2016-2017学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案

1、学习目标导航卜afi图 1-2-1认知侦习质疑知识械理晏蛊初探1 文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例6 魁体验二平行线分线段成比例定理基础初探 教材整理 1 平行线分线段成比例定理阅读教材 P5P7“定理”及以上部分，完成下列问题如图 1-2-2 所示，DE/ AB DF/ BC下列结论中不正确的是（）则有:AB=DE则有：BC EFAB_DE BCEFACTDFACTDF.2.图形语言如图 1-2-1 ,I1I2l3阶段1 掌握平行线分线段成比例定理及其推论.（重点） 12 能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.（难点、易混点）、）T:t-2【解析】IDF/ EB

2、DE/ FB,四边形DEBF为平行四边形,DE= BF, DF=EB1 文字语言ABD/ C曰迴BDAC CE5ADBDB. BD/CADCD图 1-2-2AD AFA.DC DECE BFB.CABCCEC.A=DFAF DFD.BF=BCAD AF AF &DC=FB=DEA正确;CE DE BF ”CB=AB=AB, B 正确;CD CE CEAD=EB【答教材整理阅读教材DFC 正确.2 平行线分线P7P9,完成下列问题.2.图形语言图 1-2-3平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.如图 1-2-3 ,11/12/l3,图 1-2-43质疑手

3、记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问 1：解惑：疑问 2:解惑：疑问 3:解惑：小组合作型证明线段成比例【精彩点拨】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系， 可以考虑把比例转移, 过点C作CMT EF,交AB于点M交AD于点N,且BC的中点为D,可以考虑补一个平行四边 形来求解.【自主解答】如图，过C作CM/ EF,交AB于点M交AD于点/ AE= AF, AM= AC/ ADABC的中线，BD= CD的.C. BD/D. BD/【解析】【答案】AB ADCE?BCTDEAB BDCE?BCTCE由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A,B, C 都是正确的，D

4、 是错误阶段2介作探究通爻如图 1-2-5 ,ABC的中线，在AB上取点E,AC上取点F,使AE= AF,求证：EP ACFP卜图 1-2-54延长AD到G,使得DG= AD连接BG CG则四边形ABG（为平行四边形,5 AB= GCEP FP APCMEF,MNTCNTANEFMNFP=CN又AB/ GC AM= AC GC= ABMN_AMI_ACEP_AC CNTGC ABFP=ABi 解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形.2 比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平 行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生.3利用平行线转移比例是常用的证题技巧，

5、当题中没有平行线条件而有必要转移比例 时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，ACTDFAB_ EGACTFH证明线段相等EP MN AM ACFP CNTGCT雨雨又EG/FHEGDEFH DF卜如图 1-2-7，在梯形ABCD中,AD/ BC F为对角线AC上一点,FE/ BC交AB再练一题【证明】/ AD/ BE/ CFAB DEr - - -6于E, DF的延长线交BC于H, DE的延长线交CB的延长线于G求证：BC=GH【导学号:07370006】7【精彩点拨】 从复杂的图形中找出基本图形厶ABCADHG而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可.1 解答本题的关键是

6、构造分子或分母相同的比例式.2 应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题:作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系； 如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围 绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化.再练一题2如图 1-2-8 所示，已知梯形ABCD勺对角线AC与BD相交于点P,两腰BA CD的延 长线相交于点O, EF/ BC且EF过点P.求证：(1)EFTPF；(2)OP平分AD和BC【自主解/ FE/BC；EF AE EF DFBCTAB GHDH./ AD/EF/AE DFABTDHEF EFBC GH BCTGH图 1-2-78【证E

7、P AE(1)EpBC內忑图 1-2-89PF DF儿PFBCBC DC四边形BCFD是平行四边形，DF=BCAD_DEAETBCAD_AE_DEAETAC EC探究 2 如何证明课本中 P9中“探究”？【提示】 如果11与I2相交于点G(如图(1)，那么11与I2确定一个平面n.连接AD/ AD/ EF/BC,AE DFAB DCEP PFBC BCEFTPF(2)在厶OEP中，AD/ EP,EPL器在厶OFP中,HD/ PF,.HFTOPAH_HDEFPF又由(1)知EFTPF,AH HD同理BG=GCOF平分AD和BC當：!U5i平行线AD_AEABACE FD DD-BAA探究共研型D

