二次函数中几何地最值问题

1、实用标准文档 文案大全 二次函数中几何的最值问题 一、解答题 1、如图，在平面直角坐标系中， 的三个 A 顶点坐标分别为 A (-2, 0)、B (6, 0)、C (0, - 2 品)，抛物线 y=a 护+bx+c ( a 丰 0)经过 A、B、C 三点 (1) 求直线 AC 的解析式； (2) 求此抛物线的解析式； (3) 若抛物线的顶点为 D,试探究在直线 AC 上是否存在一点 P,使得 BPD (1) 求 m 的值及抛物线的顶点坐标； (2) 点 P 是抛物线对称轴 I 上的一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐 与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 C, 若

2、不存在，请说明理由。 实用标准文档 文案大全 3、如图，二次函数 y=a*+bx 的图象经过点 A (2, 4)与 B (6, 0)实用标准文档 文案大全 (1) 求 a, b 的值； (2) 点 C 是该二次函数图象上 A, B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 vx v 6)，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的 最大值。 4 5 - 4、如图，抛物线 y 二 aH+bx+c (a、b、c 为常数， a 工 0)经过点(-1 , 0), B (5，- 6 )，C (6，0). (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图， 在直线 AB下方

3、的抛物线上是否存在点 P使四边形 PACB的面积最大？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出厶 为等腰三角形的点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点 Q 的坐标. 5、如图，长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正半轴上，抛 物线 y实用标准文档 文案大全 +bx 经过点 B (1，4)和点 E (3，0)两点. (1) 求抛物线的解析式；实用标准文档 文案大全 (2) 若点 D 在线段 0C 上，且 BD 丄 DE, BD=DE，求 D 点的坐标； (3) 在条件(2 )下，在抛物线的对称轴

4、上找一点 M，使得 BD 的周长为最小, 并求 BD 周长的最小值及此时点 M 的坐标; (4) 在条件(2 )下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点 P， 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E (1) 求直线 BC 的解析式; (2) 当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标 7、如图 1，对称轴 x=为直线的抛物线经过 B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线 与轴的另一交点为 A . (1) 求抛物线的解析式；使得 PA 的面积最大？若存在，请求出厶

5、面积 PA 最大值及此时 P 点的坐标; 实用标准文档 文案大全 (2) 若点 P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形 COBP 的面积为 S,求 S 的最 大值； (3) 如图 2,若 M 是线段 BC 上一动点，在轴上是否存在这样有点 Q，使 MQC Q 点坐标；若不存在，请说 8、如图 1，抛物线 y=-x 2+2x+3 与 x 轴交于 A，B，与 y 轴交于 C，抛物线的顶 点为 D，直线 I 过 C 交 x 轴于 E( 4，0). (1) 写出 D 的坐标和直线 I 的解析式； (2) P (x，y)是线段 BD 上的动点(不与 B，D 重合)， PF 游由于 F,设四边 形OFPC

6、 的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大值； (3) 点 Q 在 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴的平行线，交直线 I 于 M，交抛 物线于 N，连接 CN，将 CM 沿 CN 翻转，M 的对应点为 M “在图 2 中探究： 是否存在点 Q，使得M恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由.为等腰三角形且厶 为 QB 角三角形？若存在，求实用标准文档 文案大全 实用标准文档 文案大全 二次函数中几何的最值问题的答案和解析 一、解答题 1、答案： (1) y =-材筲 x-2 3 (2) y =”*2 羽 (3) 存在，胃，-罕) 试

7、题分析： (1) 设出一次函数解析式，代入 A、C 两点的坐标即可解决问题； (2) 把 A、B、C 三点代入抛物线 y=ax2+bx+c ，列出三元一次方程组解答即可； (3) 禾 I用轴对称图形的性质，找出点 B 关于直线 AC 的对称点，进一步利用直角三角 形的性质以及待定系数法与两直线的相交的关系求得答案。 解：(1)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ， 把 A (-2，0 )，C (0, -2|：“挖|)代入解析式得， r o = - 2 + ； 解得 k =_ L,二，b = - 2“， . y =一2x-2 ; （2） 把 A （-2，0），B （6，0），C （0，-2：

8、|）三点代入抛物线 y=a+bx+c 得, Q - 4a 2b + c 0 二 36a +66 +（， 2 V3 - c 解得：a=羊，b =-，c = - 2 v3， .“所求抛物线方程为 y = -一 x-2 k 八； (3) 存在满足条件的点 P. “抛物线方程为 y = 一工- ， .顶点 D 的坐标为(2，- )， 要使 BDP 周长最小，只需 DP+PB 最小， 实用标准文档 文案大全 延长 BC 到点 B,使 B C=BC,连接 BD 交直线 AC 于点 P, “.“:厂=16，戸厂=48，二.=64 , “：.= I 厂 + 7 一 , BC 丄 AC, BP=BP , DP+

