二次函数动轴与动区间问题

1、标准文档 实用文案 二次函数在闭区间上的最值 知识要点: 元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 设 ，求 在 上的最大值与最小值。 分析：将 配方，得顶点为 、对称轴为 当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 m, n上 （1 ）当 时， 的最小值是 中的较大者。 （2 ）当 时 若 ，由 在 上是增函数则 的最小值是 ，最大值疋 若 ，由 在 上是减函数则 的最大值疋 ，最小值是 当 时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间， 求其最值。对称轴与定义

2、域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形： （1）轴定，区间定；（2）轴定， 区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。 例1.函数 在区间0， 3上的最大值是 _ ，最小值是 _ 。 解：函数 是定义在区间0, 3上的二次函数，其对称轴方 程是 ，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在的最值： 的最大值是 如图1所示。函数的最大值为 练习.已知 ，求函数 0，3:上, ，最小值为 图1 标准文档 实用文案 ，最大

3、值为 2 2 图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。 得最小值 时，函数取得最小值 函数取得最小值 解：由已知 ,可得 ,即函数 是定义在区间 上的二次函数。 将二次函数配方得 ，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且 图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 内，如图2所示。函数 的最小值为 例2.如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。 解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 i n 1 t+1 如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取 如图2所示，若顶点横坐标在区

4、间 上时，有 ，即 。当 如图3右侧时，有 时, hL to 1 t+1 图2 标准文档 实用文案 (t -1)2 1,t 1 f(X)min =, 0$ n(如图6) 2a 时 f(x)max=f (一 ),mn(如图7)f (x)min 2a 2a f (m), : m(如图8)2 例3.已知f(x)二X -2x 3，当xt, t 1(r R)时，求f(x)的最大值. 解：由已知可求对称轴为 X=1. 二 f (t 1) = t2 2 二 f (X)min = f 円)=当 7 时,f(X) (2)当 t w 1 t 1，即 0 w t w 1 时， 1 根据对称性，若1 J即。t 2时，

5、f (x)max二f二t -2t 3 2 2 max t t 1 1 1 t w 1 若 2 2即2 时, 2 f(X)max 二 f(t 1) 2 (3)当 t 1 1 即 t : 0时，f (x) max 二 f (t)二 t - 2t 3 t2 +2,tJ 2 2 1 t2 _2t+3,t - 2 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？ 这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可

6、能取到，有三种可能，所以分三种情况讨 论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 综上，f (x) max 时 f ( x) max 一 b、1 f (m), -2 (m n)(如图2) 2 A(m+ n)(如 图 1) 2a b f (n), 2a f (X)m i n= “ f(n), n(如图 3) 2a f ( ), m - n(如图4) 2a 2a f (m), : m(如图5

7、) 2a 筍J f(m), ! f(n), b 1 (m n)(如图9) 2a 2 b 1 (m n)(如图10) 2a 2 标准文档 实用文案 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的, 种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 将 配方得: 二次函数 的对称轴方程是 顶点坐标为 ，图象开口向上 可得 ，显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。 函数的最小值是 2 例5. 求f (x ) = x 2ax 1在区间-1,2上的最大值。 (2)求函数y二-x(x - a)在-1,1上的最大值。 (1)二次函数的对称轴方程为 x = -a， 1 1 -a 即 a 时，f

8、(x )max 二 f ( 2 ) = 4a 5 ； 2 2 1 1 -a 即 a 时，f (x)max = f(-1) =2a 2。 2 2 解: 综上所述: f ( X hax - 1 -2a 2,a - 2。 4a 5,a - L 2 函数y f-2)2 2 a 图象的对称轴方程为 4 x = ，应分1 -旦込1，旦：-1， 1即 2 2 2 2 但定义域区间是固定的, 我们称这 例4.已知 ，且 ，求函数 的最值。 解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函数, 标准文档 实用文案 -2 a 2 , a a，即 0 er 1 时，/(x)仙=f (a) = (q 3) (二)、

9、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 2 例7.已知函数f(x)=ax 2ax 1在区间-3,2上的最大值为4,求实数a的值。 解：f (x) =a(x 1)2 1 -a,x -3,2 (1)若a =0, f (x) =1,，不符合题意。 (0 1) 标准文档 实用文案 3 (2)若 a . 0,则 f (x)max 二 f (2) =8a 1，由 8a 4，得 a 二 8 (3)右 a : 0 时，则 f (x) max = f(-1)=1 - a，由 1-a=4，得 a = -3 2 x 例8.已知函数f(x) x在区间m, n上的最小值是3m最大值是3n，

