中考数学中考数学八单元三角形学案

1、第八单元 三角形全等三角形五种基本作图性质定义尺规作图判定三线三角形的中线三角形的高线三角形的角平分线平分线线段垂直平分线的性质与判定角分线的性质与判定分类按边分类不等边三角形等腰三角形定义性质判定等边三角形轴对称和轴对称图形按角分类锐角三角形直角三角形性质钝角三角形三角形三边关系定理及推论【知识网络】 第一讲 三角形的边与角【考点透视】一、考纲指要1理解三角形的有关概念，如三角形的角、三角形的边、三角形的角平分线、三角形的高线、三角形的垂直平分线等等。2根据三角形内角和定理及其推论进行相关角的度数的计算。3运用三边关系定理及其推论计算边长取值范围或是判断三条线段是否能构成三角形。4会对三角形

2、按边或按角进行分类。5本部分着重考查方程的思想和分类讨论的思想，题型以填空题和选择题为主。二、命题落点1利用三角形的三边关系确定三角形的边长的取值范围。2利用三角形有关知识计算角的度数。3运用三边关系判断三条线段能够构成三角形。4线段或者角的相等的证明。 5线段或者角的不等的证明。6化归思想和分类思想在中考的应用。【典例精析】 例1：（荆州市2005年）一幅三角板，如图所示叠放在一起。则图中的度数是（ ）a75° b60° c65° d55°解析本题以学生最常用的数学工具三角板为模型，又轻巧的揉进三角形内角和等于180度和三角形的一个外角等于与它不相邻的

3、两个内角的和的知识，构思巧妙。 答案：a 例2：（泸州2005年）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为cm？解析要想求三角形的周长必须已知三边的长。等腰三角形两腰相等，一般情况下第三边不与腰相等。已知中给出的两边不等长，因此还要考虑谁为底，谁为腰。选定腰与底要考虑是否满足三角形三边关系定理及其推论。若8cm为腰长，显然成立,若选6cm为腰长则有6+6<80，显然也成立。所以，这个等腰三角形腰长8cm或6cm,底边长相应为6cm或是8cm。 答案：周长=22cm或20cm。例3：（荆门市2005年）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123 解析计算123的度数，需要

4、把这三个角转化到同一个三角形中去。其中2到度数没有必要转化，直接求出结果即是45°。1与3如何转化呢？我们可以看出1所在到三角形与3所在的三角形是全等三角形，所以1290°。再加上3即得135°。答案：135° abc123例4：（泸州市2005年）如图，有a、b、c三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在a在ac、bc两边高线的交点处 b在ac、bc两边中线的交点处c在ac、bc两边垂直平分线的交点处d在a、b两内角平分线的交点处解析此题是一道很典型的把数学应用于实际生活中的试题。在这三

5、个小区修建购物超市而且使到三个小区到路程最短，把他转化为数学问题就是到线段ac、ab两端点的距离相等， 那么需要作线段ac、ab的垂直平分线，其交点就是要建小区的地点。 答案：c例5：（金化市2005年）如图是跷跷板示意图，支柱与地面垂直，点是横板的中点，可以绕着点上下转动，当端落地时，°，横板上下可转动的最大角度（即oa）是（）°°°°解析实际问题中跷跷板，相信大家都玩过，如果把此图画成示意图，很明显oab，是一个等腰三角形。ab，而ab的上下的旋转过程的最大角度是a，oa。而此角是三角形的外角故它等于三角形不相邻的两内角的和，所以oa40&

6、#176;。这种类型题给我们大家一个把实际问题转化为数学问题的机会，大家可以尝试把其他的锻炼身体的器材的运动过程加以计算。考验自己的数学应用能力。答案：c。 例6：（浙江省2005年） 如图所示，直线ab，则a= 度解析由两直线平行，同位角相等。推出a与b的外角等于50°。例9（长沙市2005年）在abc中，若a=78°36，b=57°24，则c= 解析 利用三角形的内角和180°，c180°ab。此题关键是度分秒的转化。1度等于60分，1分等于60秒。 答案 44°【常见误区】1忽视三角形的三边能否确定构成三角形。如例13，等腰三角

