随机变量数字特征习题课

1、第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望 和方差。教学难点随机变量函数的数学期望。教学时数 2学时教学过程、知识要点回顾1 .随机变量X的数学期望E(X)2 .对离散随机变量E(X)x1P (Xi)i3 .若i 1,2,L ,则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。4 .对连续随机变量E(X) xf (x) dx5 .假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。6,随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X),其中g(X)为实函数。7 .对离散随机变量

2、Eg(X)g(xi)p(xi)i8 .对连续随机变量Eg(X) g(x) f (x) dx9 .假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。10,二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y)L其中晨X,Y)为二元实函数。11 .对离散随机变量 Eg(X, Y)g(x£, yj)p(x”y$)12 .对连续随机变量 Eg(X, Y)g(x, y)f (x, y) dxdy13 .假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。14 .数学期望的性质(假定所涉及的数学期望都存在)15 . E(c) c, (c 为常数)16 . E(cX) cE (

3、X),心为常数)17. E(aX b) aE(X) b, (a, b 为常数)18. E(X Y)E(X)E(Y)nn19. E( Cx Xi) CxE (XO il£120.若 X,Y 相互独立,则 E(XY) E(X)E(Y)o21.若 Xi,X2,L 相互独立，则 E(XiX2LXn) E (Xl) E (X2)L E (Xn)o22 .随机变量X的方差D(X) E XE (X), E (X:)都存在。23 .方差的性质24 . D(c) 0, (c 为常数)25 . D(cX) c2D (X), (c 为常数)26 . D(aX b) a2D (X), (a, b 为常数)2

4、7 .若X,Y相互独立，则D(X Y) D(X)E(X)2E(X2)E(X):,这里假定D(Y),28 .若Xi,X2,L 相互独立,29 .随机变量X的k阶原点矩30 .随机变量X的k阶中心矩Cl, C2,L ,Cn 为常数，则 D( Ci Xi) ilMX) E(Xk)E( X E(X)kCi2D(Xx)031 .易知，i(X) E(X), i(X) 0, 2(X) D(X)032 .随机变量乂与丫的协方差33 . cov(X, Y) E X E(X) Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y) on34 n/aY a k nfvAk 为晋羽八35. cov(X, Y) cov(Y, X)

5、36. cov (aX, bY) abcov (X, Y), (a, b 为常数)37. cov(X Y,Z) cov(X, Z) cov( Y, Z)38. 若cov(X, Y) 0,则称*与丫不相关。定不相关，反之不成立。39. 随机变量乂与丫的相关系数R(X,Y)40. |R(X, Y) | 1若随机变量工与丫相互独立，则乂与丫cov( X, Y)7D (X “(Y)41. Y a bX |R(X, Y) | 1D(X)42. 切比雪夫不等式：若随机变量X的数学期望E (X)与方差D(X)存在，则对任意正P X E(X)由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后而两个定理

6、是常用的大数定律。典型例题解析1.已知随机变量X的概率分布为求 E (4X26) o分析由要点2,令g(X) 4X3 6,代入公式即可。X-20PiE(4X26) (4Xr 6) Pii i22 0.3 6 0.4 10 0. 312注计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概2种所列的公式。率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算：一种是直接带入要点通常用后一种方法较简便。2 .设二维随机变量& 丫的概率密度f(x,y),0小，其它小求 E(X), E(Y), D(X), D(Y),E(XY ),cov( X, Y), R(X ,求。题中前五项计算均可按要点

7、3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。 分析所以D(X) E(X2)E(X)：1E(X)xf (x, y) dxdy xdx o(x yi 时0AfE(X-)v f G0 * * 0 (x y) dyXx2 (xJL) dx A。2 12按对称性有 711E (Y) i *L144E(X Y)xyf (x, y) dxdy 1 ,y) dycov( X, Y) E(X Y) E(X)E( Y)3 12 12144R(X,Y)_L/ 血4v1144/12n所以注二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望, 要点3所列公式应会灵活应用。3 .填空(1)已知 D(X) 4, D

8、 (Y) 1,R(X, Y) 0.6,贝 U D(3X 2Y)1随机变量X, Y相互独立，又X : P(2), Y: B(8,),则E(X 2Y) ， D(X 2Y)4X设X, Y独立日同分布 .P随机变量X的方差为 2 ,则根据切比雪夫不等式，估计p X E(X) 2分析在要点8中取a 3,b2代入公式解答(1);由已知公式得E(X) 2,D(X) 2 E(Y) 81-2, D(Y) 8 -3 342,在利用方差性质解答：对于,可求出随机变量ZXY的概率分布再求 E (XY),或由X,Y都服从“ 0-1 ”分布得,再代相应公式;对于(4),用2,D(X)2带入切比雪夫不等式。D(3X 2Y)

