二次根式复习专题讲义(补课用)

1、实用标准文案 文档 二次根式复习专题讲义 一、二次根式的概念： 1. 二次根式：形如、.a ( 0)的式子叫做二次根式，“、 称为二次根号。 .式子中，被开方数(式)必须大于等于零。 .盲(0)是一个非负数。 .(7a ) 2= a (a0); Va2 =a (a 0) 2. 二次根式的乘： .一般的，有品晶=VOb . (a0, b 0) .反过来，有 Vab = Va x Vb ( a 0 , b 0 ) 3. 二次根式的除： .一般地，对二次根式的除法规定： 4. 二次根式的加减法则： 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根 式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 典型例题分析

2、： 例 1.下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式： V2、V3、1、VX (x0)、V0、2、- V2、一1、Jx+y (x x x + y 0, y? 0). .反过来， 实用标准文案 文档 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” 第二，被开方数是正数或 0。 解：二次根式有：y/2、五(X0 )、J0、- 42、Jx 十 y ( x 0, y 0);不是二次根式的有： 返、1、近、丄。 x x+ y 例 2.当 X 是多少时，.、2x，3+丄在实数范围内有意义？ x + 1 分析：要使+丄在实数范围内有意义，必须同时 X +1 满足、7x3 中的0 和丄中的 x+1 工

3、 0. x+1 解：依题意，得2x3-0 lx + 10 由得：x - 2 由得：x 工-1 当 x- 3且 x 工-1 时，-2T+丄在实数范围内有意义。 2 x + 1 变式题 1：当 x 是多少时，31在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或 等于 0,所以 3x-1 0, ? 3-1 才能有意义. 解：由 3x-1 0,得：x - 3 当 x 1时，x3i在实数范围内有意义. 3 变式题 2：.当 x 是多少时，二二+x2在实数范围内有 x 意义？ 解：依题意得：常0，仁?实用标准文案 文档 题. 当 x- 3且 x 工 0 时，2x V + X2在实数范

4、围内没有意义。 2 x .若后 7 +片 3 有意义，则护= _ 。 使式子、,-（x5）2有意义的未知数 X 有（）个。 例 3.已知 y=.+. 口+5，求上的值.（答案：2） y 5 .若一尹+ 一厂1=0，求 a2004+b2004的值.（答案：2） .已知.厂尸+、厂3=0，求 xy的值.（答案:81 ） 例 4. 计算 1.( 身)2 2 .(3 5) 2 3 .( .5) 2 4 .(辽)2 .6 2 分析： 我们可以直接利用（ a ） 2=a （ a 0）的结论解 2 2 ( ,5 ) 2 =5 (辽)2 _（；7）2 7 6 6 2 22 4 例 5. 计算 1. (、X 1

5、 ) 2 ( x 0) 2 . (，a2 ) 2 3. ( .a2 2a 1 1 ) 2 4 . (4x2 2 12x 9) 分析 斤： (1) 因为 x 0, 所以 x+10; (2) a20; (3) 解：3 ) 2 = 3 , ( 3 5 ) 2 =3 2 (、5 ) 2=32 5=45, a2+2a+仁(a+1) 2 0; (4) 4x2- 12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3 ) 20. 实用标准文案 文档 所以上面的 4 题都可以运用（、a）2=a （a0）的重要结 论解题. 例 6.在实数范围内分解下列因式 2 4 (1) x-3 (2) x-4 2x 2

6、-3 例 7.化简 (1) 9 (2).百 (3) J25 (4) 分析：因为（1） 9=-32, (2) (-4 ) 2 2 =4 (3) 25=52, (4) (-3 ) 2=32，所以都可运用 a2 =a (a 0) ?去 化简。 解：(1 ) ,9=. 32 =3 ( 2) (-4)2 =. 42 =4 (3) ,25=.52 =5 ( 4) , (-3)2 = 32 =3 解：(1)因为 x 0,所以 x+10 2 2 a +2a+10 , . da 2a 1 =a +2a+1 (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3 ) 2 (4x2 -12x 9)2=4x2-12x+9 2

7、. （2、3 3、2）（2、3 -3.2） 实用标准文案 文档 例 8.填空：当 a 0 时，va2= _ ;当 aa，则 a 可以是什么数？ 分析：Jr7=a(a0), 要填第一个空格可以根据这 个结论，第二空格就不行，应变形，使“ ()2”中的数是 正数，因为，当 a 0. (1) 根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆 向思想；(3)根据(1)、(2)可知倚-| a |,而| a |要大 于 a,只有什么时候才能保证呢？ a0； (2) 因为 a2 =-a，所以 a 0时a2 -a,要使-.a2 a,即使aa所以 a 不存在；当 aa,即使-aa , a0 综上，a2，化简 .(