7、形的两边是4和9，那么三角形的三边为4、4、9或者4、9、9。那么若4、4、9为三角形的三条边，则构不成三角形。三角形三条边能否构成三角形往往是题目中的隐含条件，需要利用分类讨论思想来挖掘。2不会证明两个角的不等关系。在证明两个角的不等关系时常利用外角等于其不相邻两个内角的和转化到同一个三角形中去。在同一个三角形中较长的边所对对边的角大。3不会通过列方程解三角形的内角。如例1，求，我们可以利用通过与邻角到和为90°列一个方程。列方程在较复杂到求角度到时候常常用到，它是初中阶段一种重要数学思想，需要熟练灵活应用。4分类思想在解题中的误用。如例2中等腰三角形的两条边长是8和6，那么8或者

8、6是腰还是底边，需要进行分类讨论。同时还需要注意告诉你的这三条边能否组成三角形，还需要利用三角形的边角关系进行验证。cedba【基础演练】1看图填空： （1）图中共有 个三角形。 （2）bad是 的内角，bda是 的邻补角。 （3）在d中b对边是 ；在中b对边是；在c中b对边是 。 （4）c是c中边 的对角，又分别是cd和ce中边 、 的对角。 （5）e中 和 的夹边是be。2三角形按角分为 、 和直角三角形。3如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是 （ ）a 锐角三角形b 钝角三角形 c 直角三角形 d 等边三角形4列各组线段中，能组成三角形的是（ ）a4、5、6

9、 b6、8、15 c5、7、12 d3、9、135等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（）ax6 b6x12 c0x12 dx126三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 （）a三条中线交点 b三条角平分线交点 c三条高线交点 d三条高线所在直线交点7如图，直线、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 （）a一处 b二处 c三处 d四处8等腰三角形中，两边之比为3：2，周长为56，则它的三边长是_。9已知：在直角abc中，c90°，bd平分abc且交ac于d（1）若bac30°，求证:

10、 adbd；（2）若ap平分bac且交bd于p，求bpa的度数参考答案：1（1）六 （2）dbda eda （3）ad ac （4）ab ad ae（5）b aed 2锐角三角形 钝角三角形 3 4a 5 b 6 b 7d 821，21，14或16，16，24 9证明：bac30°c90° abc60°又bd平分abc abd30° bacabd bdad（2）135° 第二讲 三角形内角和外角【考点透视】一、考纲指要1根据三角形内角和定理及其推论进行计算。2根据角的大小对三角形进行分类。3三角形外角的定理的应用。 4理解三角形外角和内角的概念

11、。5理解在证明三角形内角和时所引辅助线的作用。6 通过定理的证明过程，掌握添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把新知识转化为旧知识去解决。二、命题落点1利用三角形内角和定理计算三角形的各个内角。2利用三角形的外角求三角形外角的度数并与三角形的内角和定理进行综合应用。3三角形与四边形、圆相结合求三角形的边或者角。4将三角形融合在阅读题或探究题型中，考察学生的知识创新能力，也是新课程标准的内容之一。【典例精析】 例1：（2005年杭州市）在平行四边形abcd中, b=110o,延长ad至f,延长cd至e,连接ef,则e+f=（ ） a110o b30o c

12、50o d70o解析 此题是由三角形和四边形相结合的一道综合性题目。我们由平行四边形的对角相等，b=110°，推出adc=70°而求e+f的度数时可以把这两个角看作一个整体来解决，千万不要分开来求解。那么利用外角的定义，即是e+f=fdc,fdc与adc互补，我们可以得到fdc=70°即可求解。答案：d 例2：（重庆市2005年）已知a400，则a的补角等于（ ）a、500 b、900 c、1400 d、1800解析 根据补角的定义，a与a的补角相加为180°，正好是一个平角。所以a的补角为180°40°140°。 答案：

