随机样本和抽样分布ppt课件

1、参数估计回归分析 推断 统计学假设检验其他还有：方差分析、聚类分析、因子分析等其他还有：方差分析、聚类分析、因子分析等 4.1.1 4.1.1 总体与样本总体与样本总体总体 研讨对象全体元素组成的集合研讨对象全体元素组成的集合 所研讨对象的某个所研讨对象的某个( (或某些或某些) )数量目的数量目的的全体的全体, ,它是一个随机变量它是一个随机变量( (或多维随机变或多维随机变量量).).记为记为X . X . X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.一、根本概念一、根本概念样本样本 从总体中抽取的部分个体从总体中抽取的部分个体. .称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或

2、称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nXXX用 表示, n 为样本容量.样本空间样本空间 样本一切能够取值的集合样本一切能够取值的集合. . 个体个体 组成总体的每一个元素组成总体的每一个元素 即总体的每个数量目的即总体的每个数量目的, ,可看作随机可看作随机变量变量 X X 的某个取值的某个取值. .用用 表示表示. .iX假设总体 X 的样本 满足:),(21nXXX普通,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但运用不方便,常用不放回抽样替代.而替代的条件是nXXX,21(1) 与X 有一样的分布nXXX,21(2) 相互独立12n( X ,X ,X)那么称 为简单随机

3、样本.简单随机样本简单随机样本N / n 10.总体中个体总数总体中个体总数样本容量样本容量设总体 X 的分布函数为F (x),那么样本121( ,)( )nniiF x xxF x总假设总体X 的d.f.为 f( x),那么样本121nniif ( x ,x ,x )f( x )总的结合 d.f.为),(21nXXX的结合分布函数为设 是取自总体X 的一个样本, ),(21nXXX12nf(r ,r ,r )为一实值延续函数,且不含有未知参数,12nf ( X ,X ,X )那么称随机变量为统计量.12nf ( x ,x ,x)12n( x ,x ,x )假设是一个样本值,称12nf( X

4、,X ,X )的一个样本值为统计量统计量例例 是未知参数是未知参数, , 22, ),(NX假设 , 知,那么为统计量niiniiXXnSXnX122111,1是统计量, 其中),(2NXi是一样本,),(21nXXX那么但niiX1221不是统计量.常用统计量常用统计量niiXnX11) 1 (为样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差niiXXnS1211为样本规范差),(21nXXX设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量113nkkii( )Xn为样本的k 阶原点矩例如1X例例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取从一批机器零件毛坯中随机地抽取1010件件, , 测得其分量为

5、测得其分量为( (单位单位: : 公斤公斤):): 210, 243, 185, 240, 215, 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 228, 196, 235, 200, 199199求这组样本值的均值、方差、二阶原点求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩矩. .解解),(1021xxx令210 243 185 240 215228 196 235 200 199(,)43.433)(9110122iixxs10221147522.510iix19.217)199200235196228215240185243230(101x那么那么

6、确定统计量的分布是数理统计的根确定统计量的分布是数理统计的根本问题之一本问题之一. . 正态总体是最常见的总体正态总体是最常见的总体, ,本节引本节引见的几个抽样分布均对正态总体而言见的几个抽样分布均对正态总体而言. .抽样分布抽样分布二、统计中常用分布二、统计中常用分布(1) (1) 正态分布正态分布特别地特别地, ,nNXnXnii21,1那么假设nXXX,21),(2iiN那么niiiniiiniiiaaNXa12211,),(2NXi假设nXXX,21假设Xi相相互互独独立立中心极限定理中心极限定理规范正态分布的 分位数定义定义分布的 分位数.假设 ，那么称u为规范正态P( Xu )正

7、态分布的双侧 分位数.假设 , 那么称u/2为规范/ 2P( Xu)规范正态分布的 分位数图形 0.050.0250.0051.6451.962.575uuu-2-1120.10.20.30.4u 常用数字-2-1120.10.20.30.4/2 /2 u/2-u/2(2)(2)2( ) n分布分布 ( n为自在度 )定义定义 设设nXXX,21相互独立,且都服从规范正态分布N (0,1),那么niinX122)(n = 1 时,其密度函数为0, 00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2n = 2 时,其密度函数为0, 00,21)(2xxexfx为参数为