8、x-2)2 - ,(1-2x)2 . 例 10.先化简再求值：当 a=9 时，求 a+.i匚2a_a2的值， 甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式 =a+(1-a)2 =a+ (1-a ) =1 ； 乙的解答为：原式 =a+ .(匚a)2=a+ (a-1 ) =2a-1= 17 . 两种解答中， _ 的解答是错误的，错误的原因是 Q 变式题 1.若丨 1995-a | +Ja2ooo=a,求 a-1995 的值. 实用标准文案 文档 (提示：先由 a-2000 0,判断 1995-a?的值是正数还 是负数，去掉绝对值) 变式题 2. 若-3 X 0, b 0)计算即可. 解：(1) 5 X

9、, 7 =. 35 (2) 1 X . 9=1 9 = 3 (3) 9 X V 27 = JA 27 =丿仝2 汉 3 =9/3 (4) ； 1 X 6 = 1 6= 3 例 12 .化简 (1) 9一16 (2) 、16一81 (3) 、81 100 (4) .9x2y2 (5) 54 分析：利用 不a ,b (a0, b0)直接化简即可. 解：(1 ) 9 16= ,9 X x 16 =3 X 4=12 (2) . 16 81 =. 16 X .81 =4X 9=36 (3) 81 ioo=、8i X ,100=9X 10=90 (4) . 9x2y2 =. 32 X . x2y2 = .

10、3 Xx2 X y2 =3xy 实用标准文案 文档 (5) 54= 9一6= ,3 X 6=3.6 例 13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改 正： (1) . (4)(=9) - -4、-9 (2) 、4| X 25 =4 X 1| X 25=4 12 X . 25=4、12=8、3 解：(1)不正确. 改正： (旳(一9)=.4 9 = ,4 X . 9 =2 X 3=6 (2)不正确. 改正：.412 X ,25 = 112 X 25= 112 25 =.112= ,16 7 = 4 7 25 V 25 V 25 变式题 1:若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 i

11、Hcm ?那么此直角三角形斜边长是( ). 变式题 2：化简 a, _a 的结果是(). 变式题 3： U而4= _ . V169X6 变式题 4: 一个底面为 30cmX 30cm 长方体玻璃容器中装 满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶 的底面边长是多少厘米？ 设：底面正方形铁桶的底面边长为实用标准文案 文档 贝y x2x 10=30 x 30 x 20, X2=30X 30X 2, X= 30 30 X、2 =30、2 . 变式题 5:探究过程：观察下列各式及其验证过程. 验证：2身22 l=f 2 2 2

12、21 验证: 同理通过上述探究你能猜测出: (a0) 并验证你的结论. 2 | 2- ) 2 2 2 - 2 2 - 3 3 l l 8 l 3-3 3 32 -1 8 5 24， 3(32 -1) 3 32 - 3 3 实用标准文案 文档 a3 -a a = aa 2 T) . a a2 -1 a2 -1 、a2 -1 a2 -1解: 验证: a3 -aa a2 - 实用标准文案 (4) 文档 例 14.计算: (1) 12 (2) 3 8 1 4 16 葺 分析: 上面 4 小题利用-1 = Jb (a0, b0)便可直接 得出答案. 解: (1) 护=2 (2) 2 3_一 1 2 8

13、=3 4= .3 X =2,3 (3) 16 =倉=2 1 1 1 一=. 16 . 4 16 . =8=22 (4) 64 4 例 15.化简: (1) (2) a 64b2 9a2 (3),仝 64y2 (4) 5x 169y2 分析：直接利用 -=- ( a 0, b0 )就可以达到化简 之目的. 解: (1) 3 (2) 64b2 _ 64b2 8b (3) 9a? . 9a2 3a 9x _ “9x 3x 实用标准文案 文档 化”，那么，化简 +的结果是( )例16已知,：r：6，且x为偶数，求1+x)薦4 的值. 因此得到 9-x 0 且 x-60 ,即 6x 0 x a 6 6x

