高考复习指导讲义圆锥曲线

1、高考复习指导讲义 圆锥曲线一、考纲要求1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.二、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解

2、；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 f2(x0,y0) =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.2.圆圆的定义点集：MOM=r，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方程(1)

3、标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当D2+E2-4F0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则MCr点M在圆C内，MC=r点M在圆C上，MCr点M在圆C内，其中MC=.(3)直线和圆的位置关系直线和

4、圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 直线与圆相切有一个公共点 直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.曲线性质椭 圆双曲线抛物线轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2.=±2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.圆 形标准方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)顶 点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2

5、(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0,y=0实轴长：2a 虚轴长：2b对称轴y=焦 点F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F(，0)焦点对称轴上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=准 线x=±准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=,0e1e=,e1e=14.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条

6、定直线l的距离之 比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0e1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x

7、 Oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点焦 线对称轴椭圆+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+ =1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k双曲线-=1(±c+h,k)=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(+

8、h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h三、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.例1 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2，求y/x的最大值.解：此题有多种解法，但用待定

9、参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷. 设k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线ykx在第一象限与圆相切 ，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.，解得k(-舍去).(二)充要条件说明 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这 几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.例2 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件，D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解： 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙 是甲的充

10、分条件，故选A.(三)圆的标准方程和一般方程说明 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.例3 圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解： 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 . A圆圆心是C1(-1,-1)，B圆圆心是C2(1，1)，C1C22，r11，r22.r1+r2C1C2即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D. (四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几

11、何性质：范围、对称性、顶 点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法说明 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要 的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.例4 P是椭圆+1上 的点，F1、为其焦点，若F1PF290°.求PF1F2的面积.解：SPF1·PF2，而PF2 +PF210，PF12+PF22=F1F22=36，联合求解得：PF1·PF232，S16.(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线说明 根据已知条件会求双曲线的

12、标准方程，以及双曲线的有关元素.这里 与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.例5 已知双曲线-1()过点A(4，4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求顶点坐标；(4)求点A的焦半径.解： 因为双曲线过点A(4，4)，所以- 1，tg2+tg-0 ，tg-2，(tg=1舍去，因为双曲线方程为-+1.从而a=2,b=4,c=2.(1)实轴长2a=4 ，虚轴长2b8.(2)离心率e.(3)顶点为(0，2)，(0，-2).(4)焦点F1(0，-2)，F2(0，2).AF12(+1)，AF22(-1).(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线

13、的画法说明 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(c0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.例6 圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴相切的一个圆的方程是( ) A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0解： 经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.(x-)2+(y-1)2=(x+)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=1由已知条件，的圆心不在抛物线y2=2x上.而圆要与x轴

14、相切，则圆心的纵坐标的绝对值 要等于半径.故只有适合.选D.(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程说明 坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的 关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.例7 方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是( )A.(-3，-1) B.(-3，1) C.(3，-1) D.(3，1)解： 将原方程配方后化为+=1， 对称中心是(-3，1).故选B.例8 求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率 及准线方程.解： 将原方

15、程配方后化成+=1. x=x-2令 y=y+3 得到新方程为+=1.a=3,b=2,c=.即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，准线为y±± x=x+2由平移公式 ，得在原坐标系中 y=y-3焦点为：(2，-3)、(2，-3)，准线为：y=±-3.(八)综合例题赏析例9 设集合M=xx2，P=xx3，那么 “xM或xP”是“xMP”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分也非必要条件解：MN=R，MN=2x3xMPxM或xN.应选B.例10 已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=

16、4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.2 解：r=2，圆心(1，0)，a0，a应选C.例11 设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成 的两段弧，其弧长的比为31在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线lx-2y=0的距 离最小的圆的方程解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r由题设知，P到x,y轴的距离分别为b,a,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦 长为r,有r2=2b2由“圆P截y轴所得弦长为2”有r2=a2+12b2-a2=1P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=,得5d2=a-2b2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2) 2b2-a2=