9、BP=DP+B P=B 最小, 则此时 BDP 周长最小， “点 P 就是所求的点， 过点 B佃H 丄 A 于点 H , “- B 6, 0), C (0 2 応|), “ 在 Rt BO 中, BC=4U%, OC/ B H, B C=BC, “ OH=BO=6, B HOC = 4 . “ B (-6 4), 设直线 BD的解析式为 y=mx+n , D(2 ,-),B (-6 ,4 )在直线 BD上 , = 6m + T 字二2机+兀 -m= -, n =_ 3 1 3 , “ y = , x-3 , .二羊盘-3 9 = - /3迅2V/3 6 X弓 ，y =7 ，6 7 )， “在直

10、线 AC 上存在点 P ,使得 BDP 周长最小，此时 P百，-牛. 实用标准文档 文案大全 2、答案： (1) m=2 , (1 , 4) (2) ( 1 , 2) 试题分析： (1) 首先把点 B 的坐标为(3, 0)代入抛物线 y -X2 +mx+3，利用待定系数法即 可求得 m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标； (2) 首先连接 BC 交抛物线对称轴 I 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小，然后利用待 定系数法求得直线 BC 的解析式，继而求得答案. 解：(1)把点 B 的坐标为(3，0)代入抛物线 y=-护+mx+3 得：0= -32 +3m+3 ， 解得：m=2， y=-云 +

11、2x+3=-心1 )?+4， “顶点坐标为：(1，4). (2)连接 BC 交抛物线对称轴 I 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b ， “点 C (0，3)，点 B (3，0 )， 3A: + b = 0 当 x=1 时，y= 1+3=2 ， “当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标为：(1，2) “直线BC的解析式为: y= - 实用标准文档 文案大全 3、答案： (1) a=- 48 , 当 m=2 时，S 有最大值为 48，这时 n?-5m-6= 夕-5 X2-6=-12 , - P 2, -12 ）, （3）这样的 Q 点一共有 5

12、个，连接 I 轧帆、丄、, X 1 X6 实用标准文档 文案大全 “一是等腰三角形，且上丄;, 由勾股定理得： (弓+1 厂+护=(弓5 厂+ (y + 6)2 实用标准文档 文案大全 (弓，-号) 5、答案： (1) y= ”+6x (2)( 0, 1) (3) TT + 3，G,愕). (4) 蕃(仁害) 试题分析: (1) 将点 B (1, 4), E (3 , 0)的坐标代入抛物线的解析式，得到关于 a、b 的方 程组，求得 a、b 的值，从而可得到抛物线的解析式； 从而得到 OD=AO=1 ，于是可求得点 D 的坐标; (3)作点 B 关于抛物线的对称轴的对称点 B,连接 BD 交抛

13、物线的对称轴与点 M .先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点 B的坐标，由轴对称的性质可知当点 D、 M、B在一条直线上时， 的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得 BD 和 BD的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得 D、B的解析式, 然后将点 M 的横坐标代入可求得点 M 的纵坐标； (4) 过点 F 作 FG 丄x轴，垂足为 G “设点 F (a，丄+6a )，则 OG=a，FG= -+6a “然后依据-= “ 的三角形的面积与 a 的函 数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可 f 口亠 6=4 ， 抛物线的解析式为 y=+6x . (2) 如图 1 所示;(2)

14、依据同角的余角相等证明/ BDC=Z DEO，然后 依据明BDCA DEO, 解：(1)将点 B (1，4 )，E (3， 0)的坐标代入抛物线的解析式得: 解得: 实用标准文档 文案大全 BD 丄 DE, / BDE=90 . / BDC+Z EDO=90 . 又/ ODE+Z DEO=90 , / BDC=Z DE0. ECD 二 ZDOE5 DE二 DE :. BDCA DEO. OD=AO=1 . “- DO, 1). (3) 如图 2 所示： 作点 B 关于抛物线的对称轴的对称点 B,连接 BD 交抛物线的对 称轴与点 M . 实用标准文档 文案大全 “点 B的坐标为 2, 4).