13、c例3：（广西中考题）如图，在abc中，d、e分别在ab、ac上，be、cd相交于点f，a=62°,acd=35°,abe=20°, 那么bfd的度数为 。解析在adc中，已知a=62°,acd=35°,由三角形的内角和定理得adc83°，又adc是bdf的一个外角，再有外角的定理求得bfd63°。 答案：63°abbcde例4：一幅三角板，如图所示叠放在一起。则图中的度数是（ ）a75° b60° c65° d55°解析一幅三角板包括有30°的直角三角板和45&#

14、176;的直角三角板,同学们只要分清就能非常容易的得到答案,本题中也充分利用了外角和定理。 答案：a。 例5：在abc中，高ad和be所在的直线的交点是h，且bh=ac，求abc的度数。解析abc是什么三角形？可能是锐角三角形、钝角三角形，也可能是，故在画图时应注意我们所求的角有可能是锐角、直角三角形或者钝角所以需要进行分类讨论。我们需要画出每一种情况的图形进行研究，看看所画图形是否符合题目的条件。题目中三角形的高可能在三角形的内部也有可能在三角形的外部，这一点需要记清楚。 答案：45°或者135°例7：如图，p、q是abc边bc上的两点，且bp=pq=qc=ap=aq，求

15、bac的度数解析已知apq为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数由此我们可以知道几何计算通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据 答案：120°【基础演练】1三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形为（ ）a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d锐角三角形或钝角三角形2判断对错三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（）三角形的外角和等于它内角和的2倍。（）三角形的一个外角等于两个内角的和。（）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）三角形

16、的一个外角大于任何一个内角。（）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）一个三角形至少有两个外角是钝角；（）一个三角形的三个外角中，最多可有三个角是锐角；（）若一个三角形的三个外角中，有一个是锐角，则它必为锐角三角形；（）有一个外角等于和它相邻的内角的三角形是直角三角形；（）一个外角小于和它相邻的内角的三角形必是钝角三角形（）3在dabc中，Ða=30°，Ðb=2Ðc，则Ðc=_度，Ðb=_度 4如果一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，那么顶角的度数是_度。5已知：在中，是边上的高。求的度数。6在abc中b=36°，

17、ad平分bac交bc于d，aebc的延长线于e，若dae= 34°，则acb= 。7等腰三角形一个外角等于110°,则底角为 8如果三角形的三个外角的比为345，那么这三个内角的度数分别为_。参考答案：1c 2×、×、×、×、×、 350°,100° 4120° 518° 6104° 755°或70° 8 30°, 60°, 90° 第三讲 多边形及其内角和【考点透视】一、考纲指要1使学生理解多边形，多边形的顶点、边、内角、对

18、角线、外角等概念。2使学生理解多边形的内角和定理及推论并应用其解决简单问题。3注重教给学生解决问题的思想方法4通过创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣，产生探求数学知识的愿望，更好地发挥学生的主体作用。5在探索多边形内角和公式的过程中，体验用实验、观察、归纳、猜想等科学思维方法。6使学生基本上掌握由特殊到一般、化未知为已知的研究问题的方法，体验从复杂到简单的转化思想。7 能够进行知识之间的建构，学会用前学段所学知识来解释或推理本章几何图形的特性例如：用“两点之间线段最短”解释“三角形两边之和大于第三边”；用“三角形的内角和等于180度”来推理、探究“三角形外角和等于360度”等二、命题落点1利

19、用多边形的内角和求多边形的边数，如例1。2把多边形分成几个三角形，再利用三角形的内角和求多边形内角和。3考查多边形内角和公式： （n-2）×1800。4正多边形的内角的度数，如例55应用多边形的概念解决多边形的对角线和内外角和的问题。6 培养学生的问题意识、探究意识以及良好的思维习惯初步学会问题解决的基本步骤。【典例精析】 例1：（2005年南通市）已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为a、三角形b、四边形c、五边形d、六边形解析利用多边形的内角和公式（n-2）×1800代入求。 答案：c例2：（2005四川）绕一定点旋转180°后与原来图形重

