带电粒子在磁场中运动极值问题

1、带电粒子在磁场中的运动一、 极值问题1、（速度方向 相同下的极值 问题）一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及该范围内粒子在磁场中运动时间t的范围。2、（周期性）边长为100cm的正方形光滑且绝缘的刚性框架ABCD固定在光滑的水平面上，如图内有垂直于框架平面B=0.5

2、T的匀强磁场一质量m =2×10-4 kg，带电量为q =4×10-3 C小球，从CD的中点小孔 P处以某一大小的速度垂直于CD边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能求：(1)为使小球在最短的时间内从P点出来，小球的入射速度v1是多少?(2)若小球以v2=1ms的速度入射，则需经过多少时间才能由P点出来? 答案：经t=1.8(s)粒子能从P点出来。 3、（有界磁场区域的极值问题）如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC为了使该粒子能在AC边上的N点垂真于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁

3、感应强度为B的匀强磁场若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹 （2）该粒子在磁场里运动的时间t（3）该正三角形区域磁场的最小边长答案：（2） （3）4、(磁场区域的确定) 8一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R

4、。 5、（磁场区域的极值）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求: (1)圆形匀强磁场区域的最小面积.(2)粒子在磁场中运动的时间.(3)b到O的距离. 6、（磁场区域极值）.如图所示，纸平面内一带电粒子以某一速度做直线运动，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域(图中未画出磁场区域)，粒子飞出磁场后从上板边缘平行于板面进入两面平行的金属板间，两金属板带等量异种电荷，粒子在两板间经偏转后恰从下板右边缘

5、飞出已知带电粒子的质量为m，电量为q，其重力不计，粒子进入磁场前的速度方向与带电板成60°角匀强磁场的磁感应强度为B，带电板板长为l，板距为d，板间电压为U试解答：(1)上金属板带什么电?(2)粒子刚进入金属板时速度为多大?(3)圆形磁场区域的最小面积为多大?答案：（1）在磁场中向右偏转，所以粒子带负电；在电场中向下偏转，所以上金属板带负电。（2）设带电粒子进入电场的初速度为v，在电场中偏转的有(3)如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力作为向心力，设磁偏转的半径为R，圆形磁场区域的半径为r，则RrR由几何知识可得 r=Rsin30°圆形磁场区域的最小面积为8、（周期性）在

6、受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1= m，外圆半径R2=1.0m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（如图所示）。已知磁感应强度B1.0T，被束缚带正电粒子的荷质比为=4.0×107C/kg，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用若中空区域中的带电粒子由O点沿环的半径方向射入磁场，求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度vo.、若中空区域中的带电粒子以中的最大速度vo沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间。9、真空中有一半径为r的

7、圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，Ox为过边界O点的切线，如图所示，从O点在纸面内向各个方向发射速率均为vo的电子，设电子间相互作用忽略，且电子在磁场中的偏转半径也为r，已知电子的电荷量为e，质量为m。（1）速度方向分别与Ox方向夹角成60°和90°的电子，在磁场中的运动时间分别为多少？（2）所有从磁场边界射出的电子，速度方向有何特征？（3）设在某一平面内有M、N两点，由M点向平面内各个方向发射速率均为vo的电子。请设计一种匀强磁场，使得由M点发出的所有电子都能够会聚到N点。所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴相同 如图所示，在区域足够大的空间中充满磁感应

8、强度大小为B的匀强磁场,其方向垂直于纸面向里.在纸面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的等边三角形框架DEF, ，DE中点S处有一粒子发射源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下，如图（a）所示.发射粒子的电量为+q，质量为m，但速度v有各种不同的数值.若这些粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失，且每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试求：（1）带电粒子的速度v为多大时，能够打到E点？（2）为使S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，v应为多大？最短时间为多少？（3）若磁场是半径为 的圆柱形区域，如图（b）所示(图中圆为其横截面)，圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且a=L.要使

9、S点发出的粒子最终又回到S点，带电粒子速度v的大小应取哪些数值？Bv（b）SLDEFO1、（全国卷）26如图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向夹角分布在0180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=时刻刚好从磁场边界上P(,a)点离开磁场。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q；（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与轴正方向夹角的取值范围；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间【答案】 速度与y轴的正方向的夹角范

10、围是60°到120°从粒子发射到全部离开所用 时间 为【解析】 粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有解得，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得，化简得仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°。

11、角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，RRR在三角形中两个相等的腰为，而它的高是，半径与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用 时间 为。所以从粒子发射到全部离开所用 时间 为。2、(全国卷)26图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V;两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EF

12、G(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力EFGH（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。【答案】边上从到点。边上从到。【解析】（1）由

13、题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有 式中ks5u，v是离子运动的速度，E0是平行金属板之间的匀强电场的强度，有ks5u由式得：ks5u 在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为m，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有： EFGHOKI/ks5u ks5u式中，r是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O：这半圆刚好与EG边相切于K，与EF边交于I/点。在EOK中，OK垂直于EG。由几何关系得 ks5uks5u由式得ks5u ks5u联立式得,离子甲的质量为ks5u（2）同理，有洛仑兹力公式和牛顿第二定律

14、有ks5uEFGHO/Iks5u式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在E、H两点之间，又几何关系有ks5uks5u由式得ks5uks5u联立式得，离子乙的质量为 （3）对于最轻的离子，其质量为，由式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。因而与EH的交点为O，有ks5uks5u当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边趋向于点。点到点的 距离为ks5u ks5u所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到I/点。边上从到。4、（新课标卷）25如图所示，在0xa、oy范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1)速度的大小