2010高考平面向量试题汇编精华版

1、第五章平面向量一平面向量的概念及基本运算【考点阐述】向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.【考试要求】(1 )理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.【2010 年湖北卷理 5 文 8】.已知 ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立，则 m=BA. 2B. 3C. 4D. 5【解析】由MA+MB+MC=0 知，点 MABC 的重心，设点 D 为底

2、边 BC 的中点，贝 U1一2 1一 一1 一 一 一 AM=AD= (AB+AC) = (AB+AC),所以有AB+AC=mAM，故 m=3,3 323选 B.【2010 年全国n卷理 8 文 10】. ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平分/ ACB.若CB=a,CA=b,| a |=1 b |=1，贝CD=B122 134A.a + bB.a + bC. 一 a + bD333355【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理AD CA【解析】因为 CD 平分/ ACB 由角平分线定理得=2,所以 D 为 AB 的三等分点,DB CB一2 2一 一 一 一 一2一1

3、2 1且AD=三AB= (CBCA)，所以CD=CA+AD=土CB+丄CA=土a +丄b.333333【2010 年陕西卷理 11 文 12】.已知向量 a = ( 2, 1), b= ( 1, m), c= ( 1, 2), 若(a+ b)c,贝 U m=.【答案】一 1【解析】Ta+b = (1, m 1), c = ( 1, 2),A由(a +b)/ c得 1x2(1) x(m 1)=0,所以 m=1.2 w【2010 年高考上海市理科 13】.如图所示，直线 x=2 与双曲线r一 一 y2=l 的渐近线交于4Ei, E2两点，记OEi=ei,OE2=e2，任取双曲线上的点 P,若OP=

4、a ei+b e2(a, b R),则a、b 满足的一个等式是.4ab=1【2010 年高考上海卷文科 13】.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(V5 ,0),ei= (2, 1) , e2= (2， 1 )分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若OP=a e1+b e2( a , b R),贝Ua、b 满足的一个等式是4ab =11解析：因为 ei=(2,1), e2=(2, 1)是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为y x,2 .又 c,5,所以 a=2 , b=1 ,双曲线方程为-y2= 1,OP=a ei+b e2= (2a+2b , a4b), .

5、(2a些L-(a-b)2=1,化简得 4ab=1.4平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.【2010 年江西卷文 13】.已知向量 a, b 满足| b|=2 , a 与 b 的夹角为 60,则 b 在 a 上的 投影是【答案】1【解析】考查向量的投影定义，b 在 a 上的投影等于 b 的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理 4】.在 RtAABC 中，/ C=90 , AC=4,贝 UABAC等于 D解析二：AB在AC上的投影为|AC|，所以ABAC=|AC|2=16.【2010 年北京卷理

6、 6】.a、b 为非零向量。a 丄 b是 函数 f (x) = (xa +b) (xba)为一次函数”的 BA.充分而不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：f (x) =(xa+b) - (xb a)=(a b)+( | b|2|a|2) x a b,如 a 丄 b,则有 ab=0,如果同时有| a|=| b |，则函数恒为 0,不是一次函数，因此不充分，而如果f (x)为一次函数，则 a b=0,因此可得 a 丄 b,故该条件必要。【2010 年北京卷文 4】.若 a, b 是非零向量，且 a 丄 b, | a| b|，则函数 f(x)=(xa+b) (

7、xba) 是 AA. 次函数且是奇函数B. 一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析：f (x) = (xa +b)(xba) = (a b) x2+ (| b|2|a|2) x a b，由 a 丄 b,贝 U a b=0, f(x) = (| b|2 |a|2) x,故 f(x)是一次函数且是奇函数.【2010 年江西卷理 13】.已知向量 a, b 满足| a|=1 , | b|=2 , a 与 b 的夹角为 60,则A.- -16B. 8C. 8D.16解析- .因为/ C=90,所以AC(AC+CB)-AC=AC2+CBAC=16.CB=0 ,ABAC=|

8、 ab |=. -：；3【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图a=OA， b =OB， a b=OAOB=BA，由余弦定理得：| a b|=3.A. 0B.2 2C.4D. 8解析：|2ab|=(2a -b)2= 4a2-4a b b2= 8 = 2 . 2.【2010 年重庆卷理 2】.已知向量 a, b 满足 ab=0, | a|=1 , | b|=2，则|2 ab|= B【2010 年浙江卷文 13】.已知平面向量 a, b, | a| =1, | b| =2, a 丄（a2 b）,则|2 a+b|的值 是 .解析：一1.10，由题意可知a (

9、a2 b) =0,结合 | a| =1, | b| =2,解得 a b=，所以 |2 a+b2|2=4a2+4a b + b2=8+2=10,开方可知答案为 、10,【命题意图】 本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义， 属中档题。【2010 年浙江卷理 16】.已知两平面向量 a, b 均为非零向量，且 a丰b,| b |=1 , a 与 b a的夹角为 120 ，则| a |的取值范围是【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,能力和数形结合的能力，属中档题.【解析】如图所示，在突出考察了对问题的转化ABC 中，/ ABC=60, AC=1，设/ ACB=0,由正弦定

10、理得:ABs i nACsin60 |a |=|AB|=詁 n严，故| a |0, *.3322/lab-(a b)2【2010 年四川卷理 5 文 6】.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC2=16,|AB+AC|=|ABAC|，则 |AM|=CA. 8B. 4C. 2D. 1解析：由BC2= 16 ,得 | BC| = 4 , |AB+AC|=|ABAC|=|BC| = 4 ,而|AB+AC|=2|AM|，故 |AM|=2 .【2010 年天津卷文 9 理(填空)15】如图,在厶 ABC 中，AD 丄 AB,BC=73 BD ,|AD|=1 ,则AC AD=DA.