20、合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_。解析因为正六边形的中心角为60°，只要旋转60°的倍数的话均可以与原来的图形重合。所以只要列举60°的倍数的度数就行。 答案： 60°或120°例3：（泰州2005）用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如图）方法：拿一张长方形纸对折，折痕为ab，以ab的中点o为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿cd剪开，使展开后的图形为正五边形，则ocd等于（）a10

21、8° b90° c72° d60°do解析 实际问题需要实际操作，体会里面的各个角是怎样形成的，观察角的特点。答案： b例4：（2005年盐城市）正六边形的一个内角的度数是_º解析计算正多边形的内角的方法有两种：1、利用正多边形的内角和公式。2、利用正多边形的外角，外角与其内角是互补的关系。 答案： 120【常见误区】1忽视正多边形中隐含的多种条件，如例2，如果利用中心对称图形的知识对正六边形进行旋转的话，则需要旋转180度，而利用正六边形的特性则可以旋转60度就能与原来地度图形重合。这是与旧知识结构相矛盾或者容易出错的地方。在此也考察了正六边

22、形的边长等于半径、对边平行以及中心角等知识点。2不能灵活的运用多边形的内角和公式和外角和不变的规律求边数和每一个内角的度数，如例6，可以利用外角求内角在计算量上较简单。3数学思想方法理解不透彻，如解决多边形问题常常需要将多边形分割为三角形和四边形来解决，否则就不容易解决问题。【基础演练】1一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为1700°，求这个多边形的边数 2当多边形的边数增加一条时，其内角和为 ，外角和为 ；3一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为 。 4从n边形的一个顶点出发可以作 条对角线，这些对角线把这个多边形分成 个三角形；n边形共有对角线 条；六边形的

23、对角线的总数为 条。5四边形中，若一组对角都是直角，则另一组对角的关系是 6 一个多边形的各内角都相等，并且多边形的内角和为1260度，那么这个多边形的每一个外角是 。7一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n，则n的值是 。8 如右图：在四边形abcd中，b和c的角平分线相交于点0，且a+d=162°，求boc的度数参考答案：113 2（n-1）180°，360° 3 9 4（n-3）,（n-2）, ，9 5互补 6407135° 8 81°第四讲 直角三角形【考点透视】一、考纲指要1理解直角三角形的性质和判定并能够进行计算。2会用利用

24、面积法或者拼图方法证明勾股定理。3熟练掌握勾股定理及其逆定理的具体应用。4理解直角三角形的面积的两种计算方法，如两个直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。5熟记常用的几组勾股数，如3、4、5；5、12、13。二、命题落点1利用30°、60°、45°等特殊的角，通过添加一条直线构造直角三角形，从而形成解题的突破口。2利用勾股定理的逆定理判定一组数是否是能够构成直角三角形，如例2。3直角三角形三边的关系与一元二次方程的根与系数的综合应用。4利用面积法证明勾股定理以及求线段的长度。如基础演练8。【典例精析】 例1：已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直

25、角三角形的斜边长为（ ）a b3 c d 13解析首先解一元二次方程的两个根为2和3，利用勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方，所以斜边为。此题很融洽的与一元二次方程相结合，求直角三角形的斜边。此题还可以变式求斜边上的高，其方法一样。答案：c 例2：若三角形的三边长分别是6，8，10，则这个三角形的外接圆面积等于 2。解析很明显6、8、10 为一组勾股数，其为直角三角形的三边长。根据三角形的外接圆的规律：直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点。所以直角三角形的斜边即是圆的直径。两直角边的乘积的一半即是三角形外接圆的面积为242 答案： 24 例3：（2005梅州）如下图，rtabc中，acb=

26、90°，ac=4，ba=5，点p是ac上的动点（p不与a、c重合）设pc=x，点p到ab的距离为y。（1）求y与x的函数关系式；（2）试讨论以p为圆心，半径为x的圆与ab所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围。解析 首先pc为x，则ap为 4x，点p到ab的距离即是过点p作ab的垂线，在几何图形里面确定函数关系式最常用的方法是求三角形相似，利用三角形相似的比例式确定函数解析式。如例31，作pqab，apqabc，利用对应边成比例解函数关系式。（2）中，直线和圆由三种位置关系，需要确定点p到直线ab的距离pq与半径x的关系来解。解：（1）过p作pqab于q，则pq=ya=a，ac

