrav rav,ttr 即2ddAav,Ar t 又1ddrv

57、 , rtr ddr r0 tddddAr avrt 232avr故arwv对该式求导转动一圈转动一圈: A=avt2OA0wB1OM12r 已知 常数 ，求两 轮边缘上点的加速度。121202O AO Br,ABO O ,21102Aaraa22222200024n,arraaa202220 0 2MAM vrvv又轮1平移AvMvAa1a例例3轮2转动 例4 滑轮的半径滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴可绕水平轴O转动，轮缘上缠有转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体物体A（如图）。已知滑轮绕轴如图）。已知滑轮绕轴O的转动规律的转动规律=0.15t3

58、 ，其中其中t以以s计，计， 以以rad计。试求。试求t=2 s时轮缘时轮缘上上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度和加速度。 OM 首先根据滑轮的转动规律首先根据滑轮的转动规律 =0.15t3 ，求得求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度245. 0tjwt 9 . 0j 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 11w2srad 8 . 1轮缘上轮缘上 M 点上在点上在 t =2 s 时的速度为时的速度为 sm 36. 01wrvM解：OMOM轮缘上轮缘上 M 点在点在 t =2 s 时的加速度的两个分量时的加速度的两个分量2tsm 36. 0ra22nsm 648.

59、 0wra总加速度总加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM556. 0 tan2wj29jOM 因为物体因为物体A与轮缘上与轮缘上M点的运动不同，前点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体由于细绳不能伸长，物体A与与M点的速度大小点的速度大小相等，相等，A的加速度与的加速度与M点切向加速度的大小也点切向加速度的大小也相等，于是有相等，于是有1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它们的方向铅直向

60、下。它们的方向铅直向下。 我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢? 1.1.齿轮传动齿轮传动三、轮系的传动比三、轮系的传动比DDCCDCrrvvwwCDDCrrww1.）外啮合）外啮合trZ2齿数其中：其中： CDCDDCCDzzrriww设C主动轮，D从动轮，定义齿轮传动比齿轮传动比DCCDiww因为是做纯滚动(即没有相对滑动)齿轮传动比齿轮传动比EFEFFEEFZZrriwwEFvv EFvv EEFFrrww2.2.）内啮合）内啮合2.皮带轮系传动皮带轮系传动BAvv (而不是 方向不同 ) BAvv BBAArrww皮带传动ABBAABrriw