11、2、3B.3C.山23D.【2010 年湖南卷文 6】若非零向量 a, b 满足| a|=| b| , (2a+b) - b =0,则 a 与 b 的夹角为CA. 30B. 60C. 120D. 150121【解析】(2a+b) b =2a b +b b=0,所以 a b= | b| , cos = , =120.22【2010 年辽宁卷理 8 文 8】 平面上 O, A, B 三点不共线，设OA=a,面积等于 COB=b,则 OAB 的a/Vb)22f.-b)+2，仙-(a b)2D.1彳彳I 1呻T r-2ISOAB|a|b|si n：a,b |a|b|.1-cos : a,b =解析：2

12、22AlrBC.21222【解析】AC -AD=|AC| |AD|cos / DAC=|AC|cos / DAC=|AC| sin / BAC=|BC|sin / B=.3|BD|s in / B= .3.【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识 点难度【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法-判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力42则y=%2%，即x4-(1 y)x2- y = 0，由 x2是实数，所以x +1:工-(1 y)2-4 1 (-y)_0,y26y 1 _ 0,解得ymb或y -3 2、&. 故(

13、PAPB)min一3 2此时x m【解析 2】法:设/APB=二,0：v:二,PA = PA PB cosv - 1/tan；cos-si n2，考查化归与转化的数学思想，有【2010 年全国I卷理 11 文 11】.已知圆 O 的半径为1 , PA PB 为该圆的两条切线,A、B为两切点，那么PA PB的最小值为 DA.-4.2B. -3.2C. -42 2D. -32.2【解析 1】如图所示：设 PA=PB=x(x 0),PA局EPBg细2小冲=”，令PA=6-22soc二22n法二：换元：x=sin2二0：x叮,涨局=2或建系：园的方程为x2y2=1，设A(X1,y1), B(X1y1)

14、,P(Xo,O),PA *= Xi- Xo,yi iXi- Xo, -yi=Xi-2xixxoyi 2 2 AO _ PA= Xi，yi x。，=0二 石一为% =0= x =1PAPB = X2一2浓0 x： 一y；= x：一2 一1一x；= 2x2X。一3_2、2一3【2010 年山东卷理 12 文 12】.定义平面向量之间的一种运算0”如下，对任意的 a = (m,n),b = (p, q),令 aOb=mqnp,下面说法错误的是 BA.若 a 与 b 共线，则 aOb=0B. aOb=bOa2 2 2 2C.对任意的 入只，有(？a)Ob =入(aOb)D. (aOb) + (a b)

15、 =| a | b|【解析】若 a 与 b 共线，则有 aOb=mq np,故 A 正确；因为 bOa =pnqm，而aOb =mq np,所以有 aObbOa，故选项 B 错误，故选 B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识 以及分析问题、解决问题的能力。【2010 年重庆卷文 3】.若向量 a=(3, m), b=(2, 1), a b=0,则实数 m 的值为 D33A.B.C. 2D. 622【解析】a b=6 m=0,所以 m =6.【2010 年安徽卷理 3 文 3】.设向量 a = (1, 0), b=(-,2x=2x丄3 _ 2、2 3

16、XX1丄)，则下列结论中正确的是2A. | a|=| b |B.J2a b=一2C. ab 与 b 垂直D. a/ b解析：ab = (1,-21-),(ab) - b=0,所以 ab 与 b 垂直.2【2010 年福建卷文 8】.若向量 a= (x, 3) (x R),贝 U x = 4 是“a |=5 的 A2【2010 年高考福建卷理科 7】.若点 O 和点 F(2,0)分别是双曲线 务y2=1(a0)的a中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP的取值范围为 BA.3-2、3,二) B.3 2、3,：)C.卜7, ：)D. - /:)44【解析】因为 F(2, 0)是

17、已知双曲线的左焦点，所以a2+仁 4,即 a2=3,所以双曲线方程2 2 2为y2=1，设点 P (冷，y),则有 一y02= 1(x0启V3)，解得y02=汕 一1(x0兰J3),333-1T因 为FP=(x)2,y),OP = (X0，y),所 以2OP FP =x)(x02) y2=X0(X02)况-1 3线的对称轴为X0-4,因为X03，所以当X0-3时，OP-FP取得最小值A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】由 x=4 得 a= (4, 3),所以| a |=5 ;反之，由| a |=5 可得 x = 4。 【命题意图】本题考查平面

