线性系统理MATLAB实验

1、线性系统理论综合练习1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆变成2cm的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型： =x+u y=其中，系统的状态变量=液面高度，=压力，系统的控制变量=纸浆流量，=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，并且有一个根大于5.解：由状态空间描述:

2、=x+ y=得：系统矩阵A= ，输入矩阵B=由题目要求，确定系统的特征根为-5，-3即状态反馈控制系统的极点配置为=6, =2用Matlab实现: A=-0.8,0.02;-0.02,0; B=0.05,1;0.001,0; P=6,2; K=place(A,B,P)最后结果为：K = 1.0e+003 * -0.0200 -2.0000 -0.0058 0.10002、描述恒速制导导弹的运动方程为：=x+uy=0 0 0 1 0x（a） 运用crtb函数计算系统的能控性矩阵，并验证系统是不可控的；（b） 计算从u到y得传递函数，幷消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可得到能控的状态空间模型

3、。在消去了公因子后，用tf2ss函数确定新的状态变量模型；（c） 证明（b）中得到的状态变量模型是能控的；（d） 证明恒速制导导弹是否稳定。解：由描述恒速制导导弹的运动方程为：=x+uy=0 0 0 1 0x得：系统矩阵A=;输入矩阵B=;（a） 用Matlab实现:A=0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0;B=0;1;0;0;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)系统的能控性矩阵为：Qc = 0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 1.0000 -0.5000 0.1500

4、 -0.0250 -0.0025 0 0 0.5000 -0.2500 0.0750 0 0 0 5.0000 -2.5000 0 1.0000 0 -0.1000 0.0500 Rc =4由rank( Qc)=4<n=5知道，系统是不可控的。（b） 用Matlab实现:syms s GG gg;A=0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0;B=0;1;0;0;0;C=0 0 0 1 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)Gss=ss(A,B,C,D);Gtf=tf(Gss)Transfer

5、 function: 5-s4 + 0.5 s3 + 0.1 s2由传递函数矩阵可以看出，分母次数是4次，而系统是5阶的，说明传递函数发生了零极点相消的情况，进而判断知道系统是不可控或者是不可观的，有上述知道，该系统是不可控的。用Matlab实现: Gzpk=zpk(Gtf) Zero/pole/gain: 5-s2 (s2 + 0.5s + 0.1) >> Gss=ss(Gtf) a = x1 x2 x3 x4 x1 -0.5 -0.4 0 0 x2 0.25 0 0 0 x3 0 0.125 0 0 x4 0 0 0.25 0 b = u1 x1 32 x2 0 x3 0 x4

6、 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 0 0 0 20 d = u1 y1 0(c) 根据（b）中得到的状态空间模型，判断该系统是否能控用Matlab实现:A=-0.5 -0.4 0 0;0.25 0 0 0;0 0.125 0 0;0 0 0.25 0;B=32;0;0;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)系统的能控性矩阵为：Qc = 32.0000 -16.0000 4.8000 -0.8000 0 8.0000 -4.0000 1.2000 0 0 1.0000 -0.5000 0 0 0 0.2500Rc = 4由rank( Qc)=4=n=4知道，系统是可控的。(

7、d)根据最初的系统矩阵A=，判断它的特征值用Matlab实现:A=0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0;Lambda=eig(A)Lambda = 0 0 0 -0.2500 + 0.1936i -0.2500 - 0.1936i 可以看到，系统有三个零特征值，一对共轭复数根，且位于S左半平面，从而知道，系统是李亚普诺夫意义下的稳定。(e)讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）一个系统要能控，必须要能控型矩阵的秩等于系统的阶数，反过来讲，系统越复杂，状态变量的个数越多，能控型

