中考数学一轮复习 第21课 多边形及其内角和导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第21课 多边形及其内角和【考点梳理】：一、 多边形及其相关的概念1 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.理解多边形的概念应注意两点：在平面内，线段首尾顺次连接.如图1，是一个多边形，这是一个六边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 图1 图2 2正多边形：在平面内，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个多边形是正多边形应具备两个条件：各个内角大小相等；每条边长度一样.3多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角.如图1，a、b、c、d、e、f是六边形的6个内角.多边形内角的个数与边数相等.4多边形的内角和：多边形

2、所有的内角的和叫做多边形的内角和.如图1中的内角和为a+b+c+d+e+f.5多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2，延长cd，则edg是六边形的一个外角.在多边形的一个顶点处可画出两个外角.6多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.如图3，六边形的外角和为1+2+3+4+5+6.7多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.连接n边形的一个顶点和其它不相邻的各顶点，可得(n-3)条对角线.如图4，线段ac、ad、ae是六边形abcdef的三条对角线. 图3 图4思考与收获二、 理解内角和公式

3、的推导以及外角和的推导 1.多边形内角和公式的推导多边形的内角和公式(n-2)·180°的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:(1) 从一个顶点出发引n边形的(n-3)条对角线,把n边形分割成(n-2)个三角形,则这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,从而得到n边形的内角和为(n-2)·180°.(2)在n边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割成n个三角形,这n个三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个周角360°,所以n边形

4、的内角和为n×180°-360°=(n-2)·180°. (3)在n边形的一边上取一点,把这点与多边形的个顶点连接,把n边形分割成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角的和比n边形的内角的和多出了一个平角即180°,所以n边形的内角和是(n-1)×180°-180°=(n-2)·180°.2.多边形外角和的推导n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 ,n边形的n个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n个角，这些角的总和为n·180°.这些总和就是n

5、边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n·180°-(n-2)·180°=2×180°=360°.三、 需注意的几个问题1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,当知道n的值时可以直接求出n边形的内角和；当知道内角和时,可以根据公式构造方程,通过解方程求到边数,注意方程思想的应用.2.对于多边形的外角和360°,应注意理解多边形的外角和与边数无关；解决多边形问题常把内角问题转化为外角问题解决,注意转化思想的应用.【思想方法】解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、

6、探究等活动过程，注重知识的理解和运用.考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理分析：利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出a，b，c，根据a=b=c，得到ade=edc，因为adc=ade+edc=edc+edc=edc，所以adc=adc，即可解答解答：解：如图，思考与收获在aed中，aed=60°，a=180°aedade=120°ade，在四边形debc中，deb=180°aed=180°60°=120°，b=c=（360°debedc）÷2=120&

7、#176;edc，a=b=c，120°ade=120°edc，ade=edc，adc=ade+edc=edc+edc=edc，ade=adc，故选：d点评：本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出a，b，c【考点二】：多边形内角与外角运用【例题赏析】（4分）（2015铜仁市）（第6题）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）a3 b4 c5 d6考点：多边形内角与外角分析：由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360

8、76;，即可求得这个多边形的边数解答：解：一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，这个多边形的边数是：360÷60=6故选：d点评：此题考查了多边形的外角和定理此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键【考点三】：正多边形思考与收获【例题赏析】（2015烟台,第14题3分）正多边形的一个外角是，则这个多边形的内角和的度数是_。考点：正多边形分析：已知正多边形的一个外角，就可以算出多边形的边数；然后利用多边形的内角和公式即可算解答：多边形的外角和为360°，所以多边形为360°÷72°=5

9、，根据多边形的内角和公式可得（5-2）×180°=540°点评：本题综合考查了多边形的内角和与外角和公式的知识。【考点四】：正多边形和圆 【例题赏析】（2015营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为24cm2考点： 正多边形和圆分析： 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决解答： 解：如图，连接oa、ob；过点o作ogab于点g在rtaog中，og=2，aog=30°，og=oacos 30°，oa=4，这个正六边形的面积为6××4×2=24

10、cm2故答案为：24点评： 此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可思考与收获【考点五】：平面镶嵌【例题赏析】（2015·山东威海，第18 题3分）如图，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺但图，不是我们所说的环形密铺请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形：正十二边形考点：平面镶嵌（密铺）分析：根据环形密铺的定义，所用多边形的外角的2倍是正多边形的内角即可解答：正十二边形的外角是360°÷12=30°，30°×2=60°是正三角形，正十二边形

11、可以进行环形密铺故答案为：正十二边形点评：本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键【真题专练】1. （2015山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（） a 27 b 35 c 44 d 542. （2015怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（） a 三角形 b 四边形 c 六边形 d 不能确定思考与收获3. （2015年重庆b第7题4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )a五边形b六边形c七边形d八边形4（2

12、015江苏宿迁，第6题3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）a3b4c5d65. （2015·江苏连云港，第12题3分）如图，一个零件的横截面是六边形，这个六边形的内角和为 6. （2015四川遂宁第12题4分）一个n边形的内角和为1080°，则n= 7. （2015娄底，第16题3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 思考与收获8. （2015四川资阳,第12题3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_9. （2014四川绵阳,第16题4分）如图，o的半径为1cm，正六边形abcdef内接于o，则图中

13、阴影部分面积为cm2（结果保留）【真题演练参考答案】1. （2015山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（） a 27 b 35 c 44 d 54考点： 多边形内角与外角.分析： 设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答解答： 解：设这个内角度数为x，边数为n，（n2）×180°x=1510，180n=1870+x，n为正整数，n=11，=44，故选：c点评： 此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法

14、，属于需要识记的知识2. （2015怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（） a 三角形 b 四边形 c 六边形 d 不能确定考点： 多边形内角与外角分析： 本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可解答： 解：设这个多边形的边数为n，则有（n2）180°=360°，解得：n=4，故这个多边形是四边形故选：b点评： 本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题3. （2015年重庆b第7题4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )a五边形

15、b六边形c七边形d八边形【答案】c考点：多边形的内角和定理.4（2015江苏宿迁，第6题3分）已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）a3b4c5d6考点：多边形内角与外角.分析：设多边形的边数为n，则根据多边形的内角和公式与多边形的外角和为360°，列方程解答解答：解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n2）180°=360°，n2=2，n=4故选b点评：本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°5. （2015·江苏连云港，第12题3分）如图，一个零件的横截面是

16、六边形，这个六边形的内角和为720°考点：多边形内角与外角分析：根据多边形内角和公式进行计算即可解答：解：由内角和公式可得：（62）×180°=720°故答案为：720°点评：此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n2）180°（n3）且n为整数）6. （2015四川遂宁第12题4分）一个n边形的内角和为1080°，则n=8考点：多边形内角与外角.分析：直接根据内角和公式（n2）180°计算即可求解解答：解：（n2）180°=1080°，解得n=8点评：主要考查了多边形的内角

17、和公式多边形内角和公式：（n2）180°7. （2015娄底，第16题3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6考点： 多边形内角与外角专题： 计算题分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题解答： 解：多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，这个多边形是六边形故答案为：6点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键8. （2015四川资阳,第12题3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_考点：多边形内角与外角.分析：任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°n边形的内角和是（n2）180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数解答：解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n2）180=3×360，解得n=8则这个多边形的边数是8点评：已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，