10、求m , n的值。 2 解法1 ：讨论对称轴- 1中1与m, _n ,n的位置关系。 2 若 m n ，则 *: f(X)max = f (n) =3n，解得魂=-4, f(x)min = f(m) =3m m n f(X)max = f (1) = 3n 右 1 ： n，则 ，无解 2 lf(x)min = f (m) =3m 若m【口，则f(x)maf(13n，无解 2 f(x)min = f (n) =3m ” f(X)max = f (m) =3n 若，则 i川ax i丿 ，无解 f(x)min = f (n )=3m 综上，m 二-4,n 二 0 1 1 1 1 解析 2：由 f(x

11、) (x1)2 ，知 3n ,n ,，则m, n(：，1, 2 2 2 6 f (x) u f (n) - 3n 又在m,n上当x增大时f(x)也增大所以 max ，解得m = -4, n=0 (f (x)min = f(m)=3m 评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m , n的取值范围，避 开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 例9.已知二次函数f(x)二ax2 (2a-1)x 1在区间-3,2上的最大值为3，求实数a的值。 IL 2 这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 a 0与a ： 0两大类五种情形讨论，过程繁 琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间

12、的端点或抛物线的顶点处取到， 因此先计算这些点的函 标准文档 实用文案 数值，再检验其真假，过程就简明多了。 具体解法为： 2a _1 1 (1 )令 f(- - ) =3，得 a 二-一 2a 2 此时抛物线开口向下，对称轴方程为 x - -2，且2L3,2 ，故-不合题意; 1 22 1 (2)令 f(2) =3，得 a = 2 1 此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 a=丄符合题意； 2 3 2 (3 )右 f ( )=3，得 a=-一 2 3 2 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 a 符合题意。 3 1 、 2 a=或 a=- 2 3 解后反思：若

13、函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩后奏的方法，禾U用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程 简洁、明了。 三、巩固训练 2 1.函数y = x x 1在-1,1上的最小值和最大值分别是 3 1 1 (A)1 ,3 (B)- ,3 (C) ,3 (D) , 4 2 4 2 .函数y 2 -x 4x - 2在区间 1,4 上的最小值是 (A) -7 (B) -4 (C) -2 (D)2 3.函数y 8 2 的最值为 x -4x 5 (A)最大值为8，最小

14、值为0 (B)不存在最小值，最大值为 8 (C)最小值为0,不存在最大值 (D)不存在最小值，也不存在最大值 4.若函数y =2J x2 +4x,x 0,4的取值范围是 _ 5. 已知函数 上的最大值是1,贝U实数a的 值为 _ 2 2 6如果实数x, y满足x y =1，那么(1 - xy)(1 xy)有 ( ) 1 3 综上, 标准文档 实用文案 (A)最大值为1 ,最小值为一 (B)无最大值，最小值为 一 2 4 3 (C)最大值为1,无最小值 (D)最大值为1,最小值为一 4 2 7已知函数y =x -2x 3在闭区间0,m上有最大值3,最小值2，则m的取值范围是 ( )标准文档 3

15、实用文案 (A) 1, ：) (B) 0,2 (C) 1,2 (D) (-：,2 2 &若x 30, y K0,x+2y =1，那么2x + 3y的最小值为 _ 2 2 2 2 9. _ 设mR, xX2是方程x 2mx+1m =0的两个实根，则Xi + x2的最小值 _ 2 10. 设f(x)二x _4x_4,x t,t 1(t R),求函数f (x)的最小值g(t)的解析式。 2 a 11. 已知f(x) =x -ax ，在区间0,1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。 2 12. (2009江苏卷)设 a为实数，函数 f(x) =2x2 (x-a)|x-a|. (1) 若f (0) _ 1，求a的取值范围； (2) 求f (x)的最小值； 设函数h(x) =f(x),x“a,p)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)兰1的解集. - 2 f (-a),a _0 -2a ,a _0 f (a),a ：0 2a2,a ：: 0 f-2a2,a H0 综上 f (x)min = 2a2 【T,a0,得： 2 2 当 6 当 a 2 af：3=2a2 a 32 a2 F-)(x) )一一0 讨论得：当 (x x a 解集为(a, ：); a - . 3 -2a2 a .3 -2a2 (a,3_.- ，；) 当a( 2