8、矩阵要求满足的秩也就越大，就很难达到要求，从而其能控性也就不容易满足。得出，越复杂的系统越不容易达到完全能控。3、垂直起降的飞机的线性化模型为：=Ax+其中，A= = =系统的状态变量为水平速度（节），垂直速度（节），倾斜率(度/秒)，倾斜角（度），系统的控制输入为和，其中用于控制垂直运动，用于控制水平运动。（a） 计算系统矩阵A的特征值，并由此判断系统是否稳定；（b） 利用poly函数确定A的特征多项式，计算特征根，并与（a）中得到的特征根相比较；（c） 当只有发挥作用的时候，系统能控吗？当只有发挥作用的时候，结果又如何？解：由题意知：A=（a）用Matlab实现:A=-0.0366 0.0

9、271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0;Lambda=eig(A)Lambda = 0.2758 + 0.2576i 0.2758 - 0.2576i -0.2325 -2.0727 由于系统的特征值中有一对共轭复根，它们具有正实部，因此系统是不稳定的。（b）利用poly函数确定A的特征多项式用Matlab实现:A=-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -

10、0.7070 1.4200;0 0 1 0;b=poly(A)特征多项式的系数为：b =1.0000 1.7536 -0.6472 0.0625 0.0686用Matlab实现:p=1.0000 1.7536 -0.6472 0.0625 0.0686;roots(p)进而根据特征多项式的系数求得的特征根为ans = -2.0727 0.2758 + 0.2576i 0.2758 - 0.2576i -0.2324 由上述的结果可以看出，用方式（a）和方式（b）得到的结果几乎一致。(c) 当只有 作用时，由题意知：=用Matlab实现:A=-0.0366 0.0271 0.0188 -0.45

11、55;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0;B=0.4422;3.5446;-5.5200;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)Qc = 0.4422 -0.0239 2.5172 -2.0267 3.5446 -3.5720 25.8140 -47.0978 -5.5200 5.2517 -12.8686 26.3099 0 -5.5200 5.2517 -12.8686Rc = 4由rank( Qc)=4=n=4知道，系统是可控的。当只有 作用时,由题意知： =用Matlab实现:

12、A=-0.0366 0.0271 0.0188 -0.4555;0.0482 -1.0100 0.0024 -4.0208;0.1002 0.3681 -0.7070 1.4200;0 0 1 0;B=0.1761;-7.5922;4.4900;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)Qc = 0.1761 -0.1278 -1.9441 2.3338 -7.5922 7.6874 -25.8381 49.9646 4.4900 -5.9515 13.4004 -27.6310 0 4.4900 -5.9515 13.4004Rc = 4由rank( Qc)=4=n=4知道，系统是可

13、控的。求得当u1和u2作用时系统均为能控。4、为了探究月球表面（远离地球的一面）的奥秘，人们付出了不懈的努力。例如，在地球-太阳-月球系统中，人们希望通信卫星能定点在不受月球遮挡的轨道上，并为此开展了广泛的论证研究工作。图中给出了预期卫星轨道的示意图，从地球上看上去，卫星轨道的光影恰似环绕月球的外层光晕，因此这层轨道又称为光晕轨道。轨道控制的目的是使通信卫星在地球可见的光晕轨道上运行，从而保证通信链路的畅通，所需的通信链路包括从地球到卫星和从卫星到月球背面共两端线路。卫星绕定点位置运动时，经过标准化和线性化的漂移运动方程为：= x+ + + 其中状态变量x是卫星在三个方向上的位置和速度漂移，输

14、入 （i=1,2,3）分别是轨道发动机在 和方向上产生的加速度。（a）卫星顶点位置是否稳定；(b)如果只有发挥作用，卫星是否能控？(c)如果只有发挥作用，卫星是否能控？(d)如果只有发挥作用，卫星是否能控？(e)如果能够测得方向上的位置漂移，确定由到该位置漂移的传递函数。（提示：可令观测输出为y=0 1 0 0 0 0x）(f)用tf2ss函数，计算（e）中得到传递函数状态变量模型，并验证该轨迹子系统是能控系统；(g)采用状态反馈=-Kx，设计合适的反馈控制器，使（f）中得到的系统的闭环极点为 =-1j , =-10解：由方程= x+ + + 知： A=(a)用Matlab实现:A=0 0 0