27、b=aqp=90°rtaqprtacb， pqbc=apab功夫 依题意可得：bc=3，ap=4x 化简得：（2）令xy，得：，解得：当时，圆p与ab所在直线相离；时，圆p与ab所在直线相切；时，圆p与ab所在直线相交。例31例4：（2005 湖北黄冈）小阳发现电线杆ab的影子落在土坡的坡面cd和地面bc上，量得cd=8米，bc=20米，cd与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ）a9米 b28米 c米 d米解析要求电线杆高度需先求电线杆的影长，所以需要先补全电线杆的影长。延长bc与ad相交于一点，然后过点d作bc延长线上的垂线，即是土坡的高度

28、，那么可以求出土坡的影长，土坡的影长加上前面到ab的距离就是电线杆的影长，利用影长求出ab的高度。答案： d例5：（2005江苏）已知：如图，rtabcrtade，abcade=900，试以图中标有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明解析 此题是一道开放性试题。大家可以依据题目中告诉你的条件，任意连接两条线段，来求证成立。不过在选择条件是可以选择比较好证明的结论来证明。最好证明的就是证明线段cdbe，它可以通过两个三角形的全等来证明。证明：略。例6：在三角形纸片abc中，c90°，a30°，ac3，折

29、叠该纸片，使点a与点b重合，折痕与ab、ac分别相交于点d和点e（如图），折痕de的长为 解析这是一道三角形的折叠问题，三角形折叠牵扯到的知识点是三角形的全等，那么在ade折叠使其与点b重合，那么adebde,其对应线段全部相等，对应角相等。所以线段ae=de，ead=ebd,故a=ebd=cbe=30°设线段ce为，则线段be为2，ae也为2。所以ce+ae3，所以线段ae2，利用直角三角形中30°的角所对边等于斜边对一半。所以线段de1。此题考查了三角形的全等问题，也考查了在直角三角形中30°的特殊角的问题。对于三角形的全等并不是直接利用三角形的全等，而是借助

30、于折叠问题考查三角形全等，设计很巧妙。答案1。cabde例7例7：（2005云南玉溪市）如图，cd是rtabc斜边ab上的高，将bcd沿cd折叠， b点恰好落在ab的中点e处，则a等于 （ ） a25° b30° c45° d60°解析因为三角形沿线段cd折叠，则折叠的三角形为全等三角形，其对应边相等，所以线段cb=ce,又因为点e为线段ab的中点，所以线段cb也为线段ab的一半。在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半，所以a为30°。充分考查了30°的特殊角在直角三角形中的如何应用。答案b解析：由轴对称图形的定义可

31、以知道轴对称图形绕对称轴旋转180°能够与原来的图形重合，从图中找不到一条直线绕其旋转180°能与原来图形重合，所以它不是轴对称图形。而绕对角线的交点旋转180°能够与原来的图形重合。所以它是中心对称图形。答案：b【常见误区】1忽视特殊的勾股数能够组成直角三角形，如5、12、13；6、8、10。2忽视折叠图形的意义，通过折叠图形可以构造全等三角形，也可以构造轴对称图形。其关键是理解折叠三角形其实就是全等三角形。对应边相等，对应角相等。如例6、例7。3忽视在直角三角形中，30°、45°等特殊角的特殊应用，对特殊角对特殊值技记忆不准。【基础演练】1

32、、若直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，则直角三角形面积是 cm22如下图，若cd是rtabc斜边上的高，ad=3，cd=4，则bc=_ 3将两块直角三角尺的直角顶点重合为如下图的位置，若aod=11o°，则boc= 4已知，在rtabc中c90°，bac30°，ab10，那么bc 111111125如上图，d、e为abc两边ab、ac的中点，将abc沿线段de折叠，使点a落在点f处，若b=55°，则bdf= °6如上图，有一块边长为4的正方形塑料模板abcd，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在a点，两条直角边分别与cd

