八年级数学上册7.5三角形内角和定理应用整体思想巧解角度问题素材(新版)北师大版

1、解根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质，可得应用整体思想 巧解角度问题“整体思想”是中学数学中的一种重要思想方法，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解，各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路 清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就如何应用整体思想，巧解角度问题，略举几例析解如 下，供同学们学习时参考：例 1 如图， ABC 的/B和/C的平分线相交于点 D，若/ A=800,试求/ BDC 的度数.分析 若能分别求得/ DBC 和/DCB 的度数，则/BDC 的度数立即可得，由题设条件，无法得到但可求得/ ABC/ ACB=100.又 BD C

2、D 分别是/ ABC 和/ACB 的平分11线，则/ DBC= / ABC，/ DCB= / ACB 从而可得/ DBC/ DCB=500.，这时若把/ DBC/ DCB22的和看成一个整体，则/ BDC 的度数容易求得解 在厶 ABC 中，/ ABC/ ACB=1800- / A=180-800=100.111 1/DBC/DCB=/ABC/ACB(/ABC/ACB)=X1000=50.2 2 2 2在厶 BCD 中，/ BDC=18(- ( / DBC/ DCB)=1800-50=1300.例 2 如图，在厶 ABC 中，BD 平分/ ABC，/ ACE 是厶 ABC 的外角，CD平分/

3、ACE，BD CD 相交于点 D.若/ A=116：试求/ BDC 的度数.分析 若能分别求得/ DBC 和/ DCB 的度数，则易得/ BDC 的度数，由题设/ DBC 和/DCB 的度数难以求得而根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质 可得11/ DBA / ABC，/ ACD= / ACE，/ DCB/ ACB/ ACD 及/ ACE/ A+/ ABC，22在求解过程中把/ DBC/ DCB 和/A+/ ABC/ ACB 的和当成整体来考虑，则问题会迎刃 而解/DBCJ/ ABC,1221/ACDJ/ACE,/DCBMACBfACD/ACE=/A+ZABC,2在厶 BCD 中,1i

4、/D=1800-(/DBCZBCD)=180O-/ABC/ACB+(/A+ZABC)221 111=1800-(/A+ZABC/ACB) -/A=1800-1800+/A=/A=X116=580.2 2 2 2例 3 如图,BG 平分ZABD,CG 平分ZACD 若ZBDC=14OO,ZBGC=110.求ZA的度数.分析连 BC,构成 ABCAGBC 和 DBC,根据三角形内角 和定理，把ZDBCZDCB,ZGBCZGCB,ZGBDZGCD,ZABDZACD 和ZABCZACB 分别当成整体来考虑,则问题迅捷可解.解 在厶 DBC 中，由ZBDC=140,得ZDBCZDCB=4(f.在厶 GB

5、C 中,由ZBGC=110,得ZGBCZGCB=70.所以ZGBDZGCD=300.由 BG 平分ZABD,CG 平分ZACD,11得至 U ZABD+ZACD=3(0,贝UZABDZACD=60：22又ZDBCZDCB=4(f,所以ZABCZACB=1000,从而得到ZA=80.点评：在解题过程中，多次运用了整体思想，才使问题得以顺利解决例 4.如图，在四边形 ABCD 中,延长 BA CD 相交于点 E,延长 DA CB相交于点 F,ZBECZCFD 的角平分线相交于点 G,若ZADC=80,ZABC=6试求ZEGF 的度数.分析：延长 EG 交 BC 于点 H,则ZEGFZEHF+Z2=

6、Z1+ZC+Z2,13若能分别求得Z1、Z2和ZC的大小，则ZEGF 的度数可求，但从题设条件无法4求得若把/ 1+Z2+/C当成一个整体，再在 BCE 和ACDF 中利用三角形内角和定理，可使问 题迎刃而解解：因为 EG FG 分别平分/ BEC 和/CFD 所以/ BEC=Z1, / CDF=Z2,延长 EG 交 BC 于点 H,则/ EGFMEHF+Z2=Z1+ZC+Z2,在厶 BCE 中，2Z1+ZC+ZCBE=1800;在厶 CDF 中，2Z2+ZC+ZCDF=1800,两式相加,得 2(Z1+Z2+ZC)+ZCBE-ZCDF=3600,因为ZCBE=6(f,ZCDF=80,所以Z1

7、+Z2+ZC=1100,即ZEGF=110.点评：在求解与三角形有关的角度问题时，局部求解比较困难，可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于1800,应用整体思想求解，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，同时也有利于同学们数学思维能力的培养.下面还有几道练习题，同学们不妨试一试1.如图，在厶 ABC 中，ZABCZACB,ZA=380,P 是厶 ABC 内一点，且Z1=Z2,试求ZBPC的度数提示与解：1.ZABCZACB=710.又Z仁Z2,可以得到Z1+ZPCB=710,这时可把Z1+ZPCB 看成整则可求得/ BPC=180-710=1090.2.由/ A=65, / B=75,可得/ C=40,则/ 3+/4=180- / C=180-40=1402.如图，三角形纸片ABC 中，ZA=650,ZB=750,将纸片一角折叠，使点 C 落在 ABC