15、 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;7.3809 0 0 0 2 0;0 -2.1904 0 -2 0 0;0 0 -3.1904 0 0 0;Lambda=eig(A) 系统矩阵A 的特征值为：Lambda = -2.1587 2.1587 0.0000 + 1.8626i 0.0000 - 1.8626i 0 + 1.7862i 0 - 1.7862i可以看出，矩阵A的特征值其中一个具有正实部，因此，该系统是不稳定的。（c） 如果只有发挥作用，由题意知：B=用Matlab实现:A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;7.3809

16、 0 0 0 2 0;0 -2.1904 0 -2 0 0;0 0 -3.1904 0 0 0;B1=0;0;0;1;0;0;Qc=ctrb(A,B1)Rc=rank(Qc)系统的能控矩阵为Qc = 0 1.0000 0 3.3809 0 20.1921 0 0 -2.0000 0 -2.3810 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 3.3809 0 20.1921 0 0 -2.0000 0 -2.3810 0 -35.1688 0 0 0 0 0 0Rc = 4它的秩为Ro = 4由rank( Qc)=4<n=6知道，系统是不可控的。(c) 如果只有发挥作用，由题意知：B=

17、用Matlab实现:A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;7.3809 0 0 0 2 0;0 -2.1904 0 -2 0 0;0 0 -3.1904 0 0 0;B2=0;0;0;0;1;0;Qc=ctrb(A,B2)Rc=rank(Qc)系统的能控矩阵为Qc = 0 0 2.0000 0 2.3810 0 0 1.0000 0 -6.1904 0 8.7975 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 0 2.3810 0 35.1688 1.0000 0 -6.1904 0 8.7975 0 0 0 0 0 0 0Rc = 4它的秩为Ro = 4由

18、rank( Qc)=4<n=6知道，系统是不可控的。(d) 如果只有发挥作用，由题意知：B=用Matlab实现:A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;7.3809 0 0 0 2 0;0 -2.1904 0 -2 0 0;0 0 -3.1904 0 0 0;B3=0;0;0;0;0;1;Qc=ctrb(A,B3)Rc=rank(Qc)系统的能控矩阵为Qc = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -3.1904 0 10.1787 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -3.1904 0 1

19、0.1787 0Rc = 2它的秩为Ro = 2由rank( Qc)=2<n=6知道，系统是不可控的。（e）用Matlab实现:A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;7.3809 0 0 0 2 0;0 -2.1904 0 -2 0 0;0 0 -3.1904 0 0 0;B2=0;0;0;0;1;0;C=0 1 0 0 0 0;syms s;I=eye(6);E=s*I-A;F=collect(inv(E);G=C*F*B2满足该条件的传递函数G = -(6250000*s2 - 46130625)/(- 6250000*s4 + 7440625*

20、s2 + 101044521)（f）根据（e）中得到的传递函数num=-6250000 0 46130625;den=-6250000 0 7440625 101044521;Gf=tf(num,den)Transfer function: 6.25e006 s2 - 4.613e007-6.25e006 s3 - 7.441e006 s - 1.01e008相对应的状态变量模型为a = x1 x2 x3 x4 x1 0 0.5952 0 2.021 x2 2 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 2 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3

21、 x4 y1 0 0.5 0 -0.9136 d = u1 y1 0对应于上述的状态空间描述用Matlab实现:A=0 0.5952 0 2.021;2 0 0 0;0 2 0 0;0 0 2 0;B=1;0;0;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)系统的能控矩阵为:Qc = 1.0000 0 1.1904 0 0 2.0000 0 2.3808 0 0 4.0000 0 0 0 0 8.0000Rc = 4它的秩为Ro =4由rank( Qc)=4=n=4知道，系统是可控的。（g）采用状态反馈设计满足该提的要求：由于rankB=1,所以在极点配置过程中，不能有重极点出现，如果有