17、1当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1从而d取得最小值 a=b a=1 a=-1由此有 解得 或 2b2-a2=1 b=1 b=-1 又由r2=2b2,得r2=2.所求圆方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2例12 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线方程.解：设反射光线为LL和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，L过A(-3，-3)设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)=kx-(-3),即kx-y+3k-3=0,已知圆

18、方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心的坐标为(2，2)，半径r=1L和已知圆相切，做到L的距离等于半径r=1即=1整理得12k2-25k+12=0解得k=或k=L的方程为y+3=(x+3);或y+3=(x+3).即4x-3y+3=0,或3x- 4y-3L和L关于x轴对称L的方程为4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0.例13 设椭圆+=1 (ab0) 的右焦点为F1，右准线为l1.若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离， 则椭圆的离心率是_. 解：例14 已知椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点距离为3，则P到另一焦点的距离为( )A.2 B.3 C.5 D.7解：a2=25,

19、a=5,2a=10.此椭圆上的点到两焦点的距离之和为10点P到另一焦点的距离为10-3=7.应选D.例15 设双曲线-=1 (0ab)的半焦距为C，直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线1的距离为c，则双曲线的离心率为( )A.2. B. C. D. 解：直线1过(a,0)，(0,b),1的方程为+=1,即bx+ay-ab=0原点(0，0)到1的距离为c，由点到直线的距离公式 ，得c=又0ab,双曲线中c2=a2+b2, c2=a2+b2=,得ab=,=·(a2+b2),整理得a2-4ab+b2=0,b=a.c2=a2+b2=4a2,c=2a,e=2.应选A.例16 设F

20、1和F2为双曲线-y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90°.则F1PF2的面积是( )A.1 B. C.2 D.解：由已知可得，F1(-，0)，F2(，0)F1F2=2,F1F22=20由F1PF2=90°,得20=FFPF1+PF 由双曲线定义得PF1-PF=2a=4，平方得PF12+PF22-2PF1·PF1=16 -得2PF1·PF2=4S=PF1·PF2应选A.例17 双曲线-x2=1的两个焦点坐标是_.解：(0，)，(0，-)例18 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是( )A. B. C.

21、D.2解：由题设知a=2,c=3.e=. 应选C.例19 已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点 的距离是5，则p=_.解：y2=2px的焦点坐标是(，0)，5=解出p=4.例20 直线l过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点，并 且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_.解：设抛物线焦参数为p，则a=2p(p0).l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y2=a(x+1)的对称轴.l被抛物线截得的线段即正焦弦长.4=2p=a，即a=4.例21 抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为_.解：由ABx轴，AB=4，可设A(x1，2)

22、.A(x1，2)在抛物线y2=4x上，(2)2=4x1，得x1=3.又y2=4x的焦点F的坐标为(1，0)，F到AB的距离为3-1=2.例22 焦点在(-1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( )A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1)C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1)解：设抛物线焦参数为p，则焦点和顶点的距离是，即=2，得p=4.又抛物线顶点坐标为(1，0)，焦点是(-1，0)，y2=-8(x-1)为所求.应选D.例23 曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共 点的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1解：由2y2+3x+3=0，得y2=-

23、x-0，x-1.把y2=-x-代入x2+y2-4x-5=0，得x2-x-4x-5=0，即2x2-11x-13=0即(2x-13)(x+1)=0，x=-1(舍x=).把x=-1代入2y2+3x+3=0，得y=0.交点为(-1，0)，即只有一个交点.应选D.例24 设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.(1)写出曲线C1的方程；(2)证明曲线C与C1关于点A(，)对称；(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S=-t且t0.解：(1)曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s(2)在曲线C上任取点B1(x1，y1)，设B2(x2，y