18、向量、常用逻辑用语等基础知识。【2010 年广东卷文 5】.若向量 a= (1, 1), b= (2, 5), c=(3, x)满足条件(8a b) c =30, 则 x=A. 6B. 5C. 4D. 3解析：8a b = (6, 3) , (8a b)c =6X3+3x=30,故 x=4.【2010 年全国I新课标卷文2】.a, b 为平面向量，已知 a= (4, 3), 2a+b= (3, 18),则 a,b 夹角的余弦值等于 C88A.B.-16C.6516D.-65解析：由已知得 b= (2a+b)2a = (5,12)，所以cos：a,b.二4 (_5) 3 12165 13654x

19、。232x0-1，此二次函数对应的抛物43 - 2 3 -32,3，故OP -FP的取值范围是3 2.3：)，选 B。3【命题意图】 本题考查待定系数法求双曲线方程， 考查平面向量的数量积的坐标运算、 二次函数的单调性与最值等， 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。2 2 11 的中心和左焦点，点P43因为FP =(Xo1,yo),OP = (Xo，y)，所以OP FP2=OP FP=Xo(Xo1P 3(1-二二)=込Xo3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为44【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等，考查了

20、同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【201o 年江苏卷 15】.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A( 1， 2), B(2, 3), C(2， 1).(I)求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(H)设实数 t 满足(AB tOC)OC=o,求 t 的值.解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.AB AC -(2,6), AB AC =(4,4).所以| AB AC戶2、帀AB - AC |=4：2.故所求的两条对角线的长分别为4 2、2.10 o(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为 E,则:E

21、 为 B C 的中【2010 年咼考福建卷文科11】.若点 O 和点 F 分别为椭圆为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为A. 2B. 3C. 6D.【解析】由题意，F (-1,0),设点 P (xo, yo),则有2y。01，解得yo二3(1-2Xo2Xo),FP=OP FP=Xo(Xo1) y。22XoXo= -2，因为-2乞Xo乞2，所以当 Xo=2 时,OP FP取得最大值6，选Co(1)(方法一)由题设知AB =(3,5),AC十1,1),点，E (0, 1 )又 E (0, 1)为 A、D 的中点，所以 D ( 1, 4)故所求的两条对角线的长分别为BC=4.2、AD=2.,1

22、0;OC=(-2, 1),-tOC =(3 2t,5 t)。由(AB tOC)OC=0，得:(3 2t,5 t) (-2,一1) = 0,【2010 年上海市春季高考 22】.2Z分坷分通共有 3个小题*第 1 小劇滿井 4ih第 2小瞎讲分召分第 3 小JB満分 6分.在平面上，给定非零向量#对任意向最定义/二云4单匸IT若五列 2. 3), 5 = (-1 3),求西若1(2,l)t证明：若位置向駅五的终点在直线血*和+匚二 0上，则悅贸向意孑 的终点也在一条直线上；(3)已知存在单位时童& ,当位置向量厅的终点在抛物线：上时位鑒向量 7的终点总在抛物纯 U：曲线匸与匸关于直线/对

23、称，问直如与向量&满足什么关系？从而5t二-11,所以t115或者:2AB OCABOC二tOCAB =(3,5), t =11-2|OC|(2)由题设知:二”解(1) ? = (2, 3)-11(一 1, 32 1Q(2)设a= (x, y), ar=*(xyf)t则2( r)=(A )-y(2xyX 1)=丈一5555 Jt24X =-X 1 V,55*4355x= x y,5 54f3 ,y - x+ y.514故Af#l-5从而-（3J + 45）y+ |（-4 + 35）/+ C = 0（由于A, B不金为零所以加卡 4-4A + 3B也不全为零.于是 7的终点在直线一 2（

24、3川+ 4丘甘*上（十 4+3 出）卡匸=0 上10分55（防设汇（妇 E）,则对任意实数厂取云二匕 F）,则了 = （r ）（% 為）（乩爲）&分f47、珂 i 产討卜 318.木小赳 i 耍勺査權率七吗矗问鼻等墓础知识.考査运算求解能力、应用意 i 比 考査代归 与转化思想、豁朋或然思込満分 12分.1)台序数綁阿 n)的所有町能结果臥 1. 1)ti b2Ji tl，3)bL 4 h (2, 1A (2* 2 , (2, 3 昇(2, 4. I 3, E 打(3t2h気 3). C3. 4L 4+1人(4* ?K(4* 3 人 4- 4 J 梵 16 钱 II) |; 丄(口严一也,)好亦-JJJ+ 1 ? = 0 *川幵-(w -1);* f 123,4 .故事件 A 包含的基車事杵为1.1)ffl (3. 4L 共 2 个一又基本務件的总数为烁 故所求的 IR 率为尸(/) =三丄.【2010 年高考湖北卷文科 20】.已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F( 1,0)的距 离减去它到 y 轴距离的差都是 1。(I)求曲线 C 的方程(H)是否存在正数 m,对于过点 M (m, 0)且与曲线 C 有两个交