8、1/2的指数分布.2468100.10.20.30.4222121,02( )( )0,0 xnnne xxf xx普通其中，01)(dtetxtx在x 0时收敛，称为函数，具有性质)(!) 1()2/1 (, 1) 1 (),() 1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自在度为 n 的5101520250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 nnDnnE2)(,)(122例例)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的上)(42n分布的性质分布的性质2( )n20.05(10)

9、51015200.020.040.060.080.1n = 1020.052(10)18.307(10)18.3070.05P(3) t (3) t 分布分布 (Student (Student 分布分布) )定义定义那么称 T 服从自在度为 n 的T 分布.其密度函数为nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0 (2nYNXX ,Y相互独立,设t 分布的图形(红色的是规范正态分布)n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2T 分布的 分位数 t 与双测 分位数 t/

10、2 均 有表可查.-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP0.051.81250.05(10) 1.8125P Ttt-t1.81250.05,1.81250.95P TP T8125. 1)10(95. 0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/22281.2)10(05.02281.2025.02281.2025.0tTPTP/2/2(4) F 分布分布那么称 F 服从为第一自在度为n ,第二自在度为 m 的F 分布. 0, 001222), (2122tttmntmnm

11、nmnmntfmnnn其密度函数为定义定义),(),(22mYnXX, Y 相互独立，设mYnXF/令F 分布的性质分布的性质1 ( , ),1/ ( , )FF n mFF mn若则1234560.10.20.30.40.50.6例如),(1),(1nmFmnF现实上,19. 51) 5 , 4 (1) 4 , 5 (05. 095. 0FF故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上求F(n,m)19. 5) 5 , 4 (05. 0F?) 4, 5 (95. 0F),(1mnFFP),(111mnFFP故),(1nmFF由于),(1111mnFFP1),(),(11n

12、mFmnF因而),(111mnFFP例例 证证明明),(1),(1nmFmnF证证 三、抽样分布的某些结论三、抽样分布的某些结论() () 一个正态总体一个正态总体) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 与X相互独立设总体1,nXX,样本为( )，),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)2( ,)XN ( II ) 两个正态总体两个正态总体niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(111相互独立的简单随机样本.设nXXX,21与mYYY,21分别是来),(211NX自正态总体),(222NY与的

13、那么) 1() 1() 1() 1(2222222121mSmnSn) 1, 1(22222121 mnFSS假设21那么) 1, 1(2221 mnFSS(3)那么),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii1222()()(0,1)XYNnm),(2221mnNYX相互独立的简单随机样本.设nXXX,21与mYYY,21分别是来21( ,)XN 自正态总体22(,)YN 与的) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn222221) 1() 1(SmSn) 2(2mnYX 与222221) 1() 1(SmSn相互独立2) 1() 1()()(2222212

14、221mnSmSnmnYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)的概率不小于90%,那么样本容量至少取多少?例例 设设(72 ,100)XN ,为使样本均值大于70解解 设样本容量为设样本容量为 n , n , 那么那么)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n例例 从正态总体从正态总体),(2NX中，抽取了 n = 20的样本1220(,)X XX(1) 求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求22012276. 1

15、20137. 0iiXP解解 (1) (1)19(11922012222iiXXS即) 1() 1(222nSn22012276. 120137. 0iiXXP故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0例例 设设r.v. X r.v. X 与与Y Y 相互独立，相互独立，X N(0,16)

16、,X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与与Y1, Y2 , Y16Y1, Y2 , Y16 分别是取自分别是取自 X X 与与 Y Y 的简单随机样本的简单随机样本, , 求求统计量统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2 , 1,)1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX从而例例 在总体在总体 中中, ,随机抽取一个容量随机抽取一个容量为为3636的样本的样本, ,求样本均值求样本均值 落在落在50.850.8到到53.853.8之间的概率之间的概率. .)3 . 6,52(2NX解解)36/3 . 6,52(2NX故6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .53)8 .538 .50( XP8239. 0)1429.