24、2)是B1关于点A的对称点，则有=，=，x1=t-x2，y1=s-y2代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：S-y2=(t-t2)3-(t-x2)，即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s，可知点B(x2-y2)在曲线C1上反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，曲线C与C1关于点A对称.(3)曲线C与C1有且仅有一个公共点， y=x2-x方程组 ，有且仅有一组解. y=(x-t)3-(x-t)+S 消去y，整理得3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根t0，并且其根的判别式=9t4-12t(t3-t-S)=0. t0即 t(

25、t3-4t-4S)0S=-t且t0例25 已知l1，l2是过点P(-，0 )的 两条相互垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2，(1)求l1的斜率k1的取值范围；(2)若A1恰是双曲线的一个顶点，求A2B2的值.解：(1)依题意，l1，l2的斜率都存在，l1过点P(-，0)且与y2-x2=1有两交点， y=k1(x+)(k10) . y2-x2=1 有两个不同的解，消y整理得(k21-1)x2+2k21x+2k21-1=0. 若k21-1=0，则方程组只有一解，与题设“l1和双曲线有两交点”矛盾.k21-10，即k1.的根的判别式为1=(2k2

26、1)2-4(k21-1)·(2k21-1)=4(3k21-1).设l2的斜率为k2，因l2和双曲线有两交点， y=k2(x+)(k20)方程组 有两不同解. y2-x2=1在中消y整理得(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0. 同理有k21，2=4(3k22-1).由已知l1l2，得k1·k2=-1.l1，l2与双曲线各有两个交点，等价于 3k21-10 k1 3k22-10 解得 k1·k2=-1 k11 k10，k2 1，k1(-，-1)(-1，-)(，1)(1，).(2)双曲线y2-x2=1的顶点为(0，1)，(0，-1).即A1(0，1)时，有

27、k1·(0+)=1，得k1=，k2 =-=-.将k2=-代入方程得x2+4x+3=0 记l2与双曲线的两交点为A2(x1，y1)、B2(x2，y2)，则A2B22=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3(x1+x2)2-4x1x2由知，x1+x2=-4，x1·x2=3，A2B22=3(-4)2-4×3=60，A2B2=2.当取A1(0，-1)时，由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性，知A2B2=2.l1过双曲线一顶点时，A2B2=2.例26 已知椭圆+=1，直线L+=1，P是L上 一 点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足OQ·

28、;OP=OR2，当点P在l上移动 时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：如图.由题设知Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为(xP，yP)、(xR，yR)、(x，y)其中x ，y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组； +=1 x2R= ，解得= y2R= 由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组： +=1 xP= ，解得 = yP= 当点P在y轴上时，经检验也成立.OQ·OP=OR2·=()2，将(1)(4)代入上式，化简整理得=.因x与xP同号或y与yP同号，以及、知2x+3y0，点Q的轨迹方程为+=1.其中(x，y不

29、同时为零)点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆.解法二：由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xP，yP)，(xR，yR)，(x,y)其中x，y不同时为零. 设OP写x轴正方向的夹角为，则有 xP=OPcos，yP=OPsin； xR=ORcos，yR=OPsin； x=OQcos，y=OQsin；又OP·OQ=OR2，可得 xP=x x2R=x2 yP=y y2R=y2点P在直线l上，点R在椭圆上， +=1 ，将(1)、(2)代 入，得 +=1.(其中x，y不同时为零).Q点的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭

30、圆(去掉坐标原点).例27 已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点、焦 点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程.解法一：如图.由题意可设抛物线C的方程为y2=2px (p0)，且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，所 以可设l的方程y=kx (k0) 设A、B分别是A、B关于l的对称点，则有，AAl，直线AA的方程为 y=-(x+1). 由、联立得AA与l的交点M的坐标为(-，-).由M为AA的中点，得点A的坐标为， xA=2(-)+1=，yA=2()+0=- 同理可得点B的坐标为(，).A、B均在抛物线y2=2px (R0)上，