33、交于点f，与cb延长线交于点e则四边形aecf的面积是 aa1a3bcc3b1图l7如图，把直角abc的斜边ab放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到a2b2c2的位置，设ac=，bc=1，则顶点a运动到点a2的位置时，点a所经过的路线与直线l围成的面积为多少？ 8 已知在rtabc中，abc=90°，c60°，边ab=6cm（1）求边ac和bc的值；（2） 求以直角边ab所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积（结果用含的代数式表示） 参考答案：130 2 370 45 570° 616 7+ 8（1）ac cm，bccm（2）所求几何体

34、的侧面积s（）第五讲 等腰三角形【考点透视】一、考纲指要1了解等腰三角形的有关概念。2掌握等腰三角形的性质。等腰三角形的两个底角相等，简写成等边对等角；等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线互相重合，简称“三线合一”。3理解等腰三角形与等边三角形的关系。4初步建立学生空间观念，发展几何直觉。5在探索中提出问题、解决问题、并进行反思，而获得解决问题的经验，体会到与他人合作的重要性。6增强学生学数学用数学的意识，培养学生的探索意识和创新意识。二、命题落点1利用等腰三角形的性质推证两条线段相等、角相等、两条直线互相垂直。2利用“三线合一”进行几何方面的计算。3利用图形的对称性考查图形的折叠问题以及

35、相关连的实际生活问题。4 根据轴对称知识，画某图形关于直线的对称图形，并能够识别轴对称图形。【典例精析】例1 等腰三角形的两边为4，8，则它的周长为_解析从表面上看本题有两种可能，以4、4、8为边的等腰三角形和以8、8、4为边的等腰三角形，但前者不符合三角形的三边关系，所以周长为20 答案：20badec例2：（2005年苏州市）右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是 a900 b600 c450 d300解析根据等腰直角三角形的性质：两底角为45°。所以等腰直角三角形旋转一次其角度旋转了45°。此题也可以利用等腰直角三角形旋转了360&#

36、176;。正好旋转了8个等腰三角形来计算。例3：（余姚市2005年）如图,已知d、e是等腰abc底边bc上两点,且bd=ce求证:ade=aed解析首先有等腰三角形性质可知ab=ac，根据等边对等角，所以b=c。在abd和ace中，ab=ac，b=c，bd=ce，所以abdace。有全等三角形的对应角相等，故adb=aec。其补角也相等。例4：（扬州市2005年）下列图形中不是中心对成图形的是（ ）acbc 解析首先需要理解中心对称图形的定义，绕一点旋转180°，该图形能与原来的图形重合，才是中心对称图形。圆既是轴对称图形也是中心对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆心是对称中心；等边

37、三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，其底边的高所在的直线是对称轴；正多边形只有当边数为偶数的时候才是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。答案：b例5：（长沙市2005年）如上图所示，把一个直角三角形尺acb绕着30°角的顶点b顺时针旋转，使得a与cb的延长线上的点e重合（1）三角尺旋转了多少度？（2）连结cd，试判断cbd的形状；（3）求bdc的度数解析因为图形的旋转过程中图形的形状没有发生变化，所以原图形与旋转后的图形是全等形。它们的对应角、对应边分别相等，所以题目中线段ab=be,bc=bd,ac=de旋转的角为abe即150°。dbe=cdb+dcb=30&#

38、176;，所以bdc=15°。答案：（1）150°；（2）等腰三角形；（3）15°例6：已知：如图，abc中，abac，adbc于点d，e是ad延长线上一点，连be、ce。求证：bece。解析要想证明be=ce需要找出be和ce所在的三角形全等，或者证明ebc=ecb有已知ab=ac, adbc得到abd=acd,由此得到abdacd,然后得到bd=cd,再加上de=de和bde=cde,所以bdecde故证得结果。 【常见误区】1忽视等腰三角形的分类讨论，如按角进行分类则分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形。如等腰三角形一腰的高与底边的夹角。2忽视图形旋转后的