14、 0， b0 时才能成立. 式子 只有 实用标准文案 文档 变式题 3.已知 x=3, y=4, z=5，那么 千 R 的最后结 果是 变式题 4.有一种房梁的截面积是一个矩形， 且矩形的长 与宽之比为3 : 1, ?现用直径为 3 15cm 的一种圆木做原料 加工这种房梁， 那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 解：设：矩形房梁的宽为 x(cm)，则长为V3xcm,依题 意， 得：(、.3X) 2+X2= ( 3 15) 2, 4X2=9X 15, x=3 15 (cm), 3x x= 乜(cm). J 3 2 m n n=-n3n m I m m m m 3(m+ n)(m-n儿 a2 a

15、2 =Q 变式题 4 5.计算 (1) n m (2) -3 3m2 -3n2 2a2 )x n n = n 12 3 2 1 m 2m5 .2m3 m2 、n (2)原式=-2 六(-丄 吕(m0 n0) 2 m3 3 N )- m 丄(a0) m 一 n 解：(1)原式=- / 3 m n 2 I a2 号=-6 a 实用标准文案 文档 2a2 m nm - n 例 17.把它们化成最简二次根式： (1) 3 12 ; (2) x2y4 x4y2 ； (3) ,8x2y3 点评：二次根式有如下两个特点:实用标准文案 文档 1 .被开方数不含分母； 2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

16、. 我们把满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根 式. 例 18.如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 , AC=2.5cm, BC=6cm 求 AB 的长. 解：因为ABAC+BC 所以 AB=、25P=.（）52如普-詈二少点方（cm） 因此 AB 的长为 6.5cm. 例 19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二 次根式的化成最简二次根式： 1 - 2 1 -仆（V2-1） 血-1 =庁 1 2 1）（.2一1）2一1 2 ， 1 一3 2 =1（亠.=3一 2-3-二, ! （ .3 2）（ 一3 - 2） 32- 同理可得：、二33， 从计算结果中找出规律，并利用这

17、一规律计算 1 + 1 + 1 ,21 3 ；2 .4.3 1 . 2002 v 2001 ）（、2002+1）实用标准文案 文档 值.实用标准文案 文档 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式 子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的. 解：原式=(、,2-1+、.3- .2+、4- .3+ . +、2002- .2001)X (2002+1) = (2002-1 ) ( ,2002+1) =2002-1=2001 练习: 、选择题 1 .如果 (y0)是二次根式，那么，化为最简二次 V y 根式是(). A .兰(y0) B .历(y0) C .且 (y0) y y D.以上都

18、不对 .把(a-1)#中根号外的(a-1)移入根号内得() . aT B . 1-a C . - _aT D . - 一 1-a .在下列各式中，化简正确的是( A. 2 . C. a4b =a 、b D x3 - x2 =X、x -1 A .-丄 B . -2 3 V3 -6 D . -、2 3 实用标准文案 文档 二、 填空题 1 .化简拡+xy = _ . ( x o) 2 . a/孚化简二次根式号后的结果是 _ . 三、 综合提高题 1 .已知 a 为实数，化简：匸a3 -a、，阅读下面的解答 过程，请判断是否正确？若不正确， ？请写出正确的解答过 程： 解牛：丫 _玄 3 -a -

19、=a - a -a 1 * -a = (a-1 )、- a 2 .若 x、y 为实数，且 y X2” “X2 1，求.*y_y x +2 的值. 答案： 一、 1. C 2 . D 3.C 4.C 二、 1 . X x2 y2 2 . - , -a -1 三、1.不正确，正确解答： -a3 0 因为1 ，所以 a0实用标准文案 文档 例 20.计算 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次 根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并. 解：（1） 8+、18=2 2+3、2=（ 2+3）2=5,2 (2) 両+ J 莎=4 X+8 ,X=( 4+8)上=12、上 点评：二次根式加减时，

20、可以先将二次根式化成最简二 次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并. 例 21.计算 (1) 3 48-9 11+3 12 1 +3 12 =12、3 -3、3 +6、3 = ( 12-3+6 ) 3=15 3 + ( ,12- 、5 ) = 48 + 20+ ,12 - ,5 y=4 Xy x 二y=x2y2 牡 16 63 (1) ,8+ ,18 (2) 实用标准文案 文档 例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(-x 9x +y2 冷)- 3 V y 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平(2) (、48 +、20 ) + ( J2 - .5 ) 解：（1