31、(-)2=2p·，知k±1 ，p=.同理()2=2p·，得p= .=，整理得k2-k-1=0.解得k1=，k2=.但当k=时，xA=-0，与A在抛物线y2=2px上矛盾，故舍去.把k=代入p=.直线方程为y=x，抛物线方程为y2=x.解法二：设点A、B关于直线l的对称点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有OA=OA=1，OB=OB=8设x轴正向到OB的转角为，则有 x2=8cos，y2=8sin A，B是A，B关于直线l的对称点，又BOA是直角，BOA为直角，得x1=cos(-)=sin ，y1=sin(-)=-cos 由题意知，x10，x20，故为第一象限角

32、.A，B都在抛物线y2=2px上，cos2=2p·sin，64sin2=2p· cos8sin3=cos3，得2sin=cos解得sin=，cos=.代入cos2=2psin，得p=.抛物线方程为y2=x.直线l平分BOB，l的斜率k=tg+(-)=tg(+)=. 直线l的方程为y= x.例28 在面积为1的PMN中，tgM=，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出M、N为焦点且过点P的椭圆方 程.解：如图以MN所在直线为x轴，以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.设以M、N为焦点且过P点的椭圆的方程为+=1 (ab0)点M、N的坐标分别为(-c,0)、(c,0).由tgM

33、=，tgPNx=tg(-MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c),y=2(x-c). x=c将两方程联立得 ，即P(c, c). y=c已知MNP的面积为1，1=MN·yP= ·2c· c= c2，得c=，P(，).PM=，PN= = = ，2a=PM+PN=,a= ， b2=a2-c2=()2-()2=3 .+=1为所求椭圆方程.例29 设抛物线经过两点(-1，6)和(-1，-2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得线段长是4，求抛物线的方 程.解：设所求抛物线的顶点坐标为(x0,y0)，由题设可设所求抛物线方程为(y

34、-y0)2=2 p(x-x0)(p0)(-1,6),(-1,-2)在抛物线上，抛物线的对称轴为y=2，即y0=2，抛物线方程化为(y-2)2=2p(x -x0) 把(-1，-2)代入，得2px0=-2p-16 设直线和抛物线两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2). (y-2)2p(x-x0)由 ，得 y=2x+74x2+(20-2p)x+(25+2px0)=0,将：2px0=-2p-16代入上面方程，得4x2+(20-2p)x+(199-2p)=0，x1,x2是方程的两根，由根与系数的关系得x1+x2=5-，x1·x2=.x1-x2=4=x1-x2=·化简整理得p2-1

35、2p-64=0，即(p-16)(p+4)=0,又p0，p=16.由2px0=-2p-16，得x0=-.(y-2)2=32(x+)为所求抛物线方程.例30 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为+=1.依题意知，点P、Q的坐标满足方程组： +=1 (1)y=x+1 将代入，整理得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0， 设方程的两个根分别为x1、x2，则直线y=x+1和椭圆的交点为，P(x1,x1+1)，Q(x2,x2+1)由题设OPOQ，OP=，可得·=-1(x-x1)+

36、(x2+1)-(x1+1)=()2.整理得(x1+x2)+2x1x2+1=0 4(x1+x2) -x1x2-5=0 解这个方程组，得 x1x2= x1x2=- 或 x1+x2=- x1+x2=-根据根与系数的关系，由(3)式得 () 或 () -解方程组()、()得 a2=2 a2= 或 b2= b2=2故所求椭圆方程为+=1，或+=1.例31 已知双曲线C的实半轴长和虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为F1、F2，直线L过F2且与直线F1F2的夹角为，tg=，L与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q(且PQPF2=21)，求双曲线的方程.解：如图，以直线F1F2

37、为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系.设双曲线C的方程为-=1 (ab0)设F1，F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，其中C=，则点P(0，-，c).由线段的定比分点公式可得Q点的坐标为(c,- c).将Q点坐标代入双曲线方程得-=1，整理得16()4-41()2-21=0解得()2=3或()2=-(舍去)由()2=3和题设ab=，解得a=1，b=.故所求双曲线方程为x2-=1.例32 已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且OP垂直 ，过点A(1，0)和点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标.解：设点P的坐标为(2，y1)，则