15、“点 B 与点 B关于=二对称, “ MB=B M. “ DM+MB=DM+MB “当点 D、M、B在一条直线上时，MD+MB 有最小值(即 “由两点间的距离公式可知：BD=：卜“ ； J I -=I , 沪 + ( 4 - 1=13 , “ BDI 的最小值=*.$!+,.丨. 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b 异 “直线 DB的解析式为 y=|x+1 . 将 x=匸；代入得：y=匸. 艺 115 x “ M (一 ， ). (4) 如图 3 所示：过点 F 作 FG 丄x轴，垂足为 G. 设点 F (a, - +6a )，则 OG=a , FG= 】 +6a . S 磷搭DOGF=弓

16、(OD+FG ) oG=(-2a+6a+1 ) x a=a: 二吉 OD OA 乌 x 1 x 1=， SQF 二省 AG FG=G* + 4 口 -3a， “ 亠；一：= 叫 a-1 ：. “ “当 a= 时，邑 FD4 的最大值为盏 “点 P 的坐标为（彳，善）. BM 周长有最小值) 将点 D、B的坐标代入得: 实用标准文档 文案大全 6、答案： /八 1 5 （1） y 二予 x+ 1 （2） （ ，- ） 试题分析： （1） 利用坐标轴上点的特点求出 A、B、C 点的坐标，再用待定系数法求得直线 BC 的解析式； （2） 设点 D 的横坐标为 m，则纵坐标为（m，m- 3m+卡），E

17、 点的坐标为（m， -士 m+吕），可得两点间的距离为 d=- in+2 兰 m，利用二次函数的最值可得 m，可 得点 D 的坐标. 解：（1 抛物线 y=/-3x+弓与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C， “令 y=0，可得 x=斗或 ， A 伶 I，0），B 逍，0 ）； 令 x=0，则 y=-， C点坐标为（0，弓）， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有， 解得：（心 “直线BC的解析式为： y=-x+ 口 ； （2）设点 D 的横坐标为 m，则坐标为（m，总 3m+弓）， “ E点的坐标为（m，-专 m+目）， 设 DE 的长度为 d， “点 D 是直线 B

18、C 下方抛物线上一点, 1 5 2 51 则 d=-卫 m+ 可-（片-3 口+ R ），实用标准文档 文案大全 整理得，d=- 号 m , / a=1 v 0 , D点的坐标为（号，-罟） 7、答案： y=-2 +2x+4 6 存在，Q（-,0） 试题分析： （1） 由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式； （2） 作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S,化简后是一个 关于 S的二次函数，求最值即可； （3） 画出符合条件的 Q 点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比 相等列比例式；在直角厶 和直角 CC 利用勾股定理列方程；

19、两方程式组成方 程组求解并取舍. 解：（1）由对称性得：A （-1，0），设抛物线的解析式为：y=a （x+1 ）（x-2 ）， 把 C （0，4）代入：4=-2a， a=-2 ， y=2 （x+1 ）（x-2 ）， “抛物线的解析式为：y=-2+2x+4 ； （2）如图 1,设点 P （m，-2+2m+4 ），过 P 作 PD 丄x轴，垂足为 D， 2B 3= 一=1& 时, 实用标准文档 文案大全 理由是: 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b ， 把 B（2，0）、C（0，4）代入得：， 解得：， “直线 BC 的解析式为：y=-2x+4 ， 二 S=+=m (-2+2m+4+

20、4 ) + ( -2+2m+4 ) ( 2-m)， S=-2+4m+4=-2+6 -2 v 0, Q 角三角图1 实用标准文档 文案大全 设 M （a，-2a+4 ）， 过 A 作 AE 丄 BC,垂足为 E, 则 AE 的解析式为：y=x+ , 则直线 BC 与直线 AE 的交点 E (1.4 , 1.2), 设 Q ( -x，0)( x 0), AE / QM ABE QBM, “二， 由勾股定理得： +=2 X +， 由得：=4 (舍)，=, 当 a=时，x=, - Q (, 0)“ 8、答案: 试题分析：(1)先把抛物线解析式配成顶点式即可得到 D 点坐标，再求出 C 点坐标, 然后利

21、用待定系数法求直线 I 的解析式； (2) 先根据抛物线与 x 轴的交点问题求出 B (3 , 0)，再利用待定系数法求出直线 BD 的解析式为 y=-2x+6，则 P (x, -2x+6 )，然后根据梯形的面积公式可得 S=- x2+-x ( 1 x 0),则可表示出 M (t, -jt+3 ), N (t,- 一 11 5 t2+2t+3 )，利用两点间的距离公式得到 MN=|t 2-t|, CM= jt，然后证明 NM=CM 11 5 得到|t2-Ht|=jt，再解绝对值方程求满足条件的 t 的值，从而得到点 Q 的坐标.实用标准文档 文案大全 (1 )； y-x2+2x+3=- (x-1 ) 2+4 , - D 1 , 4), 当 x=0 时，y=-x 2+2x+3=3，则 C (0, 3), 设直线 I 的