必修第二章平面向量讲义第三讲

1、向量的坐标运算及数量积本讲义主要内容： 第一部分：【知识回顾】 知识点一向量的坐标运算右在平面直角坐标系下，a= (xi, yi), b=(X2, y2)(1) 加法：a + b= (xi + X2, yi + y2)(2) 减法：a b= (xi x2, yi y2)(3) 数乘：a = ( xi, yi)(4) 数量积：a b= xix2 + yiy22 2(5) 若 a = (x, y),贝U | a | 二 一 x y若a = (xi,yi), b= g y2)，则 cos ： a, b -x" yyi2 2 p2 2 Xi yi , X2 y2若 A(xi, yi), B(

2、x2, y2),则 |AB|= :;(xi -X2)2 (% -y2)2a bxx + y y2(8) a在b方向上的正射影的数量为| a | cos： a, b221 b 1 必“知识点二重要定理(1) 平行向量基本定理：若a = b,则a/ b,反之：若a/ b,且b*0,则存在唯一的实数使得a = b(2) 平面向量基本定理：如果ei和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对头数 ai, a?使 a= ai ei+ a?e2(3) 向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a = (xi, yi), b= (x2, y2)贝U： a/ b：= xiy

3、2 x2yi = 0, a丄b：= xix2 + yiy2 = 0Xi = X2若 a = (xi, yi), b= (x2, y2)，则 a = bu yr第二部分：【经典例题】【平面向量的坐标】题型一求向量的坐标【例题1】如图所示，若OA二2 ,OA与x轴正方向夹角为T30°，求向量0A的坐标.【例题2 ABC的三个顶点的坐标分别是 A(4,6), B(7,6),C(1,8) , D为BC的中点,求向量AB,AD,BC.题型二 由向量相等求参数的值2 2【例题3】已知向量a = (x y , xy), b = (5, -2)，若a = b，求x, y的值.题型三 平面向量的坐标运

4、算1. 向量坐标运算的直接应用>>1 3【例题4】已知平面向量a = (1,1), b = (1厂1)，则向量§ a b =()A. (2,1) B. (-2,1)C. (1,2) D. (-1,2)2. 利用向量坐标运算求点的坐标fT TT【例题 5】已知 A(-2,4), B(3,-1),C(-3,-4)且 CM =3CACN =2CB,求 M,N 的坐3. 利用向量坐标运算表示向量【例题 6】已知 0是二ABC 内一点，AOB = 150°,._ BOC = 90°,设OA = a,OB = b,OCT31Tc且a=2,b=1,c=3，试用a，T

5、 + , T b表示c.题型四 向量平行的判断与证明1 【例题7】已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2)，AE二丄AC,BF二 31 BC ,Q 求证：EF / AB.3题型五 由向量平行求参数问题T【例题 8】(易错题)设点 A(-1,2), B(n -1,3),C(-2 ,n 1),D(2,2 n 1),若向量 AB 与TCD共线且同向，则n的值为()A. 2 B. -2C. -2D. 1题型六三点共线问题f f f ff Tf f【例题9】如果向量AB二i -2 j, BC = 2 i j，其中i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数的值，使

6、A,B,C三点共线.题型七 利用向量坐标解决平面几何问题【例题10】如图所示，已知直角梯形 ABCD, AD _ AB, AB =2AD =2CD,过点C作CE_AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明(1) DE / BC ；(2) D,M,B 三点共线.题型八 向量数量积的概念、性质、运算律的辨析【例题11】已知a,b,c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()T T I-彳TTTT a b 二 ai ba / b ;aT TT Ta+ ba - bA. 1C. 3D. 4>2>2a b =0，贝U a = b=0 ；已知a, b, c是三个非零向【例题12】下列判断：

7、若则TTTTTTT?T?TT(a b) c =0 ； ® (a - b)=0，贝y a b = 0 或 c = 0 .正确的有题型九 求向量的摄影或数量积【例题13】如图所示，在平行四边形ABCD 中,TTAB=4,AD=3, DAB =60°,求:T Tf *(1) AD BC ； (2) AB CD ；(3) AB DA ； (4) AB在CB方向上的射影.【例题14】设a =3, b =2, M = 5，向量a与W的夹角为30°,向量b与c的夹角为TT Tf TT60° .化简：(1) (a b) c ； (2) a (b c).题型十求向量的模【

8、例题15已知=5，向量a与b的夹角为60°,求a+ bT T a b【例题16设 0 ；：卜辽 2,函数 f (x) = 1 -sin2 x - a sin x - b的最大值为0,最小值为-4，且a与b的夹角为45T "4 ，求 a + bT Tf f题型一结论a _ b = a七=0的应用? ff *【例题17已知a,b是非零向量，当 a tb ( t R)的模取得最小值时，求证:21a=2,b【例题18】已知=1，向量a,b的夹角为60°当m为何值时，c与d垂直?f fff【例题19】（易错题）设两个向量 e1,e2满足=2,e2题型十二求参数的取值范围1，

9、若向量2te； 7e2与e/ te?的夹角为钝角，求实数t的取值范围的夹角为60°,T T TT T T c 二 a 5b,d 二 ma-2b.第三部分：【实战演练】【实战演练一】T_1.已知AB =（3,4）, A（2,1），则点B的坐标为（）A. (1,3) B. (5,-5) C. (5,5) D. (1厂3)2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（）A.=(0,0)(2 =(1,-2)B. e =(1,2)(2 =(5,7)C. e =(3,5), e2 =(6,10)D. e =(2,-3)(2 =(-4,6)TTT T3.已知 a = ( -2,3),

10、 b = (1,5)，则 3a b=（）A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D. (5,9)TTTTTT4.已知 a = (1,2), b =(1,5)，且a 2b与2a-b平行，则x等于（）11A.1B.2C.D.-325. 在平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线，若 AB二(2,4), AC二(1,3),则BD :( )A.(-2,-4)B. (-3厂5)C. (3,5)D. (2,4)6. 已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边 AB，AD分别落在x轴，y轴的正半轴上，则向量 2AB+3BC+AC的坐标为.237. 已知anO，若平面内三点 A(1,a

11、), B(2,a ),C(3,a )共线，则a=.8.已知 A(1,-2), B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3),以AB, AC为这一组基底来表示ADBD CD .9.已知平行四边形 ABCD的顶点A(-1,-2), B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标.【实战演练二】0 T T1.在 ABC 中，BC =5,CA =4,C =45°,则 BC CA等于()A. 10、2 B. 20.2 C. -10、一2 D.-20.2且(3 a) Qb)八36，5A. 6O0T T则a与b的夹角为(B.1200C.1350D. 15003.已知=2, n =1，且fTm n，贝

12、y k等于T T T T(m k n) _ (m-3n)，3 D.4A.B.3Ta=4,bC.fi-5，贝U a与b的数量积为(4D. 10A. 10 3 B.-10 3 C. 10. 25.在 ABC 中，AB BC 0，则 ABC 是( )6.7.ABA. 锐角三角形已知 a = 3, b = 5，12A.5如图所示，在四边形BD 二 BD DC = 0,B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形且ab12，则向量a在向量b上的射影的数量为(B. 3C. 4D. 5ABCD 中,ABT T T 则(AB DC) AC =DC=4,ABBD 十 BDDC =4，8.若向量a与向量b (a c) -c(ab)的数量积记为 M则M =TTAB=AC9.在ABC中，已知=4,且 AB AC =8WABC的形状为10.设i , j是两个互相垂直的单位向量，已知T