38、直线OP的斜率kOP=.l直线OP.直线l的斜率k1满足kOP·k1=-1，即·k1=-1，得k 1=-.又直线l过原点，所以l的方程为y=-x.直线m过点A(1，0)，P(2，y1).m的方程为y1x-y-y1=0由l的方程得y1=-代入m的方程得-x-y+=0，即2x2+y2-2x=0.显然点Q与点A(1，0)不重合，故x1.又2x2+y2-2x=0可化为+=1 (x1)，Q点的轨迹是挖去点(1，0)的椭圆，该椭圆的焦点坐标是(，)和(，-).例33 已知椭圆的焦点为F1(0，-1)和F2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P在椭圆上，

39、且PF1-PF2=1，求tgF1PF2的值.解：如图.(1)设所求椭圆方程为+=1，(a b0)由F1(0，-1)和F2(0，1)，知c=1，得a2=b2+1， 由一条准线方程为y=4知，=4 又a2=b2+c2 由、解得a2=4，b2=3.故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义及a=2有PF1+PF2=4 由题设有PF1-PF2=1 解出PF1=，PF2=，又F1F2 =2.在PF1F2中，F1PF2=，cos=，从而sin=，tg=，tgF1PF2=.四、能力训练(一)选择题1.“点M的坐标是方程f(x，y)=0的解”是“点M在方程f(x，y)=0曲线上”的( )A.充分不必要条件 B.

40、必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.抛物线x=-的焦点坐标是( )A.(0，1) B.(-1，0)C.(0，-) D.(-，0)3.椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长是( )A. B. C. D. 4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是( )A.-y2=1和-=1B. -y2=1和y2-=1C.y2-=1和x2-=1D. -y2=-1和-=15.抛物线x2-4y=0上一点P到焦点的距离为3，那么P的纵坐标是( )A.3 B.2 C. D.-26.已知椭圆+=1 (ab0)的两 个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是( )A. B. C

41、. D. 7.圆x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0在x轴上截得的弦长是( )A.2a B.2a C.a D.4a8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ，F是另一个焦点，若PFQ=，则双曲线离心率是( )A.+2 B. +1 C. D. -19.抛物线y2+4y-4x=0的准线方程是( )A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-210.椭圆的两准线方程分别为x=，x=-，一个 焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.设双曲线-=1的两条渐近线含 实轴的夹角为，而离心率e，2，则的取值范围是( ) A.， B.，C.

42、， D.，12.椭圆+=1的弦AB被点(1，1)平分，则 AB所在的直线方程是( )A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0C.9x+4y-10=0 D.9x-4y-5=013.和x轴相切，且和圆x2+y2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是( )A.x2=2y+1 B.x2=-2y+1C.x2=2y+1或x2=-2y+1 D.x2=2y+114.如果椭圆+=1 (ab0)和曲线+=1(m0，n0)有相同的焦点F1和F2 ，P是这两条曲线的交点，则PF1·PF2的值是( )A.a-m B.(a-m)C.a2-m2 D.-15.已知0a1b，那么曲线a2x2-a2y2=logab是

43、( )A.焦点在x轴的双曲线B.焦点在y轴的椭圆C.焦点在x轴的等轴双曲线D.焦点在y轴的等轴双曲线(二)填空题16.直线xsin+ycos=m(常量(0，) 被圆x2+y2=2所截的弦长为，则m=_.17.设椭圆-=1的准 线平行于x轴，则m的取值范围是_.18.如果方程x2cos2+y2sin=1，表示椭圆，那么 角的取值范围是_.19.设双曲线C：-=1椭圆的焦点恰为双 曲线C实轴上的两个端点，椭圆与双曲线离心率为互为倒数，则此椭圆方程是_.(三)解答题20.已知两圆C1x2+y2+4x-4y-5=0 C2x2+y2-8x+4y+7=0(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程.(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程