向量集体备课

1、平面向量李振麟【知识特点知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。【重点关注重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。向量与数列、不等式、圆

2、锥曲线，函数等知识的综合问题。对学生能力的考查有较高的要求。3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。【地位和作用地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。向量“形” 、 “数”兼备，是数形结合

3、的桥梁。在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为 10 分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。4.14.1 平面向量平面向量【高考目标定位高考目标定位】一、平面向量

4、的概念及其线性运算一、平面向量的概念及其线性运算1 1、考纲点击、考纲点击（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；（4）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（5）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（6）了解向量线性运算的性质及其几何意义。2 2、热点提示、热点提示（1）重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示；（2）多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题。二、平面向量的基本定理及坐标表示二、平面向量的基本定理及坐标表示1 1、考纲点击、考纲点击（1）了解平面向量的基

5、本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2 2、热点提示、热点提示（1）向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题；（2）向量的坐标运算常与三角，解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题的形式呈现，属中档题。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例三、平面向量的数量积及平面向量应用举例1 1、考纲点击、考纲点击（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表

6、达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；（5）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；（6）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2 2、热点提示、热点提示（1）平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题的高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变；（2）可与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点。【考纲知识梳理考纲知识梳理】一、平面向量的概念及其线性运算一、平面向量的概念及其线性运算1 1、向量的有关概念及表示方法、向量的有关概念及表示方法（1 1）向量的有关概念）向量

7、的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模）零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于 1 个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量平行向量双叫做共线向量与任一向量平行或共线0相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为00（2 2）向量的表示方法）向量的表示方法字母表示法，如：等；, a AB 几何表示法：用一条有向线段表示向量。2 2、向量的线性运算、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：。abba（2）结合律：()()abcabc减法求与的相

8、反ab向量的和的运b算叫做与的ab差数乘求实数 与向量的积的运算a（1）.aa（2）当 0 时，与的方向相同；aa当 0 时, 与的aa方向相反；当 =0 时, =a0()() ;aa ();aaa()abab注：式子的几何意义为：平行四边形两条对角线的2222|2(| )ababab平方和等于它们四条边的平方和。3、向量与向量共线的充要条件为存在唯一一个实数，使(0)a a b.ba注：用向量法证明三点 A、B、C 共线时，首先求出，然后证明，AB AC 、ABAC =即共线即可。ABAC 与二、平面向量的基本定理及坐标表示二、平面向量的基本定理及坐标表示1 1、两个向量的夹角、两个向量的夹

9、角（1 1）定义）定义已知两个非零向量和，作，则AOB= 叫做向量与的夹角。ab,OAa OAb ab（2 2）范围）范围向量夹角 的范围是 001800，与同向时，夹角 =00；与反向时，夹abab角 =1800。（3 3）向量垂直）向量垂直如果向量与的夹角是 900，则与垂直，记作。ababab注：在 ABC 中，设，则向量与的夹角为ABC 是否正确？（答：,ABa BCb ab不正确。求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量与的夹角为 -ABC） 。ab2 2、平面向量基本定理及坐标表示、平面向量基本定理及坐标表示（1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理定理：如果是同一平面内的两个不

10、共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，12,e e a有且只有一对实数，使。121 122aee 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。12,e e （2 2）平面向量的正交分解）平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3 3）平面向量的坐标表示）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，, i j 对于平面内的一个向量，有且只有一实数 x,y,使，把有序数对（x,y）叫做aaxiy j向量的坐标，记作=（x,y）,其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。aaaa设

11、，则向量的坐标（x,y）就是终点 A 的坐标，即若=（x,y） ，OAxiy j OA OA 则 A 点坐标为（x,y） ，反之亦成立。 （O 为坐标原点）3 3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算（1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算向量ab+ab-aba坐标（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法已知 A（x1,y1） ，B(x2,y2)，则=（x2-x1，y2-y1） ，即一个向量的坐标等于该向AB 量终点的坐标减去始点的坐标。（3 3）平面向量共线的坐标表示）平面向量共

12、线的坐标表示设=（x1,y1） ，=(x2,y2)，其中0，则与共线= x1y2- abbababx2y1=0。注：=（x1,y1） ，=(x2,y2)， ，则/的充要条件不能写成，因为 x2,y2aab1122xyxy有可能为 0，故应表示成 x1y2- x2y1=0。【热点难点精析热点难点精析】一、平面向量的概念及其线性运算一、平面向量的概念及其线性运算（一）向量的有关概念（一）向量的有关概念相关链接相关链接1、着重理解向量以下几个方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与