21、 ） 3、48-9 (2) ( 48 + 20 ) =4 ,3+2 ,5+2.3- 5=6+、5 (X2 -5x * )的值. x x 实用标准文案 文档 方式，得（2x-1 ） 2+ （y-3 ） 2=0,即 x=2 , y=3.其次，根据 二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 并同类二次根式，最后代入求值. 解：14x2+y2-4x-6y+10=0 2 2 4x -4x+1+y -6y+9=0 ( 2x-1 ) 2+ (y-3 ) 2=0 x=1 , y=3 2 原式=|x、9x+y2,f-x2 =2x 、x + xy -X、x +5 xy =x 、x+6 xy 当 x=l, y

22、=3 时, 原式=2 1+61|=于+3、6 练习: 、选择题 3是同类二次根式的是（ ）. 、2 +、6=、8=2、2 ；逬=2、2，其中错误的有（ ?再合 1+5x x 1 .以下二次根式：;云： 3 :、27中，与 A .和B .和 C .和 2 .下列各式：3 3 +3=6; D .和 * 7 =1 ; )实用标准文案 文档 A . 3 个 B . 2 个 C . 1 个 D . 0 个实用标准文案 文档 二、填空题 1 .在逐、2 3 J75a、4範 J125、2“3a5 6 7、302、-2 ；丄中， 3 3 a 8 与苗a是同类二次根式的有 _ . 2 .计算二次根式 5 , a

23、 -3 , b-7、a +9 、b的最后结果是 C 三、综合提高题 3 .已知,5 2.236，求(.80- 值.(结果精确到 0.01 ) 4 .先化简，再求值. (6x 卜+3內)-(4x i-+/36Xy),其中 x=- , y=27. x y y 2 答案： 一、 1. C 2 . A 二、 1 . 1 v75a - 3a3 2 . 6 ；b -2、a 5 a 三、 1.原式=4.5- 3 .5-( .5- 12 .5 = 】5 -X 2.236 7 5 5 5 5 0.45 2.原式=6 xy +3 xy- (4, xy+6、xy ) =V xy(3-4x/y)=12.5 V 2 例

24、 23.如图所示的 Rt ABC 中，/ B=90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/?秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动.问： 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘 米？(结果用最简二次根式表示) 5 5 4 4 - - 5 5 实用标准文案 文档 分析：设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x, BQ=2x ?根据三角形面积公式就可以求出 x 的值. 解：设 x 后厶 PBQ 的面积为 35 平方厘米. 则有 PB=x, BQ=2x 依题意，得：1x 2x=3

25、5 2 x 2=35 x= 一 35 所以35秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米. PQ= ；PB2 BQ2 二 X2 4x2 = .5x2i5 35 =5 .7 答：35秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 .7厘米. 例 23.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精 确到0.1m） ? 分析：此框架是由 AB BC BD AC 组成，所以要求钢 架的钢材，？只需知道这四段的长度. .c n 解：由勾股定理，得 实用标准文案 文档 AB= . AD2 BD2 二 42 22 二 20 =2 5 BC= . BD2 CD2 _2勺 2 =、.5 所需钢材长度为

26、AB+BC+AC+BD =2 、5+.5+5+2 =3 .5+7 3X 2.24+7 13.7 (m) 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢 材. 例 24.若最简根式3aJb4a 3b与根式.2abb_6b2是同类 二次根式，求a、b的值.(？同类二次根式就是被开方数相 同的最简二次根式) 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根 式后，被开方数相同；？事实上，根式、2ab2 - b3 6b2不是最简 二次根式，因此把,2abb3 6b2化简成|b| , 2a-b 6，才由 同类二次根式的定义得 3a-? b=? 2, 2a-b+6=4a+3b . 解：首先把根式

27、 2abb6b2化为最简二次根式： .2ab2 -b3 6b2 = ,b2(2a -1 6) =|b| 、2a匚匕一6 由题意得4a 3b=2a 6 I3a_b = 2 2a 4b =6 3a -b =2 a=1, b=1 实用标准文案 文档 练习： 一、选择题 1 .已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5,那 么斜边的长应为（ ）.（?结果用最简二次根式） A . 5 2 B . . 50 C . 2,5 D .以上者 E 不对 2 .小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长 方形的木框，？为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又 钉上了一根木条，木条的长应为（ ）

28、米.（结果同最简二 次根式表示） A . 13 .100 B . 一 1300 C . 10 13 D .5 13 二、 填空题 1 .某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍， 它的面积是 1600ni, ?鱼塘的宽是 _ m.（结果 用最简二次根式） 2 .已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 , ?那么 这个等腰直角三角形的周长是 _ .（结果用 最简二次根式） 三、 综合提高题 1 .若最简二次根式 2、3m2-2与”4m2-10是同类二次根 3 式，求 m n 的值.实用标准文案 文档 2 .同学们，我们以前学过完全平方公式 a2 2ab+b2= （a b）2,你一定熟练掌握