9、 9D (X) (1)4D(Y) 12R(X, Y) JD(X) Jd(Y)011 F，则 E (X, Y)3 325.612 0.6E(X 2Y) E(X) 2E( Y)D(X 2Y)D(X) 4D( Y)解一XYE(X Y)解二E(XY)E(X)E( Y)P(lE(X) |填空主要用于复习概念，熟悉各种计算公式，通常计算量较小。4 . 一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为,设各部件相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求数学期望E(X)和方差D(X)o八出牛利二弋君知十日1,第i个部件需要调整/分析先引入新随机变量” 0,第i个部件无需调整(，3),则Xx, X

10、:相互独立,利用E(X)E(XO,D(X)D(XJ完成计算。解由先服从“ 0-1、分布,E(X0 K, D(X0 px(i px), i 1,2,3 ,得E(X：)0. 1 , D(X：) 0.09, E(Xz) 0.2, D(Xz)0. 16, E(Xs) 0. 3, D(Xs) 0.21故 E(X) 0. 10. 2 0. 3 0.6 , D(X) 0. 09 0. 16 0. 21 0. 46 。注利用性质来计算数学期望和方差往往较有效,应该学会这种方法。 另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。5 .甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为，乙队为

11、，求比赛场数的数学期望。分析X可能取值为4, 5, 6,7,按古典概型计算X取各值的概率得到X的概率分布，由此算出E(X) 0PX40.61 0.4, 0. 1552PX5C40. 6, 0. 4 Ci 0. 6 0. 4' 0. 2688PX6C：0.64 0.4, C； 0.6: 0.4'0.2995PX7C30. 6, 0.43 C3 0. 63 0. 4'0.2765E(X) 4 0. 1552 5 0. 2688 6 0. 2995 7 0. 27655.7注对应用题而言，大量计算是计算概率，这就要求掌握好以前所学过的各种计算概率的方法。333_X )。，其中

12、6.设随机变量X服从 分布，其概率密度f(x) ()000,0 是常数，求 E(X), D(X) o函W分析按定义求E(X),又D(X) E(X2) E(X)，计算中涉及o x=1e=dx, (s 0),(1)( ) o有用的.分布是E(3X度 f(x, y)E(X)(1)0E(X2)D(X)分布，统计中很设(X, Y)在区域2Y), E(XY)o分析设区域(X, y)A0,(x, y )dx二d( x)(令 t x)d( x)(令 t x)点3计算。E(3X2)2的分布。D (x, y) |xD的面积为A,D,本题中ADE(X)2Y)DO分布也是一种常用分布，例如指数分布是0, y 0,x

13、y 1上服从均匀分布,求E(X),则(X,Y)在D上服从均匀分布时，联合概率密 所以 f(x,y);(xy)Di1dx 2xdy 2x(1 x)dx 一o03ox o 2(3x 2y)dy (2 10x o 其它8x-) dx接着按要11231E (XY) dx 2xydy (x 2xx3) dx 一1 . o o ,o' /12注二维随机变量服从均匀分布也是常见的情形。可以自然的推广到n维随机变量服从均匀分布，其联合概率密度写法是类似的。8.计算下列各题(1)设 X 与 Y 相互独立，E(X) E(Y) 0, D(X) D( Y) 1,求 E(X Y )1D(X Y)E(Y )E(Y

14、)(2)设X与Y相互独立，其数学期望与方差均为已知值，求解E(X分析根据要点4, 5, 6中相关公式计算。Y) E(X 2XY y ) E(X ) 2E(XY)D (X) E (X) 2E (X)E (Y) D(Y)(2) D(XY) E (xy E(xY) ： E (XT) E (X) E (Y)'E (X：) E (Y2) E (X 厂 E (Y) D(X) E(X) D( Y) E( Y) E(X) E(Y)9.设二维随机变量“ J的概率密度矍x1,试I可：(D X 其它与Y是否相互独立(2)是否相关分析根据f & y) A(x)fY(y)是否成立回答(1);根据cov(

15、X,Y) 0是否成X与Y相互独立 立回答(2) 0D (X) D (Y) E(Y) D(X) E(X) D(Y)注由已知值导出未知值，通常要熟练掌握相关公式。使用公式应注意其成立条件，其中独立性这一条件是很重要的。关于独立性，有以下重要结论：互独立，g(x), h(y)是连续 函数，则g(x)与h(y)相互独立。本题用到, 时，X。与Y，也相互独立，这里，g(x) x2, h(y) y2 o解（1） X,Y的边际概率密度分别为fx(X)y) dyfy(y) f(x, y) dy0,y 1其它±dy -71 x12* X0,其它2由于f(X, y)(2) E (X )fx (x) fY (y),所以乂与丫不相互独立。(利用奇函数性质)，正2xfx(x) dx i 一VI x:dx 0,E(Y) yfy(y) dy ：/y:dy 0,E(XY)xyf(x,xydxdyy) dxdyx 7a is 2 ,r3dr 00 r cos sin 所以 cov(X, Y) E(X Y) fe(X)E(