2018版高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(二)学案新人教A版必修5

1、3.2一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生 产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题 的解法.产知识梳理自主学习知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式f(x)g(x) 丿法I:f(x)0(V0)或*ig(x)0法n：f(x)g(x)0(V0)f(x)V0(0)g(x)V0f(x)g(x)法I:f(x)0(W0)亠 或Ig(x) 0法n：f(x)g(x) 0 (Ig(x)M0f(x)w0(0)g(x)V0W 0)fV a、f(x)aag(x)y

2、a丿先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x) 0 常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1) 将f(x)最高次项的系数化为正数；(2) 将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3) 将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4) 根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.2、.2思考(x 1)(x 2)(x 3) (x 4) 0 的解集为_答案x|1vXV2 或x4解析利用数轴穿根法此不等式等价于(X+ 4)(x 3) 0, 原不等式的解集为x|

3、xv4 或x 3.x+ 1(2)方法一 移项得 2W0,x 2x+ 5x 5左边通分并化简有W0,即 0,x 2x 2(X 2)(x 5) 0,x 2 工 0,xv2 或x5.原不等式的解集为x|xv2 或x5.x 5 方法二原不等式可化为-2 0,x2知识点三一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路:(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即:恒成立?kWf(X)min.kf(x)恒成立？kf(x)max；k0(0)恒成立2ax+bx+c 0X55,解得xV2,原不等式的解集为x|XV2 或x5.反思与感悟f(x

4、)f(x)分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型g；x) 0(0)或g；x)-0( 0)，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号 的方向变化.2x_ 2x2跟踪训练 1 不等式2丄2丄:2 的解集为()x+x+ 1A. x|x工一 2 B . RC. ? D . x|x2答案 A2i 1 岁 3222解析 /x+x+ 1=x+ 4 0,.原不等式？x 2x 20? (x+ 2)20,x丰2. 不等式的解集为x|XM 2.题型二解一元高次不等式例 2 解下列不等式：(1)x42x33x2v0；34(2) 1 +xxx0;2 2(6x 17x+ 12)(2x

5、 5x+ 2) 0.2解 原不等式可化为x(x 3)(x+ 1)V0,2当xM0时，x0,由(x 3)(x+ 1)V0,得一 1VxV3;当x= 0 时，原不等式为 0V0,无解.原不等式的解集为x| 1VxV3,且xM0.(2)原不等式可化为(x+ 1)(x 1)(x2+x+ 1)V0,而对于任意xR,恒有x2+x+ 1 0,原不等式等价于(X+ 1)(x 1)V0,原不等式的解集为x| 1VXV1.4原不等式可化为(2x 3)(3x 4)(2X 1)(x 2) 0,进一步化为x3x 3x1(x 2) 0,如图所示，得原不等式的解集为143、，x|xv2 或 3Vxv2 或x2 0 1422

6、3 2反思与感悟解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法.22x+px+q跟踪训练 2 若不等式x+px+qv0 的解集是x|1vxv2，则不等式%2；x6。的解集 是()A.(1 , 2)B.(s,1)U(6,+)C. (1,1)U(2,6)D. (s,1)U(1,2)U(6,+s)答案 D解析 由题意知x2+px+q= (x 1)(x 2)，则待解不等式等价于(x 1)(x 2)(x2 5x 6) 0? (x 1)(x 2)(x 6)(x+ 1) 0?xv 1 或 1vxv2 或x 6.题型三不等式恒成

7、立问题例 3 对任意的x R,函数f(x) =x2+ (a 4)x+ (5 2a)的值恒大于 0,贝 Ua的取值范围为答案(一 2, 2)解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x) 0 恒成立,只需v0 即可，2即(a4)4(52a)v0,解得2vav2.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值,505从而建立参数的不等式;(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象 建立关于参数的不等式求解.跟踪训练 3 对任意a 1, 1，函数

8、f(x) =x2+ (a 4)x+ 4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A. 1 3C. 1x2答案 B2解析f(x) 0,.x+ (a 4)x+ 4 2a0,2即(x 2)a+ (x+ 4 4x) 0,设g(a) = (x 2)a+ (x 4x+ 4)F22x 2 +x 4x+ 4 =x 3x+ 2 0,= 2 2x+ 2 +x+ 4 4x=x 5x+ 6 0, x 3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例 4 某人计划收购某种农产品， 如果按每吨 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元 (又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农

9、产品，决定将征税率降低X(XM0)个百分点，预测收购量可增加 2x个百分点.(1) 写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2) 要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解(1)降低后的征税率为 (10 x)%，农产品的收购量为a(1 + 2x%)万吨，收购总金额为200a(1 + 2x%).依题意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 x)%1=50a(100 + 2x)(10 x)(0 x20ax83.2 %化简得x2+ 40 x 84W0, 又 Ovx 0,g(1 )0,60 x 2.x的取值范围是x|O 12,2S乙=0.05x+ 0.005x1

10、0.分别求解，得x30.x40.由于x0,从而得x甲30 km/h ,x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.訂当堂检测自杳自纠x一 21.若集合A=x| 1W2X+ 1w3,B=x|=w0，贝 UAnB等于（）z.A.x|1wx0 B.x|0 xw1C. x|0wx2 D.x|0wxw1答案 B解析 A= x| 1wxw1,B= x|0 xw2,AnB= x|0 xw1.2 .若集合A= x|ax2ax+ 10 = ?，则实数a的值的集合是（）A.a|0a4 B.a|0wa4C. a|00 时，相应二次方程中的得a|0 a4，故选 D.答案x|41解析原式可转化为(x+ 1)(x+ 2)1 2 3(x+ 3)(x+ 4) 0,根据数轴穿根法，解集为4x 1.24.设x 2x+a 8W0对于任意x (1 , 3)恒成立，求a的取值范围.解 原不等式x 2x+a 8W0转化为awx+ 2x+ 8 对任意x (1 , 3)恒成立，设f(x) =x2+ 2x+ 8，易知f(x)在1 , 3上的最小值为f(3) = 5.a(g,5.5.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏为了使这批台灯每天能获得400 元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解 设