13、其他向量的关系；（2）单位向量的长度及方向。例题解析例题解析【例例 1 1】给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若则 ABCD 为平行四边形；,ABDC 若/ / , / / ,ab bcac 则；若。/ / , / / ,/ /ab bcac 则其中正确命题的个数是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3思路解析：思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。解答：解答：选 B。错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段。错，因为则可能 A、B、C、D 四点在一条直线上。正确。错，若，则对不共线,ABDC 0b 的向量

14、与，也有/，/，但与不平行。aca00cac【例 2】下列结论中，不正确的是 （ ）（A）向量，共线与向量/同义；AB CD AB CD （B）若向量/，则向量与共线；AB CD AB DC（C）若向量=，则向量=；AB CD BA DC（D）只要向量，满足|=|，就有=。ababab解答：选 D。根据平行向量（或共线向量）定义知 A，B 均正确；根据向量相等的概念知 C 正确，D 不正确。（二）向量的线性运算（二）向量的线性运算相关链接相关链接（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理；（2）在求向量时要尽可能转化

15、到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。注：注：若 A 为 BC 的中点，则例题解析例题解析例例 11在 ABC 中，2,/ /DEN3ADAB DEBCAC 交于E, BC 边上的中线AM 交于。,BC DDN AMABa ACba bAEEAN 用表示向量、思路解析思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如211,333ABAD DBABa 在进行计算时要充分利用11.33BDABa ABC，ADNABM 等条件。/ /DEBCADE 解答：解答：|2

16、22333DEBCAEACbADAB 由 ADEABC，得，又 AM 是.BCACABba 22()33DEBCba ABC 的中线，DE/BC，且 AM 与 DE 交于点 N，得11().23DNDEba111()()222AMABBMaBCabaab 22在 OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC=BA，在 OB 上取点 D，使。DC 与 OA 交于 E，设13DBOB 用表示向量及向量。,OAa OBb , a b OCDC解答：解答：A 是 BC 的中点，即1()2OAOBOC 22,OCOAOBab 22522.333DCOCODOCOBabbab （三）向量的共线问题（三）向量的

17、共线问题例例设两个非零向量与不共线，ab（1）若求证：A、B、D 三点共线；,28 ,3().ABab BCab CDab （2）试确定实数 k，使和共线kabakb思路解析：思路解析：（1）由已知求判断和的关系判断 A、B、D 的关系；BD AB BD （2）应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得 k 值。解答：解答：（1）,28 ,3().ABab BCab CDab 283()28335()5BDBCCDabababababAB 、共线，又它们有公共点 B，A、B、D 三点共线AB BD （2）和共线，存在实数 ，使=（） ，即=kabakbkabakbkab。、是不共线的两个非零向量

18、，akb()(1) .kakbab=，-1=0。=1。k1k2kk注：注：（1）向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想。（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。二、平面向量的基本定理及坐标表示二、平面向量的基本定理及坐标表示（一）平面向量基本定理及其应用（一）平面向量基本定理及其应用相关链接相关链接1、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同；2、对于两个

19、向量，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的ab关系，来反映与的关系；ab3、利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算。注：由于基底向量不共线，所以不能作为一个基底向量。0例题解析例题解析例例如图：在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知试用表示。,AMc ANd , c d ,AB AD 思路解析：思路解析：直接用表示有难度，可换一个角度，由表示，, c d ,AB AD ,AB AD AM ，进而解方程组可求。AN,AB AD 解答：解答：方法一：设则将代入得得方法二：设因 M，N 分别为 C

20、D，BC 中点，所以因而即（二）平面向量的坐标运算（二）平面向量的坐标运算相关链接相关链接1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。例题解析例题解析例例已知

21、 A（-2，4） ，B（3，-1） ，C（-3，-4） 。设且,ABa BCb 求：3 ,2 ,CMc CNb （1）33 ;abc（2）满足的实数 m,n;ambnc（3）M、N 的坐标及向量的坐标。MN 思路解析：思路解析：利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解。解答：解答：由已知得(5, 5),( 6, 3),(1,8).abc （1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）33abc=（6，-42）（2）( 6, 38 )(5, 5),mbncmnmn 651,3851mnmmnn 解得（3），。M（0，203CMOMOCc