8、FTAC探究 1 你还有其它方法证明课本 F8的例 3 吗？【提示】 过点C作CF/ AB,与DE的延长线交于点F. DE/ BC10BE CF则AD BE CF均在平面n上，且AD/ BE/ CF由平行线分线段成比例定理可知,11A比DEBCTEF如果1l与丨2是异面直线，那么可在直线丨2上取一点G过点G作I3/I1,设丨3与平面EF/ AD求為BC的值;1 1 2-+-=-AD BC EF【精彩点拨】(1)利用比例线段转化所求;证出EF= 2OE再利用(1)的结果证明. EF/ AD AD/ BC二EF/ AD/ BC.OE_AEBC=AB.OE OE BE AE_ BE+ AE=二耐BC

9、=AB+AB AB=1.a ,3,Y分别相交于P, Q R如图(2)，贝yIl与丨3确定一个平面n1,l3与I2确定一个平面n2.在n1中，连接AP, BQ CR贝U AP/ BQ/ CR所以AE3_PQBCTQF在平面n2中，连接PD QE RF,则PD/ QE/ RF,所以PQ_ DEQTEF，所以AB DEBCTEF卜例如图 1-2-9 所示，在梯形ABCD中,AD/ BC EF经过梯形对角线的交点求证:【自主解(1) OE/ ADOEBEAD=AB图 1-2-912证明：TAD/ BC/ EF,13O匚OD OA_ OE可得BCTBcTATBC故OB OE即Ei2OE丄 &OE

10、 OE2OE2OE由(1)知，耐BCTX：ADBC=2.EF EF+ - = 2BC，1 1 1 2ADBCTEF.1 本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形.2运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等.再练一题3如图 1-2-10 ,已知点E是？ABC边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O,交AD于点F.求证：OBTOE-OF【导学号：07370007】所以AB/ CD AD/ BC丄中OB OA由隔CE得OE= OC丄中OA OF由AF/盹得OC OBOF OB所以

11、OETOBB等量代换），J/、丄【证明】 因为四边形ABC是平行四边形,图1-2-1014即OEB=OE-OF构建体系15阶段3体验落实评价1.如图 1-2-11，已知DE/ BC则下列比例式成立的是（DA ACA =AB AEEA DAC一 = 一C.AETAC【解析】【答案】2.如图9A.95_ 9图 1-2-11DE DAE.BC=ABDA AED =D.AE=AC由平行线分线段成比例定理的推论知,DA EAACTAE31-2-12，已知DD4,DE/ BC则EC等于（图 1-2-124一9D4一5D - BA- D16AB_9DB5,DB5ABT9.DB ECABAC.EC5 二AC9

12、.【答案】C3如图 1-2-13 所示，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔 5 米有一颗树, 在北岸边每隔 50 米有一根电线杆.小丽站在离南岸边 15 米的点P处看北岸，发现北岸相邻 的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米.【解析】设河宽为x米，据题意 肓% 20，CT3,.BCT3CD解得xT22.5.【答案】 22.5.【导学号：07370008】【解/ a/ b,.AEAGEC CDAFTAGBFTBE)北岸图 1-2-134.如图 1-2-14 所示,17BD=4CDAF3又;BF=5，.AGAF_3BDTBF5，.AG3.AG12

13、4CDT5，.CDT百，AE AG12ECTCDT ?【答1255.如图1-2-15 ,AD平分/BACDE/ AC EF/ BC AB=15 cm,AF= 4 cm,求BE和DE的【解】TDE/ AC/ 3T/ 2.又AD平分/BAC/ 1=/ 2,/ 1=/ 3,即AE= EDDE/ AC EF/ BC四边形EDCF是平行四边形,ED= FC即AE= ED= FC设AE= DE= FCTx.由EF/ BC得AE=AFBE=FC，X15 x4X，解得X1= 6，X2= 10（舍去）.所以DE=6(cm)，BE= 15 6 = 9(cm).图 1-2-1518、选择题1.如图 1-2-16，梯

14、形ABCDK AD/ BC E是DC延长线上一点，AE分别交BD于GEC EF FG BG AE BD AF AEBC于F.下列结论： 冇EFAcTGGAGTDGCFTAE其中正确的个数是（/ BF/ AD【答案】2.如图 1-2-17 ,E是？ABCD勺边AB延长线上的一点，且我还有这些不足:我的课下提升方案:（建议用时：45 分钟）学业达标C. 3【解ECT EFCD AF，A|=DD故正确.FG_BGAG GD故正确.学业分层测评（二）E图1-2-16A. 1B. 2D. 4/ BC/ AD19DCT3BET2,则 A!203A. 2C.2BF EF又AD/BC- AD= ED丄FD3/