29、了吧！现在，我们又学习了二次根式， 那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3）2，5=（ .,5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我 们观察: ( 2-1 ) =(、2 ) -2 1，、2+1 =2-2、2 +1=3-2 、2 3-2、2 = ( ,2-1 ) 32.2 = 2-1 求：（1） . 3一2?2 ； （2） 厂23 ； （3） 你会算，4二 12 吗？（ V3-1） （4） 若Ja 2裕=J 不士亦，则 m n 与 a、b 的关系是什 么？并说明理由. 答案： 2+2 2 m = 2 2 m = -2 2 m = 2、. 2 所以 或 或 n = . 3

30、 n = . 3 n - - . 3 反之， 3-2 .2=2-2 2+1= ( 2-1 ) 3m2 - 2 =4m2 -10 m2 二 8 2 ， 2 ， m = 2 2 _ = 3 n = . 3 或心必2 n - - 3 二、1 .依题意，得 实用标准文案 文档 2. ( 1 ) ,3 2.2 = . ( 2 1)2 = 2+1 (2) 4 2；3= (3 1)2 = 、3 + 1 (3) .4_.12=.、42 “3 - (31 - )2 = 一3-1 (4) m n=a 理由：两边平方得 a 2.、b=m+n2 mn mn = b 所以m n b = mn 例 25.计算： (1)(

31、 ,6+ 8 )x、3 (2) (4.6-3 ,2 )* 2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规 律，？所以直接可用整式的运算规律. 解：(1) ( . 6 + . 8 ) X , 3 =, 6 X 3+8 X 3 = .18+ 24 =, 2 +2 6 解：(4.6-3 .2) - 2 .2=4,6 + 2.2-3 2 + 2.2 =2 3-3 2 例 26.计算 (1) ( 5+6 ) ( 3-、5) ( 2) ( .10+.7 ) (、10-、7) 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运 算在乘法公式运算中仍然成立. 解：(1) ( 5+6 ) ( 3- 、5

32、) =3 5 - (、一 5)2+18-6 5 =13-3 5 (2)(帀+、.7) ( ,10- .7) = ( . 10) 2- (、,7) 2 实用标准文案 文档 =10-7=3 例 27.已知 口=2-，其中 a、b 是实数，且 a+bz 0, a b实用标准文案 文档 化简-代+ .门，并求值。 7x +1 + 仮 Jx +1 仮 分由于(X 1+ X ) ( X 1- .X ) =1,因此对代数式 的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元 一次方程得到 X 的值，代入化简得结果即可. (Jx+1 VX)2 + ( Jx+1 + VX)2 (J X 1 ” X )(、X

33、1 - . X ) ( ,，X 1 - J X )(、X 1 X ) =(一X 1 - . X)2 + ( 1 . X)2 (X 1) -X (X 1) -X (X+1 ) +X-2 、X(X 1) +X+2 X(X 1) =4X+2 b (x-b ) =2ab-a (x-a ) 2 bx-b =2ab-ax+a ( a+b) x=a2+2ab+b2 2 .( a+b) x= ( a+b) a+bz 0 x=a+b 原式=4x+2=4 (a+b) +2 练习： 一、选择题 1 . ( . 24 -3 15+2 2| ) X、2 的值是( ). A . 20 W-3 30 B . 3 30-2

34、3 解: =2 a x 实用标准文案 文档 3 3实用标准文案 文档 _ : 2 20 一. . C . 2 30 - 、3 D . 、3 -、30 3 3 2 .计算（一 x + .、x1 ） （. x-、_x1 ）的值是（）. A . 2 B . 3 C . 4 D . 1 二、填空题 1 .（-!+並）8 9的计算结果（用最简根式表示）是 2 2 2.（ 1-2 3）（ 1+2、3）-（2、3-1）2 的计算结果（用最简 二次根式表示）是 _ . 3 .若 x=T2-1，贝 U x2+2x+1= _ . 4 .已知 a=3+2 V2 , b=3-2 42，贝 U a2b-ab 2= _ . 三、综合提高题 时， 求x+1+/xE + x + 1 一茫三一茫三的值. （结果 x+1Jx2+x x + 1 十 Jx2+x 用最简二次根式表示） 化简 亦+77 .10 .14 15 21 实用标准文案 、1. 文档 2 .互为有理化因式： ？互为有理化因式是指两