22、 3(3,24)( 3, 4)(0,20)OMcOC ）又，N（9，2） 。2CNONOCb 2(12,6)( 3, 4)(9,2),ONbOC 。(9, 18)MN （三）平面向量共线的坐标表示（三）平面向量共线的坐标表示相关链接相关链接1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。例题解析例题解析例例已知当 k 为何值时，与平行；平行时它们(1,2

23、),( 3,2),ab kab3ab是同向还是反向？思路解析：思路解析：将用坐标表示将用坐标表示应用共线向量的充要条件kab3ab求 k把 k 代入向量判断结果。解答：解答：=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2） ，=（1，2）-3（-kab3ab3，2）=（10，-4） ，与平行等价于（k-3） （-4）-10（2k+2）=0，解得 k=kab3ab。故当 k=时，与平行。此时=，1313kab3abkab11(3 )33abab 与反向。kab3ab注：注：向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算。通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思

24、想在向量中的应用。（四）向量与其他知识的综合（四）向量与其他知识的综合例例已知向量现向量的对应关系用表示。( , )ux y( ,2)vyyx( )vf u（1）设，求向量与的坐标；(1,1),(1,0)ab( )f a( )f b（2）求使( )( , )()f cp qpqc、为常数的向量的坐标；（3）证明：对任意的向量及常数 m,n 恒有成立。a b 、()( )( )f manbmf anf b思路解析：思路解析：本题关键是找出“函数” 的对应关系，此处的变量为向量的坐( )vf u标，因此，可通过坐标运算来解决问题。解答：解答：（1）又(1,1),( )(1,2 1 1)(1,1)a

25、f a (1,0),( )(0,2 0 1)(0, 1).bf b （2）2( , ),( )( ,2)( , ),2(2, )ypxpqcx yf cyyxp qyxqypcpq p设则（3）12121122222211221221222211(,),( ,),(,),()(,22).( )(,2),( )(,2),( )( )(,22),()( )( ).aa abb bmanbmanb manbf manbmanbmanbmanbmf am aaanf bbbbmf anf bmanbmanbmanbf manbmf anf b设则注：注：对于信息处理题应注意以下几点：认真领会题中所给信

26、息（注意概念的内涵与外延） ；将所得到的信息，应用于题目中去，即解决实际问题（当然注意条件与结论，往往是三段论推理） 。三、平面向量的数量积及平面向量应用举例三、平面向量的数量积及平面向量应用举例（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题相关链接相关链接1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式来计算，二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：例例已知，与的夹角为，求：（1）ab34；（2）。(32 ) (2 )ababA|ab思路解析：思

27、路解析：利用平面向量数量积的定义及其运算律，可求出第（1）问；求可|ab先求，再开方。2()ab解答：解答：（1），32cos3 4 ()6 242a ba b AA22239,16.ab=(32 ) (2 )ababA223843 98 ( 6 2)649148 2.aa bb A（2），2222|()292 ( 6 2) 1625 12 2ababaa bb A|25 12 2ab（二）平面向量的垂直问题（二）平面向量的垂直问题相关链接相关链接1、非零向量2、当向量是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。注：注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。例例已知向量，

28、 （1）求证：(cos(),sin(),(cos(),sin()22ab（2）若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使满足试求此时的最小值。思路解析：（思路解析：（1）可通过求证明（2）由得，即求出关于 k，t 的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量 k，得出关于 t 的函数，从而求出最小值。解答：解答：（1）cos() cos()sin() sin()sincossincos0.22a bab AAA（2）由得：，即222322232233232222(3) ()0,(3 )(3)0(3 )0.1,1,30,3 .31113().24111.24atbkatbkatt btk ta b

29、k att babkttkttktttttttttkttt AA又故当时，有最小值（三）平面向量的夹角问题（三）平面向量的夹角问题相关链接相关链接1、当是非坐标形式时，求的夹角。需求得及或得出它们的关系。2、若已知的坐标，则可直接利用公式注：注：平面向量的夹角例题解析例题解析例例已知都是非零向量，且与垂直，与垂75ab4ab72ab直，求与的夹角 。ab思路解析：思路解析：把向量垂直转化为数量积为 0联立求与的关系应用夹角公式求ab结果。解答：解答：222222222(3 ) (75 )0,(4 ) (72 )0.716150730802,112cos.602ababababaa bbaa b