39、图形与原图形的关系。对图形进行旋转后其新图形与原图形全等。3忽视题目中隐含的条件或者多种情况。如等腰三角形的一个角为40°，那么题目中隐含多种情况，40°可能是顶角，也可能是底角。【基础演练】1（1）一个等腰三角形的顶角度数为100°，底角度数为_。（2）一个等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为_。2有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将三角形对折,得到的三角形还是等腰直角三角形（如图）依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ）a、 b、 c、 d、3顶角为36°的等腰三角形称为

40、黄金三角形。如图，abc、bdc、dec都是黄金三角形,已知ab=1，则de=_4已知，以x，y为两边长的等腰三角形的周长是 。edcba第3题第6题图 dcba5如图，rtabc中，acb=90°，cab=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）5题 6如图，在rtabc中，c900，直线bd交ac于d，把直角三角形沿着直线bd翻折，使点c落在斜边ab上，如果abd是等腰三角形，那么a等于（ ）a、600 b、450 c、300 d、22507如图，ab=ad，bc=dc，ac与bd相交

41、于e，由这些条件你能推出哪些结论？若加上ac平分db呢？ 8如图，梯形abcd中，adbc，abdc，p为梯形abcd外一点，pa、pd分别交线段bc于点e、f，且papd。（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。参考答案：1（1）40°（2）40°和100°或者70°和70° 2b 3 415 5解：作法一：作ab边上的中线； 作法二：作cba的平分线；作法三：在ca上取一点d，使cd=cb。 6c 7答案很多，略。 8 abpdcp；abedcf；bepcfp；bf

42、pcep；（答对三对即可）（2）略第六讲 勾股定理【考点透视】一、考纲指要1理解直角三角形的性质和判定。2掌握勾股定理的多种证明方法，关键理解掌握利用面积法证明勾股定理。3理解勾股定理及其逆定理的具体应用。通过其逆定理判断三角形是否为直角三角形。4理解角的平分线、线段平分线的定理以及逆定理。5 能运用勾股定理作长是较为简单的无理数线段6 进一步体验代数方法在几何中的应用。二、命题落点1运用勾股定理的逆定理证明两直线垂直。2对于含有特殊角的几何图形，常常添加一条垂线构造直角三角形。3利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形。4 辅助线的做法。【典例精析】 例1：（扬州市2005年）如图，学校有

43、一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。解析此题在中考中出错率较高，因为有很多人没有理解题目告诉你的意思。“少走了几步”，很多人求出了路的长度，确没有算出少走了几步。离正确答案尽一步之遥。或者在题目中“步”转化为“米”的过程中出错。“捷径路”长为5m，10步，不走捷径的话是走7m，14步，所以少走了4步。答案：4例2：（2005苏州）如图，等腰三角形abc的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高ad= 。解析 首先有等腰三角形的三线合一可知，高ad也是角平分线，所以bad=dac=60°推出b

44、30°。在直角三角形中，30°所对的边等于其斜边的一半，所以ad5。答案：5 例3：（丽水市2005）如图, 在rtabc中, acb=90°,cdab于d， 若ad=1，bd=4，则cd=（ ）a2 b4 c d3解析此图是课本中的一个基本图形，很多题目都是以此图为基础延伸变化而来。在这个图形中有三对三角形相似，有此延伸出有三对比例式、三对乘积式。即ac2=adab、cd2addb、bc2=bdba 答案：a例4：（2005常州）如图，正方形abcd的周长为16cm，顺次连接正方形abcd各边的中点，得到四边形efgh，则四边形efgh的周长等于 cm，四边形e

45、fgh的面积等于 cm2解析正方形的周长为16，则边长为4。e、f、g、h为各边的中点，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求边eh，也能求出面积。此题也可以通过观察求中点四边形的面积。如连接eg、hf，就把原正方形分成了四个小正方形，很明显可以看出里面四边形与外面的四个三角形的面积相等。答案： 8 。例5：已知：如图，在abc中，acb=90°，cdab于d，ac=6，db=5，求ad的长解析：本题是“双垂直图形”中的求值问题，也是借助于三角形相似，利用比例式求线段的长问题通过那两个三角形相似求解，要充分观察已知条件；求解方法有直接法和解方程法由已知ac=6，db=5，选用ac&