22、，程序就会提示错误，因此，兼顾上述两方面的情形，取极点=-10，=-9.9999用Matlab实现:A=0 0.5952 0 2.021;2 0 0 0;0 2 0 0;0 0 2 0;B=1;0;0;0;P=-1+j -1-j -10 -9.9999;k=acker(A,B,P)基于上述的条件，得到最后的状态反馈矩阵为k =21.9999 1.5946 59.9995 27.0208控制输入为 =- 21.9999 71.5946 59.9995 27.0208x.5、在风力机的一阶模型中，桨距角控制风力机的转速，风速的变话视为扰动，设计风力机转速的闭环PI控制，使转速恒定。解：系统的一阶数

23、学模型为：=-0.3397x-0.0262 +0.0979 y=x由系统的状态空间描述求它的传递函数，得到对应的传递函数为：G =-262/(10000s + 3397)根据系统的传递函数，采用PI控制规律后，系统的方框图以及系统单位阶跃响应为： 图1 闭环系统方框图 系统的单位阶跃响应为： 图2 系统的单位阶跃响应在该题中，采用PI控制规律，受控系统的传递函数为G（s）=-262/10000s+3397为了保证闭环系统是稳定的，控制器的传递函数中的时间常数T取为受控系统时间常数的两倍，即T=20000.同时，为了满足题目要求，在存在扰动的情况下使速度恒定，经过多次试取，选定控制规律中的K，即

24、比例系数为3.2，控制器的传递函数为G（s）=3.2（1+1/20000s）综上，采用的是校正方式为串联校正，控制规律为PI控制，PI控制器的引入相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或者减少系统的稳态误差，改善系统的稳态性能，因此，PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。6、在风力机的三阶模型中，桨距角控制风力机的转速，风速的变话视为扰动，电磁转矩视为常数，采用状态反馈和极点配置算法，设计风力机转速闭环的控制系统。解：当桨距角控制风力机的转速，风速的变话视为扰动，电磁转矩视为常数，系统的三阶数学模型为：

25、=x+v首先判断系统的能控性，由以上方程知：系统矩阵A=用Matlab实现:A=-0.8468 -8.1598e-008 0.5071;867637000 0 -867637000;1.1636e+004 0.0019 -1.1636e+004;B=0.0262;0;0;Qc=ctrb(A,B)Rc=rank(Qc)由系统矩阵和输入矩阵得到系统的能控性判别矩阵Qc = 1.0e+011 * 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0002 -2.6453 0 0.0000 -0.0000Rc = 3它的秩为：Ro=rank( Qc)= 3=n，因此系统是完全能控的。系统矩阵的特征值

26、为：Lambd= 1.0e+004 * -1.1493 -0.0000 -0.0143为了满足一般的要求，设系统有一对共轭主导极点，一个非主导极点，选取闭环系统的特征值为 =-3j, =-10基于上述的条件用Matlab实现:A=-0.8468 -8.1598e-008 0.5071;867637000 0 -867637000;1.1636e+004 0.0019 -1.1636e+004;B=0.0262;0;0;P=-3+j -3-j -10 ;k=acker(A,B,P)得到最终的状态反馈矩阵为:k = 1.0e+005 * -4.4354 -0.0000 4.4353控制输入为 u=-Kx.7、在风力机的三阶模型中，桨距角控制风力机的转速，风速的变话视为扰动，电磁转矩视为常数，设计风力机转速的LQR控制器。解：由上题知：系统矩阵A=用Matlab实现:A=-0.8468 -8.1598e-008 0.5071;867637000 0 -867637000;1.1636e+004 0.0019 -1.1636e+004;B=0.0262;0;0;Q=diag(1,1,1);R=1;k=lqr(A,B,Q,R)得到状态反馈矩阵