30、ba bbabba ba bbAA A A A A A由已知：即两式相减，得代入其中任一式，得，（四）向量的综合应用（四）向量的综合应用例例 11设 ABC 的外心为 O，则圆 O 为 ABC 的外接圆，垂心为 H。求证：思路解析思路解析：本题的关键是探求的联系，利用向量的三角形法则可得下一步需确定的关系，由条件 O 为ABC 的外心，可延长 BO 交圆于 O 于点 D，连 AD、DC，利用圆周角是直角的性质可证四边形 ANCD 为平行四边形，从而问题得以解决。解答：解答：延长 BO 交圆 O 于 D 点，连 AD、DC，则 BD 为圆 O 的直径，故BCD=BAD=900。又AEBC，DCB

31、C。各 AH/DC，同理 DA/CH。四边形 ANCD 为平行四边形，。又又注：注：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O 为外心，H 为垂心，在本题中作用最大；另外，平面解析几何中的一些性质在解题中也有很大的用处。例例 22已知力与水平方向的夹角为（斜向上） ，的大小为 50N，拉着一个F030FF重 80N 的木块在摩擦系数的水平平面上运动了 20m，问和摩擦力所做的功Ff分别是多少？思路解析：思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘积的物理含义，要先求出力，和位移Ff的夹角，然后应用数量积公式求解。解答：解答：设木块的位移为则，在铅F垂方向上分力大小为摩擦

32、力的大小为f，(8025) 0.021.1()fN 所做的功分别是 500J、22J。3注：注：力在力的位移上所做的功，就是力与位移所对应两向量的数量积。故在解决此类问题时可转化为数量积的运算，据题意构造平面图形，把已知、所求各量用向量的对应量表示出来。然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角，再利用数量积的运算公式求得力对物体所做的功。【感悟高考真题感悟高考真题】1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a=,1x（） ，b=2, x x（）， 则向量ab A 平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】【解析】ab2

33、(0,1)x,由210 x及向量的性质可知,C 正确.2.（2009 广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,F F F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为 2 和 4，则3F的大小为 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 【解析】28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F，选 D.3.（2009 浙江卷理）设向量a，b满足：| 3a，| 4b，0a b以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A3 B4 C5 D6答案：C 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置

34、是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现4. （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （8）ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB若CBauur，CAbuu r，1a ，2b ，则CD uuu r（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355ab【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=DBCB1，所以 D 为 AB 的三等分点，且22ADAB(CBCA)33 ，所以2121

35、CDCA+ADCBCAab3333 ，故选 B.5. （20102010 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b= 2, 则CD =（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b【解析解析】B】B：本题考查了平面向量的基础知识：本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线，为角平分线， 12BDBCADAC， ABCBCAab ， 222333ADABab ， 22213333CDCAADbabab 6. （20102010 上

36、海文数）上海文数）13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，1(2,1)e 、2(2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若12OPaebe （a、bR） ，则a、b满足的一个等式是 4ab1 。解析：解析：因为1(2,1)e 、2(2, 1)e 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为xy21，又1, 2,5bac双曲线方程为1422 yx，12OPaebe =),22(baba，1)(4)22(22baba，化简得 4ab17. （20102010 天津理数）天津理数） （15）如图，在ABCA中，ADAB,3BCBD ,1AD ,

37、则AC AD A .【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。| |cos| cos|sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。8. （20102010 江苏卷）江苏卷）15、 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(OCtAB)OC=0，求 t 的值。解析本小题

38、考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14分。（1） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则(2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 4 2.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。（方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10；（2）由题设知：OC=(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。由(OCtAB)

39、OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ，从而511,t 所以115t 。或者：2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2115|AB OCtOC 【考点精题精练考点精题精练】一、选择题一、选择题1若向量（ B ）(1,1),(1, 1),( 1,2),abcc 则ABCDba2321ba2321ba2123ba21232设是任意的非零平面向量，且相互不共线，有以下结论,a b c ； ；0)()(baccba|abab 不与； ()()b cac ab c垂直22(32 ) (32 )9|4|ababab其中正确的是（ D ）A B C D 3若、为任意向量，则下列等式不一定成立的是（ D ）abcRmAB)()(cbacba()abca cb c CD()m abmamb)()(cbacba4设坐标原点为 O，抛物线与过焦点的直线交于 A、B 两点，则（ xy22OBOAB ）ABC3D343435平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A（3，