46、#178;=adab来解决。 答案：ad=4例6：（浙江省2005年） 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2解析 首先利用勾股定理求出直角三角形的另一边为12cm，然后利用直角三角形的面积公式：×底×高。 此题考查直角三角形的概念。答案：302 【常见误区】1利用勾股定理进行计算和推理时，容易忽视其前提条件必须是直角三角形。2勾股定理的多种证法中，不会利用面积法进行证明。3在解综合性问题时，不会构造直角三角形， 4动手操作能力和将知识学以致用的能力不强，比如利用拼图验证勾股定理。【基础演练】1将直角三角形的三边长都扩

47、大同样的倍数后，得到的三角形是什么三角形？（提示直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）2下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（） a、a=15，b=2,c=3 b、a=7,b=24,c=25 c、a=6,b=8,c=10 d a=3,b=4,c=53等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形面积为（）a、56 b、48 c、40 d、324已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为_。5直角三角形两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为_。 6小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：_

48、（填“能”、或“不能”）。7把一根长为10的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是92，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好。8一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 9青中中学初一（1）的学生想知道学校旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回答用的是什么方法 aabaaoa第8题图图（1）图（2）

49、abc参考答案：1rta 3b 4100或者64。 5 6 不能。78 8 24，8 9 略第七讲 全等三角形【考点透视】一、考纲指要1理解全等三角形的概念和性质。2理解“边角边”、“角边角”、“边边边”、”斜边、直角边”公理及其推论。3理解三角形的稳定性在生活中的应用。4会运用三角形的判定公理来证明三角形的全等。5能利用三角形的角平分线的有关定理进行证明和计算。二、命题落点1三角形全等的证明方法。2常见的添加辅助线的方法：倍长中线法 割补法 构造三角形全等。3利用三角形的全等考察三角形等几何图形等翻转、平移、旋转。4解几何问题的基本方法：综合法 分析法 分析综合法。【典例精析】 例1：（金化

50、市2005年） 如图，在中，点在上，点在上，。（1）请你再添加一个条件，使得，并给出证明。你添加的条件是：_,证明：（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）解析此题属于开放性题目，大家的选择性余地比较大，可以自由发挥。不过在填写答案过程中可以填写自己认为最正确的结果。 答案：（1）ab=bc（2） 略例2：（重庆市2005年）如图，平行四边形abcd中，aebd，cfbd，垂足分别为e、f，求证：baedcf。解析首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等。引出abd=bdc，再利用三角形全

51、等证明即abecdf。此题的证明方法很多，你也可证明dafbcf来解决。此题是利用三角形全等的性质来解题。 证明：略dabcef例3：（2005年深圳市）如图，口abcd中，点e在边ad上，以be为折痕，将abe向上翻折，点a正好落在cd上的点f，若fde的周长为8，fcb的周长为22，则fc的长为_。解析 以ab为轴折叠，则beabfe,即是ae=ef,ab=bf那么def和bcf的周长就转化到平行四边形到边上，这两个三角形的周长正好是平行四边形的四条边长，则bc+ab=bc+bf=15,而bcf的周长为22，两者相减即是cf的值。答案：7例4：（2005年宜昌市）已知：如图，abac,aead，点d、e分别在ab、ac上求证：bc解析首先证明角相等，可以先证明角所在的三角形全等，利用全等三角形的对应角相等。题目中要证明a=b,可以先证明这两个角所在的三角形全等即可。证明：略afb例5：（湖州市2005年）如图，在平行四边形abcd中，b，d的平分线分别交对边于点e、f，交四边形的对角线ac于点g、h求证：ah=cg解析首先平行四边形abcd的对角相等，即adc=abc，其角平分线所分成的两个角也相等。要证明ah=cg成立，我们可以证明