15、口FD+ EF3+ 2 由EF= 2,得飞厂二丁，ED5 即EF=2,AD ED 5 ,BF=EF2.故选C.【答案】3C.2DM MC又DC/ ANMNTBMDW MN MO BM MN【解析】ABDMAD/BMBN= MN2D5【解/ CD/ AB BECD FD3EF 23.如图1-2-18，平行四边形ABC中BCN是AB延长线上一点，则 丽【导学( )07370009】2D32B.3图 1-2-17B. 121DBCMN BMBC AB DN DM MNBMP BN MN MN MN1.【答案】FD为(故AF：FD= AE：DGF2EC：*C=4 : 1.2【答案】C如图 1-2-20

16、，将一块边长为 12 的正方形纸ABCD勺顶点【解析】 如图，作MN/ AD交DC于点N,.DNFAM NEMEDE=5,折痕为PQ则线段PM和MQ勺比是（）A. 5 : 12图 1-2-20B. 5 : 13C. 5 : 19D. 5 : 214. 如图1-2-19 ,人。是厶ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F,则AF：A.C.【解如图，因为D是BC的中点,1 所以DGEC又AE=2EC5.A,折叠至边上的点E,使图 1-2-19B. 3 : 1D. 5 : 1过D作DG/ AC交BE于G,22又AM= ME1I DW 疤 2D5， NC= N 曰 EC= |+ 7 = 1

17、9./ PD/ MN QCIPM_DN_X_IMQ NC19=19.2【答案】C二、填空题6. （2016 乌鲁木齐）如图 1-2-21，在ABC中，点D, E分别在AB AC上,AD- CE若AB：AC= 3 : 2,BC= 10,则DE的长为【解析】 DE/ BCAD：AE= AB：AC= 3 : 2./ AD=CE/ BC=10,解得DE=4.【答案】 4DF=【解析】 如图，过D作DG/ AC交FC于GDE/BC, CE：AE=2./ AE：AC= 2 :I,DE：BC= 2 : I.DE：10= 2 :I,7.如图 1-2-22 ,已知B在AC上,D在BE上,且AB：BC= 2 ：

18、1,ED：DB=1,贝UAD：图 1-2-21图1-2-22241I又BC=3AC - DG=9AC39从而AD=】AF,AD：DF=7 : I.9I 【答案】 7 : I&如图 1-I-I3，在梯形ABCD中,AD/ BC BD与ACt目交于Q过O的直线分别交ABCD于E，F,且EF/ BC若AD=1I，BC=20,则EF=_.【解析】EQ BE CF FQ AD EFBCAD=AB= CDTADL TBLEQ= FQ十EQ AE AB-BE EQ BE而 r-zTAI-T，AFTBC- 20, AD= 12,BC AB ABAD ABEQ BE EQIO=1AET1 1I，【答案】

19、15三、解答题9线段QAL QB点C为QB中点，D为线段QA上一点.连接AC BD交于点P如图 1-I-I4 ,/AP当QA=QB且D为QA中点时，求PC的值.【解】 过D作DE/ CQ交AC于E因为D为QA中点，1DE1所以AE= CE=|ACI，则匹里 2则BC EB3， DG= |BCB C O图 1-I-I4 DG/ ACDF DGIAF=AC9EO7.5 ,- EF= 15.图 1-I-I3BC D25因为点C为OB中点，所以BC= CO BC=舟,BC2PE DE121BCT2 所以PC=3CET3AC所以PL PC【证明】/ ABL BD CDL BD EFBD AB/ EF/

20、CDEF,EFAECDBD BD BD BD1 1 1_LTAB CD EF能力提升10.如图1-2-25 ,A吐BD于B,CDL BD于D,连接AD, BC交于点E, EFBD于F,AB CD EF1导学号：07370010】图 1-2-251.如图 1-2-26 ,已知ABC中,AE：EB=1 : 3,BD：DC=2 :1,AD与CE相交于F,图 1-2-26B. 13C.3D. 2【解析】 过点DG CD CG1D作DG/ AB交EC于点G,则B=北=EC=3.=AE1 加AE DG而BE=3 ,即BE=BE所以AE= DG从而有AF=FD, EF=FG= CG2ACAP AC PC3厂T1 2.3AC所以PCEF